Calculadora de função exponencial


Instruções: Use esta Calculadora de Função Exponencial passo a passo para encontrar a função que descreve a função exponencial que passa por dois pontos dados no plano XY. Você precisa fornecer os pontos (t1,y1)(t_1, y_1) e (t2,y2)(t_2, y_2), e esta calculadora estimará a função exponencial apropriada e fornecerá seu gráfico.

Primeiro t (t1t_1) =
Primeiro y (f(t1)f(t_1)) =
Segundo t (t2t_2) =
Segundo y: (f(t2)f(t_2)) =
Pontos a avaliar (opcional. Separados por vírgula ou espaço) =



Calculadora de função exponencial de dois pontos

A ideia desta calculadora é estimar os parâmetros A0A_0 e kk para a função f(t)f(t) definida como:

f(t)=A0ektf(t) = A_0 e^{kt}

para que esta função passe pelos pontos dados (t1,y1)(t_1, y_1) e (t2,y2)(t_2, y_2).

Mas, como você encontra uma função exponencial de pontos?

Tecnicamente, a fim de encontrar os parâmetros, você precisa resolver o seguinte sistema de equações:

y1=A0ekt1y_1 = A_0 e^{k t_1} y2=A0ekt2y_2 = A_0 e^{k t_2}

Resolver este sistema para A0A_0 e kk levará a uma solução única, desde que t1≠t2t_1 = \not t_2.

Na verdade, dividindo os dois lados das equações:

y1y2=ekt1ekt2\displaystyle \frac{y_1}{y_2} = \frac{e^{k t_1}}{e^{k t_2}} y1y2=ek(t1t2)\displaystyle \Rightarrow \, \frac{y_1}{y_2} = e^{k (t_1-t_2)} ln(y1y2)=k(t1t2)\displaystyle \Rightarrow \, \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right) = k (t_1-t_2) k=1t1t2ln(y1y2)\displaystyle \Rightarrow \, k = \frac{1}{t_1-t_2} \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right)

A fim de resolver para A0A_0, notamos a partir da primeira equação que:

A0=y1ekt1=y1y2y1ekt2=y2ekt2A_0 = y_1 e^{-k t_1} = y_1 \frac{y_2}{y_1 e^{k t_2}} =\frac{y_2}{e^{k t_2}}

Como você calcula o crescimento exponencial?

Nem sempre é crescimento. De fato, se o parâmetro kk é positivo, então temos crescimento exponencial, mas se o parâmetro kk é negativo, então temos decaimento exponencial.

O parâmetro kk será zero apenas se y1=y2y_1 = y_2 (os dois pontos têm a mesma altura).

Para comportamentos exponenciais específicos, você pode verificar nosso Calculadora de crescimento exponencial e a calculadora de decaimento exponencial , que usam parâmetros específicos para esses tipos de comportamento exponencial.

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