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Calculatrice du théorème rationnel du zéro

Instructions: Utilisez cette calculatrice du théorème du zéro rationnel pour essayer de trouver des racines rationnelles pour toute équation polynomiale que vous fournissez, en montrant toutes les étapes. Veuillez saisir une équation polynomiale dans le formulaire ci-dessous.

Entrez une équation polynomiale (Ex : 2x^3 + 5x + 14 = 0, etc.)

Plus sur le théorème du zéro rationnel

Utilisez cette calculatrice pour appliquer le théorème du zéro rationnel à toute équation polynomiale valide que vous fournissez, en montrant toutes les étapes. Tout ce que vous avez à faire est de fournir une équation polynomiale valide, telle que 4x^3 + 4x^2 + 12 = 0, ou peut-être une équation qui n'est pas entièrement simplifiée comme x^3 + 2x = 3x^2 - 2/3, car la calculatrice se chargera de sa simplification.

Lorsque vous avez fini de taper l'équation polynomiale pour laquelle vous voulez trouver des racines rationnelles, il ne vous reste plus qu'à cliquer sur le bouton "Calculer" et toutes les étapes du processus vous seront fournies.

Observez que le théorème du zéro rationnel vous permet de tester les rationnels qui pourrait être des solutions, mais ils ne sont pas nécessairement des racines. Vous ne faites que tester des candidats potentiels.

Le théorème du zéro rationnel n'est pas un outil permettant de trouver TOUTES les racines d'une équation polynomiale. Ce qu'il fait, c'est affirmer que S'il existe un racine rationnelle à cette équation polynomiale, alors il doit faire partie de cet ensemble de candidats proposés, une sorte de "liste restreinte".

Calculatrice Du Théorème Rationnel Du Zéro

Comment utiliser le théorème du zéro rationnel ?

Le théorème du zéro rationnel obtenir une équation polynomiale, et il met tous les termes sur un côté de l'équation. On trouve alors les diviseurs entiers du coefficient qui multiplie le terme à la puissance la plus élevée et on les appelle \(\{b_1, ...,, b_i\}\), et on trouve également les diviseurs entiers du coefficient constant le terme à la puissance la plus élevée et on les appelle \(\{a_1, ...,, a_j\}\)

Ensuite, nous trouvons des racines potentielles en utilisant \(\pm\frac{a_k}{b_l}\) comme candidats, c'est-à-dire qu'elles sont construites en prenant la division des diviseurs entiers correspondants trouvés précédemment

Quelles sont les étapes de l'utilisation du théorème du zéro rationnel ?

  • Étape 1 : Identifiez l'équation polynomiale avec laquelle vous voulez travailler, et simplifiez-la si nécessaire, de sorte qu'elle soit de la forme f(x) = a₀ + a₁x + ...+ a n x^n+ c
  • Étape 2 : Trouver tous les diviseurs entiers (positifs et négatifs) de a₀ et de a n
  • Étape 3 : Alors vous devez calculer chaque diviseur de a₀ et le diviser par chaque diviseur de a₀ n . Voici la liste de vos candidats rationnels
  • Étape 4 : Vous devez passer en revue chacun des éléments de la liste de candidats ci-dessus, et vérifier s'ils sont ou non des racines de l'équation polynomiale donnée

Encore une fois, il ne s'agit pas nécessairement de trouver TOUTES les racines de l'équation polynomiale donnée. Tout ce que cela fait est de trouver une liste de candidats rationnels, qui contient des racines rationnelles s'il y a des racines rationnelles. Mais il se peut qu'il n'y ait pas de racines rationnelles.

Pour le cas particulier d'une équation polynomiale d'ordre 2, vous pouvez utiliser directement ceci Résolveur d'équations quadratiques qui vous fournira toutes les étapes.

Trouver tous les zéros rationnels possibles

Cette calculatrice permet donc de trouver la liste de tous les zéros rationnels possibles, ce qui constitue un excellent point de départ pour trouver les racines, car vous utilisez ensuite la division polynomiale pour continuer à résoudre l'équation.

Trouver les zéros d'une fonction polynomiale

Trouver les zéros d'une fonction polynomiale est une tâche difficile, en particulier lorsque le degré polynomial est grande. En général, un polynôme d'ordre n aura n racines, comme le stipule la règle du Théorème fondamental de l'algèbre et ces racines peuvent être réelles, réelles répétées ou complexes. Cela rend la recherche plus difficile.

Essayer de trouver d'abord des racines simples (comme les racines entières et rationnelles) est la meilleure stratégie possible, car ensuite, si vous trouvez des racines simples, vous pouvez utiliser le théorème de factorisation pour réduire le degré du polynôme avec lequel vous travaillez.

Le test du zéro rationnel

Bien que vous puissiez obtenir les racines numériques d'une équation polynomiale à l'aide d'un logiciel spécialisé, l'utilisation du test du zéro rationnel est un excellent exercice pour tenter de trouver d'abord une solution entière et rationnelle. Il s'agit d'une stratégie intelligente, qui vous permet d'obtenir une liste contenant les racines rationnelles d'une équation, s'il y en a.

Calculatrice Du Théorème Rationnel Du Zéro

Exemple : application du théorème du zéro rationnel

Utilisez le test du zéro rationnel pour trouver les racines rationnelles de : \(3 x^4 + 3x^3 - x + 14 = 0\)

Solution: >L'équation polynomiale suivante a été fournie :

\[\displaystyle 3 x^4 + 3x^3 - x + 14 = 0\]

pour laquelle nous devons utiliser le théorème du zéro rationnel, afin de trouver les racines rationnelles potentielles de l'équation ci-dessus.

L'équation polynomiale d'ordre \(4\) a déjà tous les termes d'un côté et elle est déjà simplifiée, donc aucune simplification supplémentaire n'est nécessaire.

Maintenant, nous devons trouver les nombres entiers qui divisent le coefficient principal \(a_{4}\) et le coefficient constant \(a_0\), qui seront utilisés pour construire nos candidats pour être les zéros de l'équation polynomiale.

▹ Les diviseurs de \(a_{4} = 3\) sont : \(\pm 1,\pm 3\).

▹ Les diviseurs de \(a_0 = 14\) sont : \(\pm 1,\pm 2,\pm 7,\pm 14\).

Par conséquent, en divisant chaque diviseur du coefficient constant \(a_0 = 14\) par chaque diviseur du coefficient principal \(a_{4} = 3\), nous trouvons la liste suivante de candidats aux racines :

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 3},\pm \frac{ 7}{ 1},\pm \frac{ 7}{ 3},\pm \frac{ 14}{ 1},\pm \frac{ 14}{ 3}\]

Maintenant, tous les candidats doivent être testés pour voir s'ils constituent une solution. Les résultats suivants sont obtenus en testant chaque candidat :

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-1\right)^4+3\cdot\left(-1\right)^3-\left(-1\right)+14 & = & \displaystyle 15 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(1\right)^4+3\cdot\left(1\right)^3-1+14 & = & \displaystyle 19 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^3+\frac{ 1}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{385}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{1}{3}^4+3\cdot\frac{1}{3}^3-\frac{1}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{373}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-2\right)^4+3\cdot\left(-2\right)^3-\left(-2\right)+14 & = & \displaystyle 40 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(2\right)^4+3\cdot\left(2\right)^3-2+14 & = & \displaystyle 84 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^3+\frac{ 2}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{388}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{2}{3}^4+3\cdot\frac{2}{3}^3-\frac{2}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{400}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -7 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-7\right)^4+3\cdot\left(-7\right)^3-\left(-7\right)+14 & = & \displaystyle 6195 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 7 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(7\right)^4+3\cdot\left(7\right)^3-7+14 & = & \displaystyle 8239 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{7}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{7}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{7}{3}\right)^3+\frac{ 7}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{1813}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{7}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{7}{3}^4+3\cdot\frac{7}{3}^3-\frac{7}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{3745}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -14 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-14\right)^4+3\cdot\left(-14\right)^3-\left(-14\right)+14 & = & \displaystyle 107044 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 14 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(14\right)^4+3\cdot\left(14\right)^3-14+14 & = & \displaystyle 123480 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{14}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{14}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{14}{3}\right)^3+\frac{ 14}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{30688}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{14}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{14}{3}^4+3\cdot\frac{14}{3}^3-\frac{14}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{46900}{27} \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Conclusion : Ainsi donc, aucun des candidats n'est une racine, et par conséquent, cette méthode ne nous permet pas de trouver de solutions rationnelles dans ce cas.

Exemple : application du théorème du zéro rationnel

L'équation : \(x^{10} - 4 = 0\) a-t-elle des racines rationnelles ?

Solution: Nous devons essayer de trouver des racines rationnelles :

\[\displaystyle x^{10}-4=0\]

en utilisant le théorème des zéros rationnels.

Il n'est pas nécessaire de simplifier davantage car l'équation polynomiale d'ordre 10 a déjà tous les termes sur un côté.

Nous devons maintenant identifier les entiers qui divisent le coefficient principal \(a_{10}\) et le coefficient constant \(a_0\), sur la base desquels nous créerons nos candidats aux zéros de l'équation polynomiale.

Les diviseurs de \(a_{10} = 1\) sont : \(\pm 1\).

Les diviseurs de \(a_0 = -4\) sont : \(\pm 1,\pm 2,\pm 4\).

Par conséquent, en divisant chaque diviseur du coefficient constant \(a_0 = -4\) par chaque diviseur du coefficient principal \(a_{10} = 1\), nous trouvons la liste suivante de candidats aux racines :

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 4}{ 1}\]

Maintenant, tous les candidats doivent être testés pour voir s'ils constituent une solution. Les résultats suivants sont obtenus en testant chaque candidat :

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^{10}-4 & = & \displaystyle -3 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^{10}-4 & = & \displaystyle -3 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle \left(-2\right)^{10}-4 & = & \displaystyle 1020 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 2^{10}-4 & = & \displaystyle 1020 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -4 &:&    & \displaystyle \left(-4\right)^{10}-4 & = & \displaystyle 1048572 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 4 &:&    & \displaystyle 4^{10}-4 & = & \displaystyle 1048572 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Conclusion : Ainsi, aucun des candidats n'est une racine, et par conséquent, l'équation polynomiale originale n'a pas de racines rationnelles.

Exemple : application du théorème du zéro rationnel

Utilisez le test du zéro rationnel pour trouver les racines rationnelles de : \( x^3-\frac{8}{3}x^2+\frac{19}{9}x-\frac{4}{9}=0\)

Solution: Maintenant, nous devons travailler avec :

\[\displaystyle x^3-\frac{8}{3}x^2+\frac{19}{9}x-\frac{4}{9}=0\]

Nous devons trouver les nombres entiers qui divisent le coefficient de tête \(a_{3}\) et le coefficient constant \(a_0\).

Note : Dans ce cas, nous observons que pour avoir à la fois un coefficient constant et un coefficient directeur, nous devons amplifier les deux côtés de l'équation par \(9\). L'équation équivalente est la suivante :

\[9x^3-24x^2+19x-4 = 0\]

▹ Les diviseurs de \(a_{3} = 9\) sont : \(\pm 1,\pm 3,\pm 9\).

▹ Les diviseurs de \(a_0 = -4\) sont : \(\pm 1,\pm 2,\pm 4\).

Par conséquent, en divisant chaque diviseur du coefficient constant \(a_0 = -4\) par chaque diviseur du coefficient principal \(a_{3} = 9\), nous trouvons la liste suivante de candidats aux racines :

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 1}{ 9},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 3},\pm \frac{ 2}{ 9},\pm \frac{ 4}{ 1},\pm \frac{ 4}{ 3},\pm \frac{ 4}{ 9}\]

Tous les candidats doivent maintenant être testés pour déterminer s'ils constituent une solution. Les résultats suivants sont obtenus après avoir testé chacun d'entre eux :

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-1\right)^3-24\cdot\left(-1\right)^2+19\cdot\left(-1\right)-4 & = & \displaystyle -56 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(1\right)^3-24\cdot\left(1\right)^2+19\cdot\left(1\right)-4 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{40}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{1}{3}^3-24\cdot\frac{1}{3}^2+19\cdot\frac{1}{3}-4 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{520}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{1}{9}^3-24\cdot\frac{1}{9}^2+19\cdot\frac{1}{9}-4 & = & \displaystyle -\frac{176}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-2\right)^3-24\cdot\left(-2\right)^2+19\cdot\left(-2\right)-4 & = & \displaystyle -210 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(2\right)^3-24\cdot\left(2\right)^2+19\cdot\left(2\right)-4 & = & \displaystyle 10 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)-4 & = & \displaystyle -30 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{2}{3}^3-24\cdot\frac{2}{3}^2+19\cdot\frac{2}{3}-4 & = & \displaystyle \frac{2}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{2}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{2}{9}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{2}{9}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{2}{9}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{770}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{2}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{2}{9}^3-24\cdot\frac{2}{9}^2+19\cdot\frac{2}{9}-4 & = & \displaystyle -\frac{70}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -4 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-4\right)^3-24\cdot\left(-4\right)^2+19\cdot\left(-4\right)-4 & = & \displaystyle -1040 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 4 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(4\right)^3-24\cdot\left(4\right)^2+19\cdot\left(4\right)-4 & = & \displaystyle 264 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{4}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{280}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{4}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{4}{3}^3-24\cdot\frac{4}{3}^2+19\cdot\frac{4}{3}-4 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{4}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{1456}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{4}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{4}{9}^3-24\cdot\frac{4}{9}^2+19\cdot\frac{4}{9}-4 & = & \displaystyle \frac{40}{81} \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Conclusion : Donc dans ce cas, parmi les candidats proposés, on trouve les racines rationnelles \(\displaystyle x = 1 \),\(\displaystyle x = \frac{1}{3} \) et \(\displaystyle x = \frac{4}{3} \) et ensuite, le terme \( \displaystyle \left(x-1\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{4}{3}\right)\) divise l'expression polynomiale \(\displaystyle x^3-\frac{8}{3}x^2+\frac{19}{9}x-\frac{4}{9}\).

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Travailler avec des polynômes est une compétence cruciale dont vous pouvez grandement bénéficier. De nombreuses applications en algèbre l'utilisent, notamment avec applications des équations quadratiques .

Le cas le plus simple d'une équation polynomiale est une équation linéaire qui a une myriade d'applications.

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