Como usar esta calculadora de covariância

O uso desta calculadora é simples: você precisa inserir os dados de amostra para as variáveis ​​\(X\) e \(Y\) e pressionar o botão "Calcular". A calculadora mostrará todas as etapas necessárias para calcular o coeficiente de covariância.

Como você calcula a covariância de amostra

Primeiro, precisamos ter duas amostras do mesmo tamanho: \(X_1, X_2, ...., X_n\) e \(Y_1, Y_2, ...., Y_n\). Então, usando essas informações sobre as amostras, você usa a seguinte fórmula:

\[ cov(X, Y) = \displaystyle \frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^n X_i Y_i - \left( \sum_{i=1}^n X_i \right) \times \left( \sum_{i=1}^n Y_i \right) \right) \]

Normalmente, isso é calculado construindo uma tabela com valores \(X_i\) e \(Y_i\), mas também com os produtos \(X_i Y_i\) em uma coluna:

Fórmulas alternativas para calcular a covariância de amostra

Muitas vezes, você verá uma fórmula diferente para a covariância de amostra mostrada como:

\[ cov(X, Y) = \displaystyle \frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)(Y_i - \bar Y) \right)\]

Esta fórmula é absolutamente equivalente às anteriores, e é uma questão de gosto usar esta ou outra.

Algumas pessoas pensam que a última fórmula é melhor porque mostra a covariância como este produto dos desvios da média. Mas outras pessoas pensam que o último é ineficiente, porque é forçado a computar as médias amostrais, que não são exigidas no primeiro.

A covariância e a correlação estão relacionadas de alguma forma?

Sim, eles estão. Tanto a covariância quanto o coeficiente de correlação medir o grau de associação linear entre duas variáveis.

A principal diferença é que a correlação mede a associação em relação aos desvios padrão, o que torna o intervalo do coeficiente de correlação entre -1 e 1, o que torna uma medida de associação MUCH mais interpretável do que a própria covariância

Ainda assim, o coeficiente de covariância, mesmo que menos interpretável, tem sua utilidade em finanças, principalmente no cálculo do beta de uma empresa.

Caso contínuo da Calculadora de Covariância

Observe que o caso acima corresponde à correlação da amostra. Quando você conhece a distribuição das variáveis ​​X e Y, bem como sua distribuição conjunta, pode calcular a covariância exata usando a expressão:

\[cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)\]