Calculadora de função logarítmica de dois pontos

O principal objetivo desta calculadora é estimar os parâmetros $A_0$ e $k$ para a função logarítmica $f(t)$ que é definida como:

$$f(t) = A_0 \ln(k t)$$

Os parâmetros precisam ser para que a função logarítmica passe pelos dois pontos dados $(t_1, y_1)$ e $(t_2, y_2)$.

Como você estima uma função logarítmica a partir de dois pontos?

Falando algebricamente, você precisa resolver o seguinte sistema de equações para encontrar os parâmetros $A_0$ e $k$:

$$y_1 = A_0 \ln(k t_1)$$ $$y_2 = A_0 \ln(k t_2)$$

Resolvendo este sistema para as incógnitas $A_0$ e $k$, podemos encontrar soluções únicas, desde que $t_1 \ne t_2$.

De fato, subtraindo ambos os lados das equações:

$$\displaystyle y_1 - y_2 = A_0 \left( \ln(k t_1) - \ln(k t_2) \right)$$ $$\displaystyle \Rightarrow \, y_1 - y_2 = A_0 \ln \left(\displaystyle\frac{k t_1}{k t_2}\right)$$ $$\displaystyle \Rightarrow \, y_1 - y_2 = A_0 \ln \left(\displaystyle\frac{t_1}{t_2}\right)$$ $$\Rightarrow \, A_0 = \displaystyle \frac{y_1 - y_2}{\ln(t_1) - \ln(t_2)}$$

que resolve as equações para $A_0$. Agora, para resolver para $k$ usamos a primeira equação e aplicamos exponencial a ambos os lados::

$$y_1 = A_0 \ln(k t_1)$$ $$\Rightarrow \, \displaystyle e^{\frac{y_1}{A_0}} = k t_1$$ $$\Rightarrow \, k = \displaystyle \frac{e^{\frac{y_1}{A_0}}}{t_1}$$

e aí encontramos $k$, como função de $A_0$ que já está determinado e conhecido.

Como calcular uma função exponencial?

Se, em vez de uma função logarítmica, você estiver interessado em comportamento exponencial, provavelmente deverá usar isso Calculadora de função exponencial , que segue a mesma lógica de estimar parâmetros para impor a passagem da função por dois pontos dados.