Calculadora de substituição sintética

Esta calculadora pode ajudá-lo no processo de avaliação de um polinômio \(p(x)\) em um determinado ponto \(x = a\). Para que a calculadora funcione, você precisa fornecer um polinômio válido de qualquer ordem e uma expressão numérica válida.

Por exemplo, você pode querer avaliar um ponto no polinômio x^5 + 10x^3 - 2x - 12, e o ponto que deseja avaliar é 1/3.

O polinômio não precisa ser simplificado, desde que seja um polinômio válido. Por exemplo, você pode digitar x^5 + 10x^3 - 2x - x + 3 - 1/3 e a calculadora primeiro simplifique o polinômio , antes de realizar o Substituição Sintética .

Depois de fornecer um polinômio válido e uma expressão numérica, você pode clicar em "Calcular", para obter as etapas do processo mostrado, que consiste em aplicar Divisão Sintética . .

Por que usar a substituição sintética?

A substituição sintética é simplesmente uma maneira de avaliar um valor em um determinado polinômio. Ou seja, você tem um valor \(x = a\) e um polinômio \(p(x)\) e deseja avaliar o polinômio no valor fornecido, portanto, deseja obter o valor de \(p(a)\).

Agora, a questão é por que não simplesmente inserir o valor de x = a em p(x)? Por exemplo, com o polinômio \(p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12\) e o valor \(x = \displaystyle \frac{1}{3}\) precisaríamos calcular

\[\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = \displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^5 + 10\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\cdot \left(\frac{1}{3}\right) - 12 \]

Embora factível, o cálculo acima parece, hmmmmm, não convidativo para dizer o mínimo. Então, existe uma maneira melhor e mais fácil de calcular \(x = \displaystyle \frac{1}{3}\) através do polinômio \(p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12\)?? Você aposta que há?

Ocorre que, em virtude do teorema do resto , quando você tem um polinômio \(p(x)\) e o divide por \(x-a\), o restante dele é igual a \(p(a)\).

Magia, certo? Então tudo que você precisa fazer é pegar o polinômio \(p(x)\) e fazer uma divisão polinomial com \(x-a\) usando Divisão Sintética (você pode usar divisão longa também, mas é um pouco mais complicado)

Etapas para usar a substituição sintética

• Passo 1: Identifique o polinômio p(x) com o qual você está trabalhando e o valor x = a no qual você deseja avaliar o polinômio
• Passo 2: Se o grau do polinômio for zero, então o polinômio é constante e p(a) também é essa constante
• Passo 3: Assuma que o polinômio tem grau 1 ou superior. Aplique a divisão sintética ao dividendo p(x) e divisor x - a
• Passo 4: Quando terminar, olhe para a última coluna e você encontrará o restante numérico. Você terá então que p(a) é igual a esse valor

Então, podemos ver que avaliando um polinômio está intimamente relacionado com a divisão polinomial, e é exatamente isso que o Teorema do Resto afirma.

Aplicações da substituição sintética

Como mencionamos antes, é claro que podemos usar uma calculadora para computar explicitamente \(\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^5 + 10\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\cdot \left(\frac{1}{3}\right) - 12\), mas é obviamente computacionalmente caro.

Em Engenharia e outras aplicações, é claro que queremos usar o processo mais eficiente possível, e o processo de substituição sintética fica reduzido a um punhado de multiplicações e adições simples, que são muito "mais baratas" do que as exponenciações que seriam exigido de outra forma

Como saber quando usar avaliação sintética ou simplesmente inserir no polinômio?

• Passo 1: Determine o polinômio p(x) com o qual você está trabalhando e o valor de x = a, no qual você deseja avaliar o polinômio
• Passo 2: Observe o grau de p(x), para graus de 0 ou 1, você simplificará o plugue do valor
• Passo 3: Para graus de 2 e além, é mais conveniente usar avaliação sintética

A conveniência de usar a substituição sintética torna-se clara à medida que o grau do polinômio aumenta, especialmente para o grau 4 e superior.

Dicas para o sucesso

Tente seguir uma abordagem sistemática, usando o método tabular usual para dominá-lo. Evitar erros nos sinais e na hora de somar as linhas é fundamental para chegar ao resto final sem erros.

Exemplo: usar substituição sintética

Considere o polinômio: \(p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12\), calcule-o no ponto \(x = \frac{1}{3}\)

Solução: O seguinte polinômio foi fornecido: \(\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12\), que precisa ser avaliado no ponto \(\displaystyle x = \frac{1}{3}\) usando substituição sintética.

Para realizar a substituição sintética, precisamos fazer uma divisão sintética de : \(\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12\) e o divisor \(\displaystyle s = x-\frac{1}{3}\) e encontrar o resto.

Observe que o grau do dividendo é \(\displaystyle deg(p) = 5\), enquanto o grau do divisor é \(\displaystyle deg(s)) = 1\).

Passo 1: Como o divisor tem grau 1, podemos usar o método da Divisão Sintética. Resolvendo \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3} = 0\) descobrimos diretamente que o número a colocar na caixa de divisão é: \(\displaystyle \frac{1}{3}\).

\[\begin{array}{c|ccccc} \frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12 \\[0.6em] & & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & & \end{array}\]

Passo 2: Agora passamos diretamente o termo inicial \(1\) para a linha do resultado:

\[\begin{array}{c|ccccc} \frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12 \\[0.6em] & & & & & & & \\[0.6em] \hline &1&&&&& \end{array}\]

Passo 3: Multiplicando o termo da caixa de divisão pelo resultado da coluna 1, obtemos: \(\frac{1}{3} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{3}\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 1.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & & & \\[0.6em]\hline&1&&&&&\end{array}\]

Passo 4: Somando agora os valores da coluna 2, obtemos: \( 0+\frac{1}{3} = \frac{1}{3}\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 2.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & & & \end{array}\]

Estágio 5: Multiplicando o termo da caixa de divisão pelo resultado da coluna 2, obtemos: \(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{9}\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 2.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & & & \end{array}\]

Passo 6: Somando agora os valores da coluna 3, obtemos: \( 10+\frac{1}{9} = \frac{91}{9}\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 3.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & & \end{array}\]

Estágio 7: Multiplicando o termo da caixa de divisão pelo resultado da coluna 3, obtemos: \(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{91}{9}\right) = \frac{91}{27}\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 3.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & & \end{array}\]

Estágio 8: Somando agora os valores da coluna 4, obtemos: \( 0+\frac{91}{27} = \frac{91}{27}\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 4.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & \end{array}\]

Etapa 9: Multiplicando o termo da caixa de divisão pelo resultado da coluna 4, obtemos: \(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{91}{27}\right) = \frac{91}{81}\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 4.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & \end{array}\]

Etapa 10: Somando agora os valores da coluna 5, obtemos: \( -2+\frac{91}{81} = -\frac{71}{81}\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 5.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & -\frac{71}{81}\end{array}\]

Estágio 11: Multiplicando o termo da caixa de divisão pelo resultado da coluna 5, obtemos: \(\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{71}{81}\right) = -\frac{71}{243}\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 5.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81} & -\frac{71}{243}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & -\frac{71}{81}\end{array}\]

Estágio 12: Somando agora os valores da coluna 6, obtemos: \( -12-\frac{71}{243} = -\frac{2987}{243}\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 6.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81} & -\frac{71}{243}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & -\frac{71}{81} & -\frac{2987}{243}\end{array}\]

o que conclui este cálculo, pois chegamos ao resultado na coluna final, que contém o restante.

Conclusão: Portanto, concluímos que para o dividendo dado \(\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12\) e divisor \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3}\), obtemos que o resto é \(\displaystyle r(x) = -\frac{2987}{243}\), então concluímos que \(\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{2987}{243}\).

Exemplo: aplicação de substituição sintética

O valor x = 1 é uma raiz do polinômio: \(p(x) = x^4 - x^3 + 4x + 3\)?

Solução: A substituição sintética pode ser aplicada como no exemplo anterior, mas no caso de um valor simples como x = 1, podemos simplesmente inserir x = 1 e o cálculo é muito simples:

\[p(1) = 1^4 - 1^3 + 4\cdot 1 + 3 = 1 - 1 + 4 + 3 = 7 \ne 0\]

então x = 1 não é uma raiz.

Exemplo: mais substituições sintéticas

Avalie p(1/2) para \(p(x) = x^4 - 2x^3 + 4x + 3\).

Solução: Agora temos \(\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3\), a ser avaliado no ponto \(\displaystyle x = \frac{1}{2}\) usando substituição sintética.

Então usamos a divisão sintética de : \(\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3\), e o divisor \(\displaystyle s = x-\frac{1}{2}\), e o objetivo é encontrar o resto.

Passo 1: Como o divisor tem grau 1, podemos usar o método da Divisão Sintética. Resolvendo \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2} = 0\) descobrimos diretamente que o número a colocar na caixa de divisão é: \(\displaystyle \frac{1}{2}\).

\[\begin{array}{c|cccc} \frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}\]

Passo 2: Agora passamos diretamente o termo inicial \(1\) para a linha do resultado:

\[\begin{array}{c|cccc} \frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &1&&&& \end{array}\]

Passo 3: Multiplicando o termo da caixa de divisão pelo resultado da coluna 1, encontramos: \(\frac{1}{2} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{2}\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 1.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & & \\[0.6em]\hline&1&&&&\end{array}\]

Passo 4: Somando agora os valores da coluna 2, encontramos: \( -2+\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}\) e este resultado é inserido na linha de resultado, coluna 2.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & & \end{array}\]

Estágio 5: Multiplicando o termo da caixa de divisão pelo resultado da coluna 2, encontramos: \(\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{3}{4}\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 2.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & & \end{array}\]

Passo 6: Somando agora os valores da coluna 3, encontramos: \( 0-\frac{3}{4} = -\frac{3}{4}\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 3.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \end{array}\]

Estágio 7: Multiplicando o termo da caixa de divisão pelo resultado da coluna 3, encontramos: \(\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{3}{8}\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 3.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \end{array}\]

Estágio 8: Somando agora os valores da coluna 4, encontramos: \( 4-\frac{3}{8} = \frac{29}{8}\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 4.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{29}{8}\end{array}\]

Etapa 9: Multiplicando o termo da caixa de divisão pelo resultado da coluna 4, encontramos: \(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{29}{8}\right) = \frac{29}{16}\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 4.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8} & \frac{29}{16}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{29}{8}\end{array}\]

Etapa 10: Somando agora os valores da coluna 5, encontramos: \( 3+\frac{29}{16} = \frac{77}{16}\) e este resultado é inserido na linha de resultado, coluna 5.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8} & \frac{29}{16}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{29}{8} & \frac{77}{16}\end{array}\]

Conclusão: Portanto, concluímos que para o dividendo dado \(\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3\) e divisor \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2}\), e obtemos que o resto é igual a \(\displaystyle r(x) = \frac{77}{16}\), então concluímos que \(\displaystyle p\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{77}{16}\).

Mais calculadoras polinomiais

A importância do avaliações polinomiais e os cálculos não podem ser subestimados. raízes polinomiais são incrivelmente versáteis e aparecem em muitas aplicações em Física e Engenharia. .

Neste artigo vimos a clara conexão com a substituição sintética com ambos Divisão Sintética e Divisão longa , que fecha o círculo que é gerado pelo Teorema Do Resto , que sem dúvida é um predecessor direto do Teorema Fundamental da Álgebra.