Calculadora de substituição sintética

Esta calculadora pode ajudá-lo no processo de avaliação de um polinômio $p(x)$ em um determinado ponto $x = a$. Para que a calculadora funcione, você precisa fornecer um polinômio válido de qualquer ordem e uma expressão numérica válida.

Por exemplo, você pode querer avaliar um ponto no polinômio x^5 + 10x^3 - 2x - 12, e o ponto que deseja avaliar é 1/3.

O polinômio não precisa ser simplificado, desde que seja um polinômio válido. Por exemplo, você pode digitar x^5 + 10x^3 - 2x - x + 3 - 1/3 e a calculadora primeiro simplifique o polinômio , antes de realizar o Substituição Sintética .

Depois de fornecer um polinômio válido e uma expressão numérica, você pode clicar em "Calcular", para obter as etapas do processo mostrado, que consiste em aplicar Divisão Sintética . .

Por que usar a substituição sintética?

A substituição sintética é simplesmente uma maneira de avaliar um valor em um determinado polinômio. Ou seja, você tem um valor $x = a$ e um polinômio $p(x)$ e deseja avaliar o polinômio no valor fornecido, portanto, deseja obter o valor de $p(a)$.

Agora, a questão é por que não simplesmente inserir o valor de x = a em p(x)? Por exemplo, com o polinômio $p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12$ e o valor $x = \displaystyle \frac{1}{3}$ precisaríamos calcular

$$\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = \displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^5 + 10\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\cdot \left(\frac{1}{3}\right) - 12$$

Embora factível, o cálculo acima parece, hmmmmm, não convidativo para dizer o mínimo. Então, existe uma maneira melhor e mais fácil de calcular $x = \displaystyle \frac{1}{3}$ através do polinômio $p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12$?? Você aposta que há?

Ocorre que, em virtude do teorema do resto , quando você tem um polinômio $p(x)$ e o divide por $x-a$, o restante dele é igual a $p(a)$.

Magia, certo? Então tudo que você precisa fazer é pegar o polinômio $p(x)$ e fazer uma divisão polinomial com $x-a$ usando Divisão Sintética (você pode usar divisão longa também, mas é um pouco mais complicado)

Etapas para usar a substituição sintética

• Passo 1: Identifique o polinômio p(x) com o qual você está trabalhando e o valor x = a no qual você deseja avaliar o polinômio
• Passo 2: Se o grau do polinômio for zero, então o polinômio é constante e p(a) também é essa constante
• Passo 3: Assuma que o polinômio tem grau 1 ou superior. Aplique a divisão sintética ao dividendo p(x) e divisor x - a
• Passo 4: Quando terminar, olhe para a última coluna e você encontrará o restante numérico. Você terá então que p(a) é igual a esse valor

Então, podemos ver que avaliando um polinômio está intimamente relacionado com a divisão polinomial, e é exatamente isso que o Teorema do Resto afirma.

Aplicações da substituição sintética

Como mencionamos antes, é claro que podemos usar uma calculadora para computar explicitamente $\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^5 + 10\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\cdot \left(\frac{1}{3}\right) - 12$, mas é obviamente computacionalmente caro.

Em Engenharia e outras aplicações, é claro que queremos usar o processo mais eficiente possível, e o processo de substituição sintética fica reduzido a um punhado de multiplicações e adições simples, que são muito "mais baratas" do que as exponenciações que seriam exigido de outra forma

Como saber quando usar avaliação sintética ou simplesmente inserir no polinômio?

• Passo 1: Determine o polinômio p(x) com o qual você está trabalhando e o valor de x = a, no qual você deseja avaliar o polinômio
• Passo 2: Observe o grau de p(x), para graus de 0 ou 1, você simplificará o plugue do valor
• Passo 3: Para graus de 2 e além, é mais conveniente usar avaliação sintética

A conveniência de usar a substituição sintética torna-se clara à medida que o grau do polinômio aumenta, especialmente para o grau 4 e superior.

Dicas para o sucesso

Tente seguir uma abordagem sistemática, usando o método tabular usual para dominá-lo. Evitar erros nos sinais e na hora de somar as linhas é fundamental para chegar ao resto final sem erros.

Exemplo: usar substituição sintética

Considere o polinômio: $p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12$, calcule-o no ponto $x = \frac{1}{3}$

Solução: O seguinte polinômio foi fornecido: $\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12$, que precisa ser avaliado no ponto $\displaystyle x = \frac{1}{3}$ usando substituição sintética.

Para realizar a substituição sintética, precisamos fazer uma divisão sintética de : $\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12$ e o divisor $\displaystyle s = x-\frac{1}{3}$ e encontrar o resto.

Observe que o grau do dividendo é $\displaystyle deg(p) = 5$, enquanto o grau do divisor é $\displaystyle deg(s)) = 1$.

Passo 1: Como o divisor tem grau 1, podemos usar o método da Divisão Sintética. Resolvendo $\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3} = 0$ descobrimos diretamente que o número a colocar na caixa de divisão é: $\displaystyle \frac{1}{3}$.

$$\begin{array}{c|ccccc} \frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12 \\[0.6em] & & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & & \end{array}$$

Passo 2: Agora passamos diretamente o termo inicial $1$ para a linha do resultado:

$$\begin{array}{c|ccccc} \frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12 \\[0.6em] & & & & & & & \\[0.6em] \hline &1&&&&& \end{array}$$

Passo 3: Multiplicando o termo da caixa de divisão pelo resultado da coluna 1, obtemos: $\frac{1}{3} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{3}$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 1.

$$\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & & & \\[0.6em]\hline&1&&&&&\end{array}$$

Passo 4: Somando agora os valores da coluna 2, obtemos: $0+\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 2.

$$\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & & & \end{array}$$

Estágio 5: Multiplicando o termo da caixa de divisão pelo resultado da coluna 2, obtemos: $\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{9}$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 2.

$$\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & & & \end{array}$$

Passo 6: Somando agora os valores da coluna 3, obtemos: $10+\frac{1}{9} = \frac{91}{9}$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 3.

$$\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & & \end{array}$$

Estágio 7: Multiplicando o termo da caixa de divisão pelo resultado da coluna 3, obtemos: $\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{91}{9}\right) = \frac{91}{27}$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 3.

$$\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & & \end{array}$$

Estágio 8: Somando agora os valores da coluna 4, obtemos: $0+\frac{91}{27} = \frac{91}{27}$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 4.

$$\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & \end{array}$$

Etapa 9: Multiplicando o termo da caixa de divisão pelo resultado da coluna 4, obtemos: $\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{91}{27}\right) = \frac{91}{81}$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 4.

$$\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & \end{array}$$

Etapa 10: Somando agora os valores da coluna 5, obtemos: $-2+\frac{91}{81} = -\frac{71}{81}$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 5.

$$\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & -\frac{71}{81}\end{array}$$

Estágio 11: Multiplicando o termo da caixa de divisão pelo resultado da coluna 5, obtemos: $\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{71}{81}\right) = -\frac{71}{243}$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 5.

$$\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81} & -\frac{71}{243}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & -\frac{71}{81}\end{array}$$

Estágio 12: Somando agora os valores da coluna 6, obtemos: $-12-\frac{71}{243} = -\frac{2987}{243}$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 6.

$$\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81} & -\frac{71}{243}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & -\frac{71}{81} & -\frac{2987}{243}\end{array}$$

o que conclui este cálculo, pois chegamos ao resultado na coluna final, que contém o restante.

Conclusão: Portanto, concluímos que para o dividendo dado $\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12$ e divisor $\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3}$, obtemos que o resto é $\displaystyle r(x) = -\frac{2987}{243}$, então concluímos que $\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{2987}{243}$.

Exemplo: aplicação de substituição sintética

O valor x = 1 é uma raiz do polinômio: $p(x) = x^4 - x^3 + 4x + 3$?

Solução: A substituição sintética pode ser aplicada como no exemplo anterior, mas no caso de um valor simples como x = 1, podemos simplesmente inserir x = 1 e o cálculo é muito simples:

$$p(1) = 1^4 - 1^3 + 4\cdot 1 + 3 = 1 - 1 + 4 + 3 = 7 \ne 0$$

então x = 1 não é uma raiz.

Exemplo: mais substituições sintéticas

Avalie p(1/2) para $p(x) = x^4 - 2x^3 + 4x + 3$.

Solução: Agora temos $\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3$, a ser avaliado no ponto $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ usando substituição sintética.

Então usamos a divisão sintética de : $\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3$, e o divisor $\displaystyle s = x-\frac{1}{2}$, e o objetivo é encontrar o resto.

Passo 1: Como o divisor tem grau 1, podemos usar o método da Divisão Sintética. Resolvendo $\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2} = 0$ descobrimos diretamente que o número a colocar na caixa de divisão é: $\displaystyle \frac{1}{2}$.

$$\begin{array}{c|cccc} \frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}$$

Passo 2: Agora passamos diretamente o termo inicial $1$ para a linha do resultado:

$$\begin{array}{c|cccc} \frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &1&&&& \end{array}$$

Passo 3: Multiplicando o termo da caixa de divisão pelo resultado da coluna 1, encontramos: $\frac{1}{2} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{2}$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 1.

$$\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & & \\[0.6em]\hline&1&&&&\end{array}$$

Passo 4: Somando agora os valores da coluna 2, encontramos: $-2+\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$ e este resultado é inserido na linha de resultado, coluna 2.

$$\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & & \end{array}$$

Estágio 5: Multiplicando o termo da caixa de divisão pelo resultado da coluna 2, encontramos: $\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{3}{4}$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 2.

$$\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & & \end{array}$$

Passo 6: Somando agora os valores da coluna 3, encontramos: $0-\frac{3}{4} = -\frac{3}{4}$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 3.

$$\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \end{array}$$

Estágio 7: Multiplicando o termo da caixa de divisão pelo resultado da coluna 3, encontramos: $\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{3}{8}$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 3.

$$\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \end{array}$$

Estágio 8: Somando agora os valores da coluna 4, encontramos: $4-\frac{3}{8} = \frac{29}{8}$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 4.

$$\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{29}{8}\end{array}$$

Etapa 9: Multiplicando o termo da caixa de divisão pelo resultado da coluna 4, encontramos: $\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{29}{8}\right) = \frac{29}{16}$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 4.

$$\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8} & \frac{29}{16}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{29}{8}\end{array}$$

Etapa 10: Somando agora os valores da coluna 5, encontramos: $3+\frac{29}{16} = \frac{77}{16}$ e este resultado é inserido na linha de resultado, coluna 5.

$$\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8} & \frac{29}{16}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{29}{8} & \frac{77}{16}\end{array}$$

Conclusão: Portanto, concluímos que para o dividendo dado $\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3$ e divisor $\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2}$, e obtemos que o resto é igual a $\displaystyle r(x) = \frac{77}{16}$, então concluímos que $\displaystyle p\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{77}{16}$.

Mais calculadoras polinomiais

A importância do avaliações polinomiais e os cálculos não podem ser subestimados. raízes polinomiais são incrivelmente versáteis e aparecem em muitas aplicações em Física e Engenharia. .

Neste artigo vimos a clara conexão com a substituição sintética com ambos Divisão Sintética e Divisão longa , que fecha o círculo que é gerado pelo Teorema Do Resto , que sem dúvida é um predecessor direto do Teorema Fundamental da Álgebra.