Calculadora de função exponencial de dois pontos

A ideia desta calculadora é estimar os parâmetros \(A_0\) e \(k\) para a função \(f(t)\) definida como:

\[f(t) = A_0 e^{kt}\]

para que esta função passe pelos pontos dados \((t_1, y_1)\) e \((t_2, y_2)\).

Mas, como você encontra uma função exponencial de pontos?

Tecnicamente, a fim de encontrar os parâmetros, você precisa resolver o seguinte sistema de equações:

\[y_1 = A_0 e^{k t_1}\] \[y_2 = A_0 e^{k t_2}\]

Resolver este sistema para \(A_0\) e \(k\) levará a uma solução única, desde que \(t_1 = \not t_2\).

Na verdade, dividindo os dois lados das equações:

\[\displaystyle \frac{y_1}{y_2} = \frac{e^{k t_1}}{e^{k t_2}}\] \[\displaystyle \Rightarrow \, \frac{y_1}{y_2} = e^{k (t_1-t_2)}\] \[\displaystyle \Rightarrow \, \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right) = k (t_1-t_2)\] \[\displaystyle \Rightarrow \, k = \frac{1}{t_1-t_2} \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right)\]

A fim de resolver para \(A_0\), notamos a partir da primeira equação que:

\[A_0 = y_1 e^{-k t_1} = y_1 \frac{y_2}{y_1 e^{k t_2}} =\frac{y_2}{e^{k t_2}} \]

Como você calcula o crescimento exponencial?

Nem sempre é crescimento. De fato, se o parâmetro \(k\) é positivo, então temos crescimento exponencial, mas se o parâmetro \(k\) é negativo, então temos decaimento exponencial.

O parâmetro \(k\) será zero apenas se \(y_1 = y_2\) (os dois pontos têm a mesma altura).

Para comportamentos exponenciais específicos, você pode verificar nosso Calculadora de crescimento exponencial e a calculadora de decaimento exponencial , que usam parâmetros específicos para esses tipos de comportamento exponencial.