À propos des équations polynomiales

Utilisez cette calculatrice pour vous aider à résoudre des équations polynomiales, en montrant toutes les étapes du processus. L'équation que vous fournissez peut avoir des termes polynomiaux à gauche et à droite de l'équation.

Par exemple, vous pouvez fournir une équation comme 3x^3 - 2x = 1 + x, qui pourrait être dérivée en essayant de trouver l'intersection des graphiques d'une fonction cubique et d'une fonction linéaire. Toute équation polynomiale fera l'affaire, avec des coefficients entiers ou fractionnaires, ou toute expression numérique valide.

Une fois l'équation polynomiale saisie dans le formulaire, vous devez cliquer sur "Calculer", qui affichera toutes les étapes du processus et les solutions.

Un avertissement, toutes les équations polynomiales ne peuvent pas être résolues avec les outils de base. Il n'existe pas de formule systématique pour traiter les équations polynomiales de degré 5 ou plus. De plus, nous devons faire face à la difficulté supplémentaire que les solutions d'une équation polynomiale peuvent être des nombres complexes.

Qu'est-ce qu'une équation polynomiale

Une équation polynomiale, en termes simples, est une équation dont les deux côtés contiennent des polynômes. Mathématiquement, une équation polynomiale est de la forme :

\[\displaystyle p(x) = q(x) \]

où \(p(x)\) et \(q(x)\) sont des polynômes. Par exemple, \(3x+1 = x^2-2\) est une équation polynomiale, mais \(\sin(3x+1) = x^2-2\) ne l'est pas.

Quelles sont les étapes de la résolution des équations polynomiales ?

• Étape 1 : Identifiez l'équation avec laquelle vous voulez travailler, en indiquant clairement les termes du côté gauche et du côté droit, et assurez-vous qu'il s'agit de polynômes
• Étape 2 : Simplifiez chaque côté autant que possible. Faites passer tous les termes d'un côté à l'autre (si les deux côtés ont des termes)
• Étape 3 : Maintenant, vous avez une équation polynomiale qui doit être égale à zéro, donc nous devons trouver les racines du polynôme
• Étape 4 : Nous essayons avec les racines rationnelles possibles, la division polynomiale pour la réduction et la formule quadratique, comme le montre l'exemple suivant calculatrice polynomiale zéro pour trouver les solutions, si possible

Vous constaterez que la résolution d'équations polynomiales, comme la recherche des racines d'un polynôme, est loin d'être triviale dans tous les cas. Certes, certains exemples spécifiques peuvent être très simples, mais lorsque l'exposant des polynômes concernés est élevé, le processus peut s'avérer très difficile ou tout simplement impossible.

Les équations quadratiques sont-elles aussi des équations polynomiales ?

Oui, en effet ! Une équation quadratique est une équation avec un polynôme de degré 2 du côté gauche, et 0 (qui est aussi un polynôme) du côté droit, donc elle correspond à la définition.

En Effet, équations quadratiques sont à peu près les meilleures que nous puissions résoudre avec des outils simples. Bien qu'il existe des formules pour les équations cubiques et quartiques, il n'y a pas de formule générale pour les degrés 5 ou plus. Nous nous en remettons donc souvent aux ordinateurs pour trouver des approximations numériques.

De plus, ce n'est pas seulement l'exposant du polynôme qui peut rendre une équation difficile à résoudre, mais aussi les coefficients encombrants du polynôme qui peuvent certainement rendre les choses plus difficiles.

Comment les graphiques des polynômes sont-ils liés aux équations polynomiales ?

Il y a différentes façons de voir les choses, mais l'une d'entre elles consiste à remarquer qu'en essayant de trouver l'intersection de différents polynômes, on résout effectivement une équation polynomiale. Il y a donc des problèmes étroitement liés.

Exemple : résolution d'équations polynomiales

Calculez l'équation polynomiale suivante : \(x^2 = x^3\)

Solution : Nous devons résoudre \(x^2 = x^3\), donc nous passons \(x^3\) de l'autre côté, ce qui nous donne

\[ x^2 - x^3 = 0\]

et la factorisation conduit à :

\[ x^2(1 - x) = 0\]

Il y a donc deux solutions : \(x_1 = 0\) (qui a une multiplicité de 2), et \(x_2 = 1\).

Exemple : résolution d'équations polynomiales

Quelles sont les solutions de l'équation suivante : \(\frac{2}{3} x^2 + \frac{5}{4} x = \frac{1}{3} x^2 - \frac{5}{6}\)

Solution : Nous devons résoudre l'équation suivante :

\[\displaystyle \frac{2}{3}x^2+\frac{5}{4}x=\frac{1}{3}x^2-\frac{5}{6}\]

Étape Initiale : Dans ce cas, nous devons d'abord simplifier l'équation \(\displaystyle \frac{2}{3}x^2+\frac{5}{4}x=\frac{1}{3}x^2-\frac{5}{6} \), en plaçant tous les termes d'un côté de l'équation, de sorte que nous obtenons :

Par conséquent, après simplification, nous devons résoudre l'équation polynomiale suivante d'ordre \(2\) :

\[\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = 0\]

Observez que le degré du polynôme donné est \(\displaystyle deg(p) = 2\), son coefficient directeur est \(\displaystyle a_{2} = \frac{1}{3}\) et son coefficient constant est \(\displaystyle a_0 = \frac{5}{6}\).

Nous devons résoudre l'équation quadratique suivante \(\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6}=0\).

Pour une équation quadratique de la forme \(a x^2 + bx + c = 0\), les racines sont calculées à l'aide de la formule suivante :

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Dans ce cas, l'équation à résoudre est \(\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = 0\), ce qui implique que les coefficients correspondants sont :

\[a = \frac{1}{3}\] \[b = \frac{5}{4}\] \[c = \frac{5}{6}\]

Tout d'abord, nous allons calculer le discriminant pour évaluer la nature des racines. Le discriminant est calculé comme suit :

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( \frac{5}{4}\right)^2 - 4 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)\cdot \left(\frac{5}{6}\right) = \frac{65}{144}\]

Puisque dans ce cas le discriminant est \(\Delta = \displaystyle \frac{65}{144} > 0\), qui est positif, nous savons que l'équation a deux racines réelles différentes.

En introduisant ces valeurs dans la formule des racines, nous obtenons :

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\left(\frac{5}{4}\right)^2-4\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{5}{6}\right)}}{2\cdot \frac{1}{3}} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\frac{65}{144}}}{\frac{2}{3}}\]

donc, nous trouvons que :

\[ x_1 = -\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}-\frac{1}{\frac{2}{3}}\sqrt{\frac{65}{144}}=-\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}-\frac{1}{\frac{2}{3}}\cdot\frac{1}{12}\sqrt{65}=-\frac{5}{4}\cdot \frac{3}{2}-\frac{\frac{1\cdot 3}{2}\cdot 1}{12}\sqrt{65}=-\frac{15}{8}+1\cdot \left(-\frac{1}{8}\right)\sqrt{65}=-\frac{15}{8}-\frac{1}{8}\sqrt{65} \] \[x_2 = -\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}+\frac{1}{\frac{2}{3}}\sqrt{\frac{65}{144}}=-\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}+\frac{1}{\frac{2}{3}}\cdot\frac{1}{12}\sqrt{65}=-\frac{15}{8}+1\cdot \frac{1}{8}\sqrt{65}=-\frac{15}{8}+\frac{1}{8}\sqrt{65}\]

Dans ce cas, l'équation quadratique \( \displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = 0 \), a deux racines réelles, donc :

\[\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = \frac{1}{3} \left(x+\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right)\left(x-\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right)\]

alors le polynôme original est factorisé en \(\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = \frac{1}{3} \left(x+\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right)\left(x-\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right) \), ce qui complète la factorisation.

Conclusion : Les solutions de l'équation polynomiale trouvée en utilisant le processus de factorisation sont \(-\frac{1}{8}\sqrt{65}-\frac{15}{8}\) et \(\frac{1}{8}\sqrt{65}-\frac{15}{8}\) .

Plus de calculateurs de polynômes

Les équations polynomiales apparaissent si naturellement en algèbre, qu'elles constituent l'un des sujets les plus importants de l'algèbre. Lorsque vous cherchez l'intersection de deux paraboles vous devrez résoudre une équation polynomiale pour ne citer qu'une situation parmi d'autres.

Le cas le plus simple d'une équation polynomiale est celui où l'on résout une équation de type équation linéaire ce qui est effectivement un cas trivial. Tout ce qui n'est pas linéaire nécessitera beaucoup plus de travail.

La résolution d'une équation polynomiale n'est pas simple, surtout dans le cas d'équations plus élevées degrés polynomiaux . En effet, il est tout à fait possible que vous ne puissiez pas trouver manuellement toutes les solutions d'une équation donnée (ou n'importe quelle solution d'ailleurs).

La meilleure alternative manuelle consiste à regrouper tous les termes du polynôme d'un côté pour le réduire à trouver les zéros d'un polynôme . Ensuite, nous utilisons la formule quadratique lorsque cela est possible, et nous essayons de réduire l'ordre du polynôme en Division polynomiale et le théorème des facteurs .