Pareceu-me importante revisar o conceito de derivada de uma função. O processo de diferenciação (isto é, calcular derivadas) é uma das operações mais fundamentais no cálculo e até mesmo na matemática. Neste tutorial do Math Crack, tentarei esclarecer o significado e a interpretação do que é e faz uma derivada.

Em primeiro lugar, com o propósito de esclarecer qual é o escopo deste tutorial, gostaria de dizer que não praticaremos a solução de problemas específicos de prática envolvendo derivados, mas sim tentaremos entender o que estamos fazendo quando operando com derivativos. Uma vez que entendemos o que estamos fazendo, temos uma chance muito melhor de resolver problemas.

DEFINIÇÃO DE UM DERIVADO (NÃO O FURADOR)

Para começar, é obrigatório escrever pelo menos a definição de um derivado. Suponha que \(f\) seja uma função e \({{x}_{0}}\in dom\left( f \right) \). Ok, já começamos com detalhes técnicos? Tudo o que estamos dizendo é que \(f\) é uma função. Pense em uma função \(f\) por sua representação gráfica mostrada abaixo:

Além disso, quando dizemos que "\({{x}_{0}}\in dom\left( f \right) \)", tudo o que estamos dizendo é que \({{x}_{0}}\) é um ponto onde a função está bem definida (por isso pertence ao seu domínio ) Mas espere, é possível para um ponto \({{x}_{0}}\) fazer uma função NÃO bem definida ...? Certamente! Considere a seguinte função:

\[f\left( x \right)=\frac{1}{x-1}\]

Essa função NÃO está bem definida em \({{x}_{0}}=1\). O que não está bem definido em \({{x}_{0}}=1\)? Porque se inserirmos o valor de \({{x}_{0}}=1\) na função, obtemos

\[f\left( 1 \right)=\frac{1}{1-1}=\frac{1}{0}\]

que é uma operação INVÁLIDA (como você sabe da escola primária, você não pode dividir por zero, pelo menos com as regras aritméticas tradicionais), então a função não está bem definida em \({{x}_{0}}=1\). Para uma função ser bem definida em um ponto significa simplesmente que a função pode ser avaliada naquele ponto, sem a existência de quaisquer operações inválidas.

Portanto, agora podemos dizer novamente, porque agora você sabe o que queremos dizer: presuma que \(f\) é uma função e \({{x}_{0}}\in dom\left( f \right) \). A derivada no ponto \({{x}_{0}}\) é definida como

\[f'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim_{x \to {x_0}}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\]

quando esse limite existe.

Ok, essa é a essência do problema e discutiremos isso em um segundo. Gostaria que você tivesse algumas coisas EXTREMAMENTE claras aqui:

• Quando o limite acima existe, chamamos if \(f'\left( {{x}_{0}} \right) \), e é referido como a “derivada da função \(f\left( x \right) \) no ponto \({{x}_{0}}\)”. Então, \(f'\left( {{x}_{0}} \right) \) é simplesmente um símbolo que usamos para nos referir à derivada da função \(f\left( x \right) \) no ponto \({{x}_{0}}\) (quando existe). Poderíamos ter usado qualquer outro símbolo, como “\(deriv{{\left( f \right)}_{{{x}_{0}}}}\)” ou “\(derivative\_f\_{{x}_{0}}\)”. Mas algum senso estético nos faz preferir “\(f'\left( {{x}_{0}} \right) \)”.

A questão é que é um símbolo MADE UP para REFERIR a derivada da função \(f\left( x \right) \) no ponto \({{x}_{0}}\). O engraçado em matemática é que a notação é importante. Mesmo que um conceito exista independentemente da notação usada para expressá-lo, uma notação lógica, flexível e compacta pode fazer as coisas pegarem fogo, ao contrário do que pode acontecer com uma notação incômoda e não inspirada

O papel desempenhado pela notação

(Historicamente, os dois desenvolvedores simultâneos de uma versão utilizável do conceito de derivada, Leibniz e Newton usaram notações radicalmente diferentes. Newton usou \(\dot{y}\), enquanto Leibniz usou \(\frac{dy}{dx}\). A notação de Leibniz pegou fogo e facilitou o desenvolvimento completo de Cálculo, enquanto a notação de Newton causou mais de uma dor de cabeça. Realmente, era tão importante).

• A derivada é uma operação POINTWISE. Isso significa que é uma operação feita para uma função em um determinado ponto e precisa ser verificada ponto a ponto. É claro que em um domínio típico como a linha real \(\mathbb{R}\) há um número infinito de pontos, então pode demorar um pouco para verificar manualmente se uma derivada é definida em cada ponto. MAS, existem algumas regras que permitem simplificar muito o trabalho calculando a derivada em um ponto genérico \({{x}_{0}}\) e então analisando para quais valores de \({{x}_{0}}\) o limite que define a derivada existe. Então você pode relaxar, porque o trabalho manual corajoso não será tão cansativo, se você souber o que está fazendo, é claro.

• Quando a derivada de uma função \(f\) existe em um ponto \({{x}_{0}}\), dizemos que a função é diferenciável em \({{x}_{0}}\). Além disso, podemos dizer que uma função é diferenciável em uma REGIÃO (uma região é um conjunto de pontos) se a função é diferenciável em CADA ponto daquela região. Então, mesmo que o conceito de derivada seja um conceito pontual (definido em um ponto específico), ele pode ser entendido como um conceito global quando é definido para cada ponto de uma região.

• Se definirmos \(D\) o conjunto de todos os pontos na reta real onde a derivada de uma função é definida, podemos definir a função derivada \(f'\) da seguinte maneira:

Esta é uma função porque associamos exclusivamente cada \(x\) em \(D\) com o valor \(f'\left( x \right) \). Isso significa que cada valor de \(x\) em \(D\) está associado ao valor \(f'\left( x \right) \). O conjunto de todos os pares \(\left( x,f'\left( x \right) \right) \), para \(x\in D\) formam uma função, e você pode fazer todas as coisas que pode fazer com as funções, como representá-las graficamente.

Isso deve resolver a questão que muitos alunos têm sobre as derivadas, pois eles se perguntam como temos uma “função” derivada, quando a derivada é algo que é calculado em um determinado ponto específico. Bem, a resposta é que calculamos a derivada em muitos pontos, o que fornece a base para definir a derivada como uma função.

Palavras finais: Notation Hell

Quando o conceito de derivada foi colocado na forma moderna que conhecemos por Newton e Leibniz (enfatizo o termo “forma moderna”, uma vez que Cálculo foi quase totalmente desenvolvido pelos gregos e outros de uma forma mais intuitiva e menos formal. MUITO tempo atrás), eles escolheram notações radicalmente diferentes. Newton escolheu \(\overset{\bullet }{\mathop{y}}\,\), enquanto Leibniz escolheu \(\frac{dy}{dx}\). Por enquanto, tudo bem. Mas o conceito de derivada significa muito menos se não tivermos teoremas de derivada poderosos.

Usando suas respectivas notações, ambos tiveram poucos problemas para provar teoremas básicos de diferenciação, como linearidade e a regra do produto, mas Newton não viu a necessidade de declarar formalmente a Regra da Cadeia, possivelmente porque sua notação não se prestava a isso , enquanto para a notação de Leibniz, a Regra da Cadeia mostra-se quase como uma regra “Duh”. Para ser mais preciso, suponha que \(y=y\left( x \right) \) seja uma função e \(u=u\left( x \right) \) seja outra função.

É uma pergunta natural perguntar se eu posso calcular a derivada da composição \(y\left( u\left( x \right) \right) \) de uma maneira fácil, com base nas derivadas de \(y\) e \(u\). A resposta a essa pergunta é a regra da cadeia. Usando a notação de Leibniz, a regra é

\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\]

É quase como se você pudesse cancelar o __XYZ_A __ como:

mas não é exatamente assim. Mas essa é a beleza da notação de Leibniz. Tem um apelo fortemente intuitivo (e os “cancelamentos” de __XYZ_A __ são quase uma realidade, só que é feito no nível \(\Delta u\) e há limites envolvidos), mas ainda assim você precisa entender o que Leibniz estava dizendo com o regra. Ele diz:

“A derivada da função composta \(y\left( u\left( x \right) \right) \) é a mesma que a derivada de \(y\) no ponto \(u\left( x \right) \) multiplicada pela derivada de \(u\) no ponto \(x\)”

A regra da cadeia usando a notação de Newton obtém a seguinte forma:

\[\overset{\bullet }{\mathop{\left( f\circ u \right)}}\,=\overset{\bullet }{\mathop{f}}\,\left( u\left( x \right) \right)\overset{\bullet }{\mathop{u}}\,\left( x \right)\]

Um pouco menos bonito, não é? Mas adivinhe, a Regra da Cadeia de Newton diz EXATAMENTE O MESMO que

\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\]

Porém, esta última notação pegou fogo e ajudou enormemente para o rápido desenvolvimento do cálculo moderno, enquanto a forma de Newton era menos amada. Mesmo que os teoremas dissessem exatamente o mesmo, um era dourado e o outro nem tanto. Por quê? NOTAÇÃO meu amigo.