Calculadora de função logarítmica de dois pontos

O principal objetivo desta calculadora é estimar os parâmetros \(A_0\) e \(k\) para a função logarítmica \(f(t)\) que é definida como:

\[f(t) = A_0 \ln(k t)\]

Os parâmetros precisam ser para que a função logarítmica passe pelos dois pontos dados \((t_1, y_1)\) e \((t_2, y_2)\).

Como você estima uma função logarítmica a partir de dois pontos?

Falando algebricamente, você precisa resolver o seguinte sistema de equações para encontrar os parâmetros \(A_0\) e \(k\):

\[y_1 = A_0 \ln(k t_1)\] \[y_2 = A_0 \ln(k t_2)\]

Resolvendo este sistema para as incógnitas \(A_0\) e \(k\), podemos encontrar soluções únicas, desde que \(t_1 \ne t_2\).

De fato, subtraindo ambos os lados das equações:

\[\displaystyle y_1 - y_2 = A_0 \left( \ln(k t_1) - \ln(k t_2) \right)\] \[\displaystyle \Rightarrow \, y_1 - y_2 = A_0 \ln \left(\displaystyle\frac{k t_1}{k t_2}\right) \] \[\displaystyle \Rightarrow \, y_1 - y_2 = A_0 \ln \left(\displaystyle\frac{t_1}{t_2}\right) \] \[ \Rightarrow \, A_0 = \displaystyle \frac{y_1 - y_2}{\ln(t_1) - \ln(t_2)} \]

que resolve as equações para \(A_0\). Agora, para resolver para \(k\) usamos a primeira equação e aplicamos exponencial a ambos os lados::

\[y_1 = A_0 \ln(k t_1)\] \[ \Rightarrow \, \displaystyle e^{\frac{y_1}{A_0}} = k t_1 \] \[ \Rightarrow \, k = \displaystyle \frac{e^{\frac{y_1}{A_0}}}{t_1} \]

e aí encontramos \(k\), como função de \(A_0\) que já está determinado e conhecido.

Como calcular uma função exponencial?

Se, em vez de uma função logarítmica, você estiver interessado em comportamento exponencial, provavelmente deverá usar isso Calculadora de função exponencial , que segue a mesma lógica de estimar parâmetros para impor a passagem da função por dois pontos dados.