Théorème des facteurs

Cette calculatrice vous aidera à utiliser le théorème des facteurs, en montrant toutes les étapes. Tout ce que vous devez faire est de fournir un polynôme valide, comme par exemple x^3 - 3x + 4, et un nombre ou une expression numérique, comme 1/3. Si nous appelons le polynôme p(x), et la valeur a, nous utilisons le Théorème des Facteurs pour évaluer si (x - a) est un facteur de p(x) ou non.

Une fois que vous avez fourni un polynôme valide et une valeur, il ne vous reste plus qu'à cliquer sur "Calculer" afin d'obtenir toutes les étapes indiquées.

Observez que x - a étant un facteur de p(x) est la même chose que d'avoir que x - a divise exactement p(x).

Qu'est-ce que le théorème des facteurs ?

L'idée de factoriser un polynôme est simple : on veut savoir si un polynôme peut ou non s'écrire comme la multiplication de polynômes plus petits. Par exemple, si \(p(x)\) est un polynôme, et que nous sommes capables d'écrire

\[ p(x) = q(x)(x-a)\]

pour un certain polynôme \(q(x)\) alors nous pouvons dire que \(x - a\) est un facteur de \(p(x)\). Le théorème des facteurs stipule que pour qu'un \(x - a\) soit un facteur de \(p(x)\), alors il faut que \(p(a) = 0\), et inversement, si \(p(a) = 0\), alors \(x - a\) est un facteur de \(p(x)\).

Ainsi donc, le théorème des facteurs nous indique cette association cruciale et étroite entre les racines des polynômes et les facteurs du polynôme, au point que \(a\) est une racine du polynôme si et seulement si \(x - a\) est un facteur de \(p(x)\). Par conséquent, pour trouver les racines d'un polynôme, nous devons trouver ses facteurs.

Comment utiliser le théorème des facteurs pour factoriser des polynômes ?

Il existe plusieurs approches différentes, mais les plus courantes sont les suivantes :

• Étape 1: Commencez par un polynôme p(x). Veillez à le simplifier autant que possible.
• Étape 2: Si le degré de p(x) est égal ou inférieur à 2, il existe des formules directes pour obtenir les racines. Pour le degré 2, si les racines sont r1 et r2, le polynôme est factorisé sous la forme p(x) = a(x-r1)(x-r2), où a est le terme principal
• Étape 3: Pour le degré 3 ou plus, essayez de deviner une racine, ou mieux encore, utilisez d'abord la fonction théorème de la racine rationnelle pour trouver autant de racines rationnelles que possible
• Étape 4: Si l'étape précédente n'a donné aucune racine, alors arrêtez-vous. Il n'y a rien que vous puissiez faire avec les méthodes de base, et vous avez probablement besoin d'une approximation numérique
• Étape 5 : Si vous avez trouvé des racines simples lors des étapes précédentes, alors par le théorème des facteurs, les termes x - r (où r est une racine) doivent être des facteurs. Nous divisons donc p(x) par tous les facteurs correspondants. On obtient ainsi un polynôme dont le degré a été réduit d'autant que le nombre de racines trouvées aux étapes précédentes. Appelez le polynôme résultant p(x)
• Étape 6 : Appliquer à nouveau toutes les étapes au nouveau polynôme p(x), jusqu'à ce que l'itération s'arrête.

En fait, il existe des formules exactes pour les racines des polynômes de degré 3 et 4, mais elles ne sont pas vraiment conviviales, de sorte qu'elles ne sont généralement pas abordées dans un cours d'algèbre de base.

Comment relier le théorème des facteurs et le théorème du rappel ?

Le théorème du facteur est étroitement lié au théorème du reste . Ceci est dû au fait qu'à partir de la décomposition euclidienne obtenue lorsque diviser des polynômes \(p(x)\) et \(s(x)\), on obtient qu'il existe des polynômes \(q(x)\) et \(r(x)\) tels que

\[p(x) = s(x) q(x) + r(x) \]

avec \(deg(r(x)) < deg(s(x))\). Ainsi, en particulier, lorsque \(s(x) = x-a\), qui a le degré 1, nous avons

\[p(x) = s(x) (x-a) + r(x) \]

et dans ce cas, \(r(x)\) doit avoir le degré 0 (car il doit être plus petit que le degré de s, qui est 1), donc alors \(r(x) = r\) est une constante. Alors

\[p(x) = s(x) (x-a) + r \]

et en branchant \(x = a\) dans l'équation ci-dessus, on obtient :

\[p(a) = s(a) (a-a) + r \Rightarrow p(a) = r\]

Alors le théorème du reste implique que si \(a\) est une racine, alors \(p(a) = 0\) et donc le reste est aussi \(r = 0\).

Conseils pour réussir

Le théorème des facteurs est un bon aussi pour trouver les racines d'un polynôme, et nous dit que les racines peuvent directement être transformées en facteurs. Cela vous amènera probablement à évaluer des expressions, pour lesquelles il est parfois plus pratique d'utiliser le processus de Substitution synthétique au lieu de se contenter de brancher un appareil et de faire les calculs.

Évitez de commettre des erreurs comme celle d'essayer de trouver une "formule" pour trouver des facteurs. Trouver des facteurs est essentiellement la même chose que trouver des racines, ce qui implique de pouvoir efficacement évaluer des polynômes à des valeurs données.

Exemple : théorème des facteurs

Est-ce que \(x - 1\) est un facteur de \(p(x) = 3x^3 - x^2 + 2x - 1\) ?

Solution: On a fourni le polynôme suivant : \(\displaystyle p(x) = 3x^3-x^2+2x-1\), et on doit trouver pour le point donné \(\displaystyle x = 1\) si \(\displaystyle x - 1\) est ou non facteur de \(p(x)\).

Pour ce faire, nous utiliserons la substitution synthétique pour évaluer si oui ou non \(\displaystyle p(1) = 0\).

Afin d'effectuer la substitution synthétique, nous devons faire une division synthétique de : \(\displaystyle p(x) = 3x^3-x^2+2x-1\), et du diviseur \(\displaystyle s = x-1\), et trouver le reste.

Observez que le degré du dividende est \(\displaystyle deg(p) = 3\), alors que le degré du diviseur est \(\displaystyle deg(s)) = 1\).

Étape 1: Comme le diviseur est de degré 1, nous pouvons utiliser la méthode de la division synthétique. En résolvant \(\displaystyle s(x) = x-1 = 0\), nous trouvons directement que le nombre à mettre dans la case division est : \(\displaystyle 1\).

\[\begin{array}{c|ccc} 1 & 3 & -1 & 2 & -1 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

Étape 2: Maintenant, nous passons directement le terme principal \(3\) à la ligne de résultat :

\[\begin{array}{c|ccc} 1 & 3 & -1 & 2 & -1 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &3&&& \end{array}\]

Étape 3: En multipliant le terme de la case de division par le résultat de la colonne 1, on obtient : \(1 \cdot \left(3\right) = 3\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 1.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline&3&&&\end{array}\]

Étape 4: Maintenant, en ajoutant les valeurs de la colonne 2, on obtient : \( -1+3 = 2\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 2.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline& 3 & 2 & \end{array}\]

Étape 5 : En multipliant le terme de la case de division par le résultat de la colonne 2, on obtient : \(1 \cdot \left(2\right) = 2\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 2.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & \end{array}\]

Étape 6 : Maintenant, en ajoutant les valeurs de la colonne 3, on obtient : \( 2+2 = 4\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 3.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & 4\end{array}\]

Étape 7 : En multipliant le terme de la case de division par le résultat de la colonne 3, on obtient : \(1 \cdot \left(4\right) = 4\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 3.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2 & 4\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & 4\end{array}\]

Étape 8 : Maintenant, en ajoutant les valeurs de la colonne 4, on obtient : \( -1+4 = 3\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 4.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2 & 4\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & 4 & 3\end{array}\]

ce qui conclut ce calcul, puisque nous sommes arrivés au résultat de la dernière colonne, qui contient le reste.

Conclusion : Par conséquent, nous concluons que pour le dividende donné \(\displaystyle p(x) = 3x^3-x^2+2x-1\) et le diviseur \(\displaystyle s(x) = x-1\), nous obtenons que le reste est \(\displaystyle r(x) = 3\), donc alors nous concluons que \(\displaystyle p\left(1\right) = 3 \ne 0\).

Par conséquent, nous concluons que \(\displaystyle x - 1\) n'est PAS un facteur de \(p(x)\).

Exemple : autres exemples de théorème des facteurs

Pour le polynôme : \(p(x) = 3x^3 + x^3 - 15x + 4\), qu'est-ce que \(p(1/3)\) implique en termes de x - 1/3 étant un facteur de p(x) ?

Solution: Dans ce cas, on a : \(\displaystyle p(x) = 3x^3+x^3-15x+4\), et le point donné est \(\displaystyle x = \frac{1}{3}\) . Nous devons déterminer si \(\displaystyle x - \frac{1}{3}\) est facteur de \(p(x)\) ou non.

Comme dans l'exemple précédent, la substitution synthétique sera utilisée pour évaluer si\(\displaystyle p(\frac{1}{3}) = 0\).

Étape Initiale : Dans ce cas, nous devons d'abord simplifier le dividende \(\displaystyle P(x) = 3x^3+x^3-15x+4\), et pour ce faire, nous effectuons les étapes de simplification suivantes :

Maintenant, nous procédons à une division synthétique de : \(\displaystyle p(x) = 4x^3-15x+4\), avec le diviseur \(\displaystyle s = x-\frac{1}{3}\), et nous devons trouver le reste.

Étape 1: Comme le diviseur est de degré 1, nous pouvons utiliser la méthode de la division synthétique. En résolvant \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3} = 0\), nous trouvons directement que le nombre à mettre dans la case division est : \(\displaystyle \frac{1}{3}\).

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

Étape 2: Maintenant, nous passons directement le terme principal \(4\) à la ligne de résultat :

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &4&&& \end{array}\]

Étape 3: En multipliant le terme de la case de division par le résultat de la colonne 1, on trouve : \(\frac{1}{3} \cdot \left(4\right) = \frac{4}{3}\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 1.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \\[0.6em]\hline&4&&&\end{array}\]

Étape 4: Maintenant, en ajoutant les valeurs de la colonne 2, on trouve : \( 0+\frac{4}{3} = \frac{4}{3}\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 2.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & \end{array}\]

Étape 5 : En multipliant le terme de la case de division par le résultat de la colonne 2, on trouve : \(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{9}\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 2.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & \end{array}\]

Étape 6 : Maintenant, en ajoutant les valeurs de la colonne 3, on trouve : \( -15+\frac{4}{9} = -\frac{131}{9}\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 3.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & -\frac{131}{9}\end{array}\]

Étape 7 : En multipliant le terme de la case de division par le résultat de la colonne 3, on trouve : \(\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{131}{9}\right) = -\frac{131}{27}\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 3.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9} & -\frac{131}{27}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & -\frac{131}{9}\end{array}\]

Étape 8 : Maintenant, en ajoutant les valeurs de la colonne 4, on trouve : \( 4-\frac{131}{27} = -\frac{23}{27}\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 4.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9} & -\frac{131}{27}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & -\frac{131}{9} & -\frac{23}{27}\end{array}\]

ce qui conclut ce calcul, puisque nous sommes arrivés au résultat de la dernière colonne, qui contient le reste.

Conclusion : Par conséquent, après avoir simplifié, on trouve qu'en divisant \(\displaystyle p(x) = 4x^3-15x+4\) et le diviseur \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3}\), on obtient que le reste est \(\displaystyle r(x) = -\frac{23}{27}\), donc on conclut alors que \(\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{23}{27} \ne 0\).

Par conséquent, nous concluons que \(\displaystyle x - \frac{1}{3}\) n'est PAS un facteur de \(p(x)\).

Exemple : plus d'informations sur le théorème des facteurs

Est-ce que \(x - 2\) est un facteur de \(p(x) = 2x^4 - x^3 + x - 2\) ?

Solution: Pour cet exemple, nous avons : \(\displaystyle p(x) = 2x^4-x^3+x-2\), nous devons donc trouver si \(\displaystyle x = 2\) est une racine du polynôme ou non, afin d'évaluer si \(\displaystyle x - 2\) est facteur de \(p(x)\) ou non.

Pour ce faire, nous utiliserons la substitution synthétique pour évaluer si oui ou non \(\displaystyle p(2) = 0\).

La division synthétique de sera effectuée pour : \(\displaystyle p(x) = 2x^4-x^3+x-2\), et \(\displaystyle s = x-2\), et nous devons trouver le reste de la division.

Étape 1: Comme le diviseur est de degré 1, nous pouvons utiliser la méthode de la division synthétique. En résolvant \(\displaystyle s(x) = x-2 = 0\), nous trouvons directement que le nombre à mettre dans la case division est : \(\displaystyle 2\).

\[\begin{array}{c|cccc} 2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}\]

Étape 2: Maintenant, nous passons directement le terme principal \(2\) à la ligne de résultat :

\[\begin{array}{c|cccc} 2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &2&&&& \end{array}\]

Étape 3: En multipliant le terme de la case de division par le résultat de la colonne 1, on trouve : \(2 \cdot \left(2\right) = 4\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 1.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & & \\[0.6em]\hline&2&&&&\end{array}\]

Étape 4: Maintenant, en ajoutant les valeurs de la colonne 2, on trouve : \( -1+4 = 3\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 2.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & & \\[0.6em]\hline& 2 & 3 & & \end{array}\]

Étape 5 : En multipliant le terme de la case de division par le résultat de la colonne 2, on trouve : \(2 \cdot \left(3\right) = 6\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 2.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & \\[0.6em]\hline& 2 & 3 & & \end{array}\]

Étape 6 : Maintenant, en ajoutant les valeurs de la colonne 3, on trouve : \( 0+6 = 6\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 3.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & \\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & \end{array}\]

Étape 7 : En multipliant le terme de la case de division par le résultat de la colonne 3, on trouve : \(2 \cdot \left(6\right) = 12\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 3.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & \end{array}\]

Étape 8 : Maintenant, en ajoutant les valeurs de la colonne 4, on trouve : \( 1+12 = 13\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 4.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & 13\end{array}\]

Étape 9 : En multipliant le terme de la case de division par le résultat de la colonne 4, on trouve : \(2 \cdot \left(13\right) = 26\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 4.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12 & 26\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & 13\end{array}\]

Étape 10 : Maintenant, en additionnant les valeurs de la colonne 5, on trouve : \( -2+26 = 24\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 5.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12 & 26\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & 13 & 24\end{array}\]

et on arrête la division puisque le reste est de degré 0.

Conclusion : Par conséquent, nous concluons que pour le dividende donné \(\displaystyle p(x) = 2x^4-x^3+x-2\) et le diviseur \(\displaystyle s(x) = x-2\), nous obtenons que le reste est \(\displaystyle r(x) = 24\), donc alors nous concluons que \(\displaystyle p\left(2\right) = 24 \ne 0\).

Par conséquent, nous concluons que \(\displaystyle x - 2\) n'est PAS un facteur de \(p(x)\).

Plus de calculateurs de polynômes

On ne saurait trop insister sur l'importance des polynômes, qui sont l'un des objets les plus importants de l'algèbre. calculs polynomiaux sont vraiment importants en mathématiques et dans de nombreuses applications au-delà des mathématiques.

Les polynômes posent le problème principal de la résolution des équations polynomiales, qui sont parmi les plus importantes en algèbre, bien qu'elles ne soient pas nécessairement faciles à résoudre, et en effet, il n'existe pas vraiment de formule pour obtenir ces solutions, pour les degrés supérieurs.

Trouver des racines implique l'utilisation de la Théorème du zéro rationnel pour trouver des solutions simples, en utilisant Division polynomiale pour réduire l'équation à une équation de degré inférieur en utilisant Division longue ou Division synthétique et de rincer et répéter jusqu'à ce que nous trouvions toutes les racines. Mais ce n'est pas toujours possible, car il peut y avoir des racines qui ne sont pas rationnelles et aussi des racines complexes.