Divisão polinomial

Esta calculadora conduzirá uma divisão polinomial para você, e tudo o que você precisa fazer é fornecer dois polinômios válidos. A ordem dada a esses polinômios é importante, já que a divisão polinomial é não comutativo (então p(x)/s(x) não é o mesmo que s(x)/p(x)).

O primeiro polinômio que você fornece, geralmente chamado de dividendo, corresponde ao dividendo, e o segundo polinômio é aquele pelo qual você está dividindo, geralmente chamado de divisor.

Exemplos de polinômios válidos são p(x) = x^4 + 3x^3 - 2 e s(x) = x - 3, mas os coeficientes polinomiais não precisam ser inteiros, pois podem ser frações ou qualquer tipo de expressão numérica válida. Além disso, os polinômios não devem vir simplificados. Se necessário, a calculadora realizará uma simplificação polinomial antes de dividir.

Depois de fornecer os polinômios válidos, está tudo pronto. Tudo o que resta fazer é clicar em "Calcular", para que você possa obter todas as etapas do processo mostradas.

Como dividir polinômios

A divisão polinomial é um pouco mais complicada do que a divisão de números. Por exemplo, quando dividimos dois números como '4 dividido por 2', fazemos 4/2 = 2. Então é fácil, certo?

Mas nem sempre é tão fácil, porque podemos ter algo como '7/2'. Você pode dizer 'bem, 7/2 = 3,5' e estaria correto, mas outra maneira de ver é dizer que '7 dividido por 2 é 3, com resto 1'. Porque? Porque não existe inteiro tal que multiplicando por 2 chegue a 7. O mais próximo é 3, então \(2 \cdot 3 = 6\), mas tenho resto 1

Exatamente a mesma ideia se aplica à divisão polinomial. Dado um polinômio \(p(x)\) e um divisor \(s(x)\) teremos experimentar para encontrar um quociente \(q(x)\) tal que

\[\displaystyle p(x) = s(x) \cdot q(x)\]

mas nem sempre conseguiremos, da mesma forma que para '7/2' não conseguimos encontrar uma divisão exata. Então, vamos identificar o resto \(r(x)\), que é o polinômio que dá conta de quanto \(s(x) \cdot q(x)\) "erra" ao mirar em p(x). Então nós escrevemos

\[\displaystyle p(x) = s(x) \cdot q(x) + r(x)\]

Idealmente, queremos que \(r(x)\) seja zero, caso contrário, queremos que seja o menor possível. O algoritmo de Euclides nos mostra como encontrar o menor \(r(x)\) possível e se der certo pode ser zero, caso em que dizemos que o divisor \(s(x)\) divide o polinômio \(p(x)\).

Quais são as etapas da divisão polinomial?

• Passo 1: Identifique o dividendo p(x) e o divisor s(x). Certifique-se de simplificá-los o máximo possível antes de prosseguir
• Passo 2: Se o grau de s(x) for maior que o grau de p(x) , pare, neste caso o quociente é zero e o resto é p(x)
• Passo 3: Se você não parou na etapa 2, observe o termo inicial do divisor e o termo inicial do dividendo
• Passo 4: Encontre a divisão entre os termos iniciais do dividendo e do divisor (isto é interpretado como o termo que você precisa para multiplicar o termo líder do divisor para chegar ao termo líder do dividendo), e este será o fator atual, que será ser adicionado ao quociente atual
• Estágio 5: Multiplique o fator atual pelo divisor e o resultado subtraia do dividendo, criando assim um novo dividendo atual
• Passo 6: Repita esse processo até que o dividendo atual tenha um grau menor que o divisor. Então pare, seu divisor atual será seu resto

É garantido que esse processo funcione, pois o dividendo atual reduz seu grau em pelo menos um em cada etapa. Inteligente, hein?

Que método usar, divisão longa ou divisão sintética?

A divisão sintética é usada no caso especial em que o divisor tem grau um. Por exemplo, s(x) = x - 1, mas não funcionaria para s(x) = x^2 - 1, embora existam versões do algoritmo de divisão sintética para graus superiores. A divisão sintética é tipicamente restrita a divisores de grau 1 por causa de sua associação íntima com Substituição Sintética e a teorema do resto , faz sentido.

A divisão longa acontecerá na maioria dos casos, quando a divisão sintética não for aplicável. Observe que a divisão sintética usa um método de divisão longa, apenas que é adaptada para ser super rápida, por isso é a forma preferida quando possível.

Como usar a divisão polinomial para resolver equações polinomiais?

• Passo 1: Identifique sua equação polinomial e certifique-se de que cada lado da equação é de fato um polinômio válido
• Passo 2: Passe todos os termos de um lado para o outro trocando os sinais
• Passo 3: Agrupe todos os termos de um lado e simplifique
• Passo 4: Agora você tem uma equação polinomial em que um lado é um polinômio e o outro lado é 0, portanto, é resolvido fatorando o polinômio correspondente
• Estágio 5: Primeiro, você tenta com o teorema da raiz racional tentar encontrar raízes simples
• Passo 6: Agrupe as raízes simples, crie os correspondentes termos lineares associados (ex: se x = 1 for uma solução, forme o termo x - 1), multiplique-os e divida o polinômio por ele. Desta forma, você obterá um quociente de ordem inferior
• Estágio 7: Repita os passos com o quociente de ordem inferior encontrado nos passos anteriores

Como você pode ver, não existem atalhos ou fórmulas mágicas para encontrar as raízes de polinômios . Mas existe um procedimento sistemático que pode aumentar suas chances de encontrar as raízes com a maior facilidade possível.

Por que se preocupar com a divisão de polinômios

Precisamente porque a divisão polinomial é a chave para encontrar raízes para equações polinomiais , que são um dos tópicos centrais da álgebra.

Exemplo: cálculo de divisão polinomial

Calcule a seguinte divisão: \(\frac{3x^3+3x+3}{3x+1}\)

Solução: Neste caso, da divisão fornecida temos que o dividendo é \(\displaystyle p(x) = 3x^3+3x+3\), e o divisor é \(\displaystyle s(x) = 3x+1\).

Nesse caso, o grau do dividendo é \(\displaystyle deg(p) = 3\), enquanto o grau do divisor é \(\displaystyle deg(s)) = 1\).

Passo 1: O termo inicial do dividendo \(\displaystyle p(x) = 3x^3+3x+3\) é \(\displaystyle 3x^3\), enquanto o termo inicial do divisor \(\displaystyle s(x) = 3x+1\) é igual a \(\displaystyle 3x\).

Então, o termo que precisamos multiplicar \(3x\) para chegar ao termo inicial do dividendo é \(\displaystyle \frac{ 3x^3}{ 3x} = x^2\), então adicionamos esse termo ao quociente. Além disso, multiplicamos isso pelo divisor para obter \(\displaystyle x^2 \cdot \left(3x+1\right) = 3x^3+x^2\), que precisamos subtrair ao dividendo:

\[\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle 3x^3 & \displaystyle & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -3x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \end{array}\]

Passo 2: Agora, o termo inicial do restante atual \(\displaystyle -x^2+3x+3\) é \(\displaystyle x^2\), e sabemos que o termo inicial do divisor é \(\displaystyle 3x\).

Então, o termo que precisamos multiplicar \(3x\) para chegar ao termo inicial do resto atual é \(\displaystyle \frac{ -1x^2}{ 3x} = -\frac{1}{3}x\), então adicionamos esse termo ao quociente. Além disso, multiplicamos isso pelo divisor para obter \(\displaystyle -\frac{1}{3}x \cdot \left(3x+1\right) = -x^2-\frac{1}{3}x\), que precisamos subtrair do lembrete atual:

\[\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{1}{3}x & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle 3x^3 & \displaystyle & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -3x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle +\frac{1}{3}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{3}x & \displaystyle +3\\[0.8em] \end{array}\]

Passo 3: Agora, o termo inicial do restante atual \(\displaystyle \frac{10}{3}x+3\) é \(\displaystyle \frac{10}{3}x\), e sabemos que o termo inicial do divisor é \(\displaystyle 3x\).

Então, o termo que precisamos multiplicar \(3x\) para chegar ao termo inicial do resto atual é \(\displaystyle \frac{ \frac{10}{3}x}{ 3x} = \frac{10}{9}\), então adicionamos esse termo ao quociente. Além disso, multiplicamos isso pelo divisor para obter \(\displaystyle \frac{10}{9} \cdot \left(3x+1\right) = \frac{10}{3}x+\frac{10}{9}\), que precisamos subtrair do lembrete atual:

\[\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{1}{3}x & \displaystyle +\frac{10}{9}&\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle 3x^3 & \displaystyle & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -3x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle +\frac{1}{3}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{3}x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{3}x & \displaystyle -\frac{10}{9}\\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{17}{9}\\[0.8em] \end{array}\]

que consequentemente encerra o processo.

Conclusão: Portanto, concluímos que para o dividendo dado \(\displaystyle p(x) = 3x^3+3x+3\) e divisor \(\displaystyle s(x) = 3x+1\), obtemos que o quociente é \(\displaystyle q(x) = x^2-\frac{1}{3}x+\frac{10}{9}\) e o resto é \(\displaystyle r(x) = \frac{17}{9}\), e que

\[\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = \frac{3x^3+3x+3}{3x+1} = x^2-\frac{1}{3}x+\frac{10}{9} + \frac{\frac{17}{9}}{3x+1}\]

Exemplo: outra divisão de polinômios

Calcule a divisão do dividendo \(\frac{1}{3} x^4 - x^3 + 2x - \frac{5}{6}\) e do divisor \(s(x) = 3x+1\)

Solução: Neste caso foi fornecido: \(\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}\), que precisa ser dividido pelo polinômio \(\displaystyle s(x) = 3x+1\).

Agora, o grau do dividendo é \(\displaystyle deg(p) = 4\) e o grau do divisor é \(\displaystyle deg(s)) = 1\).

Passo 1: O termo inicial do dividendo \(\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}\) é \(\displaystyle \frac{1}{3}x^4\), enquanto o termo inicial do divisor \(\displaystyle s(x) = 3x+1\) é igual a \(\displaystyle 3x\).

Então, o termo que precisamos multiplicar \(3x\) para chegar ao termo inicial do dividendo é \(\displaystyle \frac{ \frac{1}{3}x^4}{ 3x} = \frac{1}{9}x^3\), então adicionamos esse termo ao quociente. Além disso, multiplicamos isso pelo divisor para obter \(\displaystyle \frac{1}{9}x^3 \cdot \left(3x+1\right) = \frac{1}{3}x^4+\frac{1}{9}x^3\), que precisamos subtrair ao dividendo:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \end{array}\]

Passo 2: Nesse caso, o termo inicial do restante atual \(\displaystyle -\frac{10}{9}x^3+2x-\frac{5}{6}\) é \(\displaystyle -\frac{10}{9}x^3\) e sabemos que o termo inicial do divisor é \(\displaystyle 3x\).

Então, o termo que precisamos multiplicar \(3x\) para chegar ao termo inicial do resto atual é \(\displaystyle \frac{ -\frac{10}{9}x^3}{ 3x} = -\frac{10}{27}x^2\), então adicionamos esse termo ao quociente. Além disso, multiplicamos isso pelo divisor para obter \(\displaystyle -\frac{10}{27}x^2 \cdot \left(3x+1\right) = -\frac{10}{9}x^3-\frac{10}{27}x^2\), que precisamos subtrair do lembrete atual:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{10}{9}x^3 & \displaystyle +\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \end{array}\]

Passo 3: Nesse caso, o termo inicial do restante atual \(\displaystyle \frac{10}{27}x^2+2x-\frac{5}{6}\) é \(\displaystyle \frac{10}{27}x^2\) e sabemos que o termo inicial do divisor é \(\displaystyle 3x\).

Então, o termo que precisamos multiplicar \(3x\) para chegar ao termo inicial do resto atual é \(\displaystyle \frac{ \frac{10}{27}x^2}{ 3x} = \frac{10}{81}x\), então adicionamos esse termo ao quociente. Além disso, multiplicamos isso pelo divisor para obter \(\displaystyle \frac{10}{81}x \cdot \left(3x+1\right) = \frac{10}{27}x^2+\frac{10}{81}x\), que precisamos subtrair do lembrete atual:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +\frac{10}{81}x & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{10}{9}x^3 & \displaystyle +\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle -\frac{10}{81}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{152}{81}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \end{array}\]

Passo 4: Nesse caso, o termo inicial do restante atual \(\displaystyle \frac{152}{81}x-\frac{5}{6}\) é \(\displaystyle \frac{152}{81}x\) e sabemos que o termo inicial do divisor é \(\displaystyle 3x\).

Então, o termo que precisamos multiplicar \(3x\) para chegar ao termo inicial do resto atual é \(\displaystyle \frac{ \frac{152}{81}x}{ 3x} = \frac{152}{243}\), então adicionamos esse termo ao quociente. Além disso, multiplicamos isso pelo divisor para obter \(\displaystyle \frac{152}{243} \cdot \left(3x+1\right) = \frac{152}{81}x+\frac{152}{243}\), que precisamos subtrair do lembrete atual:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +\frac{10}{81}x & \displaystyle +\frac{152}{243}&\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{10}{9}x^3 & \displaystyle +\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle -\frac{10}{81}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{152}{81}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{152}{81}x & \displaystyle -\frac{152}{243}\\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{709}{486}\\[0.8em] \end{array}\]

o que conclui este cálculo, já que o grau do resto atual \(r(x) = -\frac{709}{486}\) é menor que o grau do divisor \(s(x) = 3x+1\).

Conclusão: Portanto, concluímos que para o dividendo dado \(\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}\) e divisor \(\displaystyle s(x) = 3x+1\), obtemos que o quociente é \(\displaystyle q(x) = \frac{1}{9}x^3-\frac{10}{27}x^2+\frac{10}{81}x+\frac{152}{243}\) e o resto é \(\displaystyle r(x) = -\frac{709}{486}\), e que

\[\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = \frac{\frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}}{3x+1} = \frac{1}{9}x^3-\frac{10}{27}x^2+\frac{10}{81}x+\frac{152}{243} - \frac{\frac{709}{486}}{3x+1}\]

Exemplo: mais divisões polinomiais

Calcule a seguinte divisão de polinômios: \(\frac{4x^4-2x^2+x-1}{x+1}\). Podemos dizer que x = -1 é uma raiz de \(4x^4-2x^2+x-1\)

Solução: Temos os seguintes dividendos e divisores: \(\displaystyle p(x) = 4x^4-2x^2+x-1\) e \(\displaystyle s(x) = x+1\).

Temos que o grau do dividendo é \(\displaystyle deg(p) = 4\), e o grau do divisor é \(\displaystyle deg(s)) = 1\).

Passo 1: O termo inicial do dividendo \(\displaystyle p(x) = 4x^4-2x^2+x-1\) é \(\displaystyle 4x^4\), enquanto o termo inicial do divisor \(\displaystyle s(x) = x+1\) é igual a \(\displaystyle x\).

Então, o termo que precisamos multiplicar \(x\) para chegar ao termo inicial do dividendo é \(\displaystyle \frac{ 4x^4}{ x} = 4x^3\), então adicionamos esse termo ao quociente. Além disso, multiplicamos isso pelo divisor para obter \(\displaystyle 4x^3 \cdot \left(x+1\right) = 4x^4+4x^3\), que precisamos subtrair ao dividendo:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \end{array}\]

Passo 2: Nesse caso, o termo inicial do restante atual \(\displaystyle -4x^3-2x^2+x-1\) é \(\displaystyle -4x^3\) e sabemos que o termo inicial do divisor é \(\displaystyle x\).

Então, o termo que precisamos multiplicar \(x\) para chegar ao termo inicial do resto atual é \(\displaystyle \frac{ -4x^3}{ x} = -4x^2\), então adicionamos esse termo ao quociente. Além disso, multiplicamos isso pelo divisor para obter \(\displaystyle -4x^2 \cdot \left(x+1\right) = -4x^3-4x^2\), que precisamos subtrair do lembrete atual:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle -4x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle 4x^3 & \displaystyle +4x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \end{array}\]

Passo 3: Nesse caso, o termo inicial do restante atual \(\displaystyle 2x^2+x-1\) é \(\displaystyle 2x^2\) e sabemos que o termo inicial do divisor é \(\displaystyle x\).

Então, o termo que precisamos multiplicar \(x\) para chegar ao termo inicial do resto atual é \(\displaystyle \frac{ 2x^2}{ x} = 2x\), então adicionamos esse termo ao quociente. Além disso, multiplicamos isso pelo divisor para obter \(\displaystyle 2x \cdot \left(x+1\right) = 2x^2+2x\), que precisamos subtrair do lembrete atual:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle -4x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle &\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle 4x^3 & \displaystyle +4x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle -2x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x & \displaystyle -1\\[0.8em] \end{array}\]

Passo 4: Nesse caso, o termo inicial do restante atual \(\displaystyle -x-1\) é \(\displaystyle -1x\) e sabemos que o termo inicial do divisor é \(\displaystyle x\).

Então, o termo que precisamos multiplicar \(x\) para chegar ao termo inicial do resto atual é \(\displaystyle \frac{ -1x}{ x} = -1\), então adicionamos esse termo ao quociente. Além disso, multiplicamos isso pelo divisor para obter \(\displaystyle -1 \cdot \left(x+1\right) = -x-1\), que precisamos subtrair do lembrete atual:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle -4x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -1&\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle 4x^3 & \displaystyle +4x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle -2x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x & \displaystyle +1\\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 0\\[0.8em] \end{array}\]

e paramos a iteração, pois o grau do resto atual \(r(x) = 0\) é menor que o grau do divisor \(s(x) = x+1\).

Conclusão: Portanto, concluímos que para o dividendo dado \(\displaystyle p(x) = 4x^4-2x^2+x-1\) e divisor \(\displaystyle s(x) = x+1\), obtemos que o quociente é \(\displaystyle q(x) = 4x^3-4x^2+2x-1\) e o resto é \(\displaystyle r(x) = 0\), o que significa que o \(s(x)\) divide \(p(x)\) exatamente, e obtemos

\[\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = \frac{4x^4-2x^2+x-1}{x+1} = 4x^3-4x^2+2x-1\]

Mais calculadoras polinomiais

Ser capaz de com sucesso calcular polinômios pode ser crucial em seu arsenal de habilidades de álgebra no momento da fatoração de polinômios ou resolvendo equações polinomiais . fração para decimal