Division synthétique de polynômes

Cette calculatrice vous permettra d'effectuer une division synthétique de deux polynômes. Ces polynômes peuvent être n'importe quoi, mais avec une restriction : le diviseur doit être de degré 1 pour pouvoir utiliser cette méthode.

Ainsi, par exemple, vous pouvez saisir le premier polynôme (le dividende) comme '3x^3 + 2x^2 + 1', et le diviseur pourrait être par exemple 'x+1'.

Le diviseur doit être de degré 1. Par exemple, les diviseurs valides seraient x+1 , 2x-1, etc., mais x^2 + 1 ne serait pas un diviseur valide pour la division synthétique car il est de degré 2.

Les polynômes que vous fournissez ne doivent pas nécessairement être simplifiés, et s'ils ne le sont pas, la calculatrice le fera avant d'effectuer la division des polynômes. Ensuite, une fois que vous avez fourni deux polynômes valides, vous devez cliquer sur le bouton "Calculer", afin d'obtenir toutes les étapes du calcul.

Qu'est-ce que la division synthétique ?

La division synthétique est une procédure simplifiée pour diviser des polynômes. Elle s'applique au cas spécifique où le polynôme par lequel vous divisez (le diviseur) a un degré égal à 1.

Par exemple, les éléments suivants Division polynomiale peut être calculé en utilisant la division synthétique :

\[\displaystyle \frac{2x^3+3x+1}{x+1} \]

car le diviseur \(x+1\) est de degré 1. Maintenant, la division suivante n'a pas pu être calculée en utilisant la division synthétique :

\[\displaystyle \frac{x^4+ + 2x^2 + 2x+1}{x^2+1} \]

car le diviseur \(x^2+1\) est de degré 2. Techniquement, vous pourriez étendre la division synthétique pour des degrés supérieurs, mais son objectif principal est d'être une méthode de division rapide pour un diviseur linéaire (un diviseur de degré 1).

Division synthétique et division longue

Quelle est la différence entre la division longue et la division synthétique ? Tout d'abord, division longue de polynômes peut être appliqué à tous les polynômes, non seulement lorsque le diviseur est de degré 1, mais pour tous les diviseurs possibles, tant qu'ils sont des polynômes valides.

Ainsi, l'avantage du polynôme Division longue est qu'il s'agit d'une méthode générale qui s'applique à tous les polynômes possibles, mais son inconvénient est qu'elle tend à être plus intensive sur le plan algébrique.

L'avantage de la division synthétique est qu'elle donne une méthode de division rapide (beaucoup plus simple que la division longue), mais son inconvénient est qu'elle ne s'applique qu'aux diviseurs de degré 1.

Quelles sont les étapes pour effectuer une division synthétique de polynômes ?

• Étape 1: Nommez les polynômes que vous souhaitez diviser par p(x) et s(x), p(x) étant le dividende et s(x) le diviseur. Assurez-vous que les deux sont des polynômes avant de poursuivre
• Étape 2: Assurez-vous que le degré du diviseur s(x) est 1. Si ce n'est pas le cas, arrêtez, vous ne pouvez pas faire de division synthétique
• Étape 3: Maintenant, trouvez la valeur de x pour laquelle s(x) = 0. Cette valeur sera placée dans la "case de division"
• Étape 4: Créez une ligne contenant les coefficients du dividende (les puissances supérieures en premier) et créez deux autres lignes vides : L'une stockera les résultats finaux et l'autre les résultats intermédiaires
• Étape 5 : Pour la première colonne, vous passez le coefficient de dividende à la ligne des résultats, et le résultat intermédiaire est 0
• Étape 6 : Pour les colonnes suivantes, vous multipliez la valeur précédente de la ligne de résultats par la valeur de la case de division et enregistrez cette valeur dans la ligne intermédiaire correspondante. Ensuite, vous additionnez le coefficient de dividende et cette valeur intermédiaire pour obtenir la valeur finale de la colonne
• Étape 7 : Répétez les étapes précédentes pour les colonnes suivantes

C'est ainsi que l'on divise en utilisant la division synthétique. Il s'agit d'une itération d'étapes dans lesquelles vous mettez à jour les lignes jusqu'à ce que vous obteniez les coefficients du polynôme quotient et le reste, qui dans ce cas-ci doit être un nombre . Pour la division longue, le reste peut être un polynôme, mais il aura un degré inférieur à celui du diviseur.

La procédure de division synthétique telle qu'elle est décrite ci-dessus peut être déroutante, aussi la meilleure façon de procéder est de voir quelques exemples.

Calculateur de substitution synthétique

Il est important de mentionner que la division synthétique est souvent utilisée pour Substitution synthétique qui est la technique qui consiste à évaluer une valeur donnée x = a sur un polynôme p(x), sans réellement faire une évaluation traditionnelle dans la fonction, mais en appliquant une division synthétique, en vertu du théorème du reste.

Ainsi, même si souvent, l'enchaînement des étapes d'un processus itératif peut être déroutant, ce Calculatrice de division polynomiale sera très utile pour vous montrer toutes les étapes du processus décrit ci-dessus, et peut être utilisé dans de multiples applications.

Maintenant, si vous voulez diviser en utilisant la division synthétique manuellement, c'est encore possible et pas trop lourd, contrairement à ce qui serait le cas pour la division de polynômes en utilisant la division longue, qui tend à impliquer un calcul beaucoup plus long.

Dois-je utiliser la division synthétique ou la division longue ?

• Étape 1: Identifiez clairement deux polynômes que vous voulez diviser. Appelez p(x) le dividende et s(x) le diviseur. Assurez-vous qu'il s'agit bien de polynômes, sinon, vous vous arrêtez
• Étape 2: Regardez le diviseur et trouvez son degré
• Étape 3: Si le degré du diviseur est 1, utilisez la division synthétique, sinon, utilisez la division longue

Une caractéristique intéressante de la division synthétique et de la division longue est qu'elles permettent de réaliser une division de polynômes en utilisant des sommes et des multiplications, ce qui est très utile, car ce sont des éléments de la division synthétique Opérations polynomiales qui sont simples et directs à utiliser.

Existe-t-il une formule de division synthétique ?

Pas tout à fait. Le processus de calcul des divisions synthétiques est basé sur un algorithme plutôt que sur une formule. Un algorithme est un processus bien défini dans lequel différentes étapes sont effectuées, jusqu'à ce que le processus soit terminé.

Ainsi, vous n'aurez pas une formule de division synthétique (bien que vous l'ayez théoriquement présentée de manière abstraite), mais plutôt une "recette" sur la manière de réaliser les étapes.

Division synthétique et racine de polynômes

L'une des applications les plus typiques de la division synthétique consiste à tester si un nombre \(x = a\) est une racine d'un polynôme donné \(p(x)\) ou non. La façon de procéder est simple : Il suffit d'appliquer la division synthétique pour le dividende \(p(x)\) et le diviseur \(s(x) = x - a\). Ensuite, si le reste est égal à 0, alors le nombre \(x = a\) est une racine du polynôme.

De plus, si c'est bien une racine, vous obtenez le quotient \(q(x)\) et vous avez conclu que \(p(x) = q(x)(x-a)\), donc ensuite, pour trouver les racines de \(p(x)\), il suffit de trouver les racines de \(q(x)\), qui a un degré de moins, donc ça devrait être plus facile.

Exemple : exemples de divisions synthétiques

Calculer la division : \(\displaystyle \frac{x^4+x^3+x^2+2}{x-1}\)

Solution:

On a fourni le polynôme suivant : \(\displaystyle p(x) = x^4+x^3+x^2+2\), qui doit être divisé par le polynôme \(\displaystyle s(x) = x-1\).

Observez que le degré du dividende est \(\displaystyle deg(p) = 4\), alors que le degré du diviseur est \(\displaystyle deg(s)) = 1\).

Étape 1: Comme le diviseur est de degré 1, nous pouvons utiliser la méthode de la division synthétique. En résolvant \(\displaystyle s(x) = x-1 = 0\), nous trouvons directement que le nombre à mettre dans la case division est : \(\displaystyle 1\).

\[\begin{array}{c|cccc} 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}\]

Étape 2: Maintenant, nous passons directement le terme principal \(\displaystyle 1\) à la ligne de résultat :

\[\begin{array}{c|cccc} 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 1&&&& \end{array}\]

Étape 3: Multiplication du terme dans la case de division par le résultat de la colonne 1 : \(1 \cdot \left(1\right) = 1\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne1.

\[\begin{array}{c|cccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 1 & & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 1&&&&\end{array}\]

Étape 4: Maintenant, on ajoute les valeurs de la colonne 2 : \( \displaystyle 1+1 = 2\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne2.

\[\begin{array}{c|cccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 1 & & \\[0.6em]\hline& 1 & 2 & & \end{array}\]

Étape 5 : Multiplication du terme dans la case de division par le résultat de la colonne 2 : \(1 \cdot \left(2\right) = 2\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne2.

\[\begin{array}{c|cccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 1 & 2 & \\[0.6em]\hline& 1 & 2 & & \end{array}\]

Étape 6 : Maintenant, on ajoute les valeurs de la colonne 3 : \( \displaystyle 1+2 = 3\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne3.

\[\begin{array}{c|cccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 1 & 2 & \\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 3 & \end{array}\]

Étape 7 : Multiplication du terme dans la case de division par le résultat de la colonne 3 : \(1 \cdot \left(3\right) = 3\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne3.

\[\begin{array}{c|cccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 1 & 2 & 3\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 3 & \end{array}\]

Étape 8 : Maintenant, on ajoute les valeurs de la colonne 4 : \( \displaystyle 0+3 = 3\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne4.

\[\begin{array}{c|cccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 1 & 2 & 3\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 3 & 3\end{array}\]

Étape 9 : Multiplication du terme dans la case de division par le résultat de la colonne 4 : \(1 \cdot \left(3\right) = 3\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne4.

\[\begin{array}{c|cccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 1 & 2 & 3 & 3\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 3 & 3\end{array}\]

Étape 10 : Maintenant, on ajoute les valeurs de la colonne 5 : \( \displaystyle 2+3 = 5\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne5.

\[\begin{array}{c|cccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 1 & 2 & 3 & 3\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 3 & 3 & 5\end{array}\]

ce qui conclut ce calcul, puisque nous sommes arrivés au résultat de la dernière colonne, qui contient le reste.

Conclusion : Par conséquent, nous concluons que pour le dividende \(\displaystyle p(x) = x^4+x^3+x^2+2\) et le diviseur \(\displaystyle s(x) = x-1\) donnés, nous obtenons que le quotient est \(\displaystyle q(x) = x^{ 3}+2 x^{ 2}+3 x+3\) et le reste \(\displaystyle r(x) = 5\), et que..

\[\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = \frac{x^4+x^3+x^2+2}{x-1} = x^{ 3}+2 x^{ 2}+3 x+3 + \frac{5}{x-1}\]

Exemple : exemple de division synthétique

Effectuez les divisions de polynômes suivantes : \(\displaystyle \frac{x^5+x^3+x^2+2}{x-2}\)

Est-ce que \(x = 2\) est une racine du polynôme \(x^5+x^3+x^2+2\) ?

Solution: Donc dans ce cas, on prend le polynôme \(\displaystyle p(x) = x^5+x^3+x^2+2\) et on le divise par \(\displaystyle s(x) = x-2\).

L'objectif est de voir si le reste est nul ou non.

Étape 1: Comme le diviseur est de degré 1, nous pouvons utiliser la méthode de la division synthétique. En résolvant \(\displaystyle s(x) = x-2 = 0\), nous trouvons directement que le nombre à mettre dans la case division est : \(\displaystyle 2\).

\[\begin{array}{c|ccccc} 2 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2 \\[0.6em] & & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & & \end{array}\]

Étape 2: Maintenant, nous passons directement le terme principal \(\displaystyle 1\) à la ligne de résultat :

\[\begin{array}{c|ccccc} 2 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2 \\[0.6em] & & & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 1&&&&& \end{array}\]

Étape 3: Multiplication du terme dans la case de division par le résultat de la colonne 1 : \(2 \cdot \left(1\right) = 2\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne1.

\[\begin{array}{c|ccccc}2 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 2 & & & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 1&&&&&\end{array}\]

Étape 4: Maintenant, on ajoute les valeurs de la colonne 2 : \( \displaystyle 0+2 = 2\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne2.

\[\begin{array}{c|ccccc}2 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 2 & & & \\[0.6em]\hline& 1 & 2 & & & \end{array}\]

Étape 5 : Multiplication du terme dans la case de division par le résultat de la colonne 2 : \(2 \cdot \left(2\right) = 4\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne2.

\[\begin{array}{c|ccccc}2 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 2 & 4 & & \\[0.6em]\hline& 1 & 2 & & & \end{array}\]

Étape 6 : Maintenant, on ajoute les valeurs de la colonne 3 : \( \displaystyle 1+4 = 5\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne3.

\[\begin{array}{c|ccccc}2 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 2 & 4 & & \\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 5 & & \end{array}\]

Étape 7 : Multiplication du terme dans la case de division par le résultat de la colonne 3 : \(2 \cdot \left(5\right) = 10\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne3.

\[\begin{array}{c|ccccc}2 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 2 & 4 & 10 & \\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 5 & & \end{array}\]

Étape 8 : Maintenant, on ajoute les valeurs de la colonne 4 : \( \displaystyle 1+10 = 11\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne4.

\[\begin{array}{c|ccccc}2 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 2 & 4 & 10 & \\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 5 & 11 & \end{array}\]

Étape 9 : Multiplication du terme dans la case de division par le résultat de la colonne 4 : \(2 \cdot \left(11\right) = 22\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne4.

\[\begin{array}{c|ccccc}2 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 2 & 4 & 10 & 22\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 5 & 11 & \end{array}\]

Étape 10 : Maintenant, on ajoute les valeurs de la colonne 5 : \( \displaystyle 0+22 = 22\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne5.

\[\begin{array}{c|ccccc}2 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 2 & 4 & 10 & 22\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 5 & 11 & 22\end{array}\]

Étape 11 : Multiplication du terme dans la case de division par le résultat de la colonne 5 : \(2 \cdot \left(22\right) = 44\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne5.

\[\begin{array}{c|ccccc}2 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 2 & 4 & 10 & 22 & 44\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 5 & 11 & 22\end{array}\]

Étape 12 : Maintenant, on ajoute les valeurs de la colonne 6 : \( \displaystyle 2+44 = 46\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne6.

\[\begin{array}{c|ccccc}2 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle 2\\[0.6em]& 0 & 2 & 4 & 10 & 22 & 44\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 5 & 11 & 22 & 46\end{array}\]

Conclusion : Par conséquent, nous concluons que pour le dividende \(\displaystyle p(x) = x^5+x^3+x^2+2\) et le diviseur \(\displaystyle s(x) = x-2\) donnés, nous obtenons que le quotient est \(\displaystyle q(x) = x^{ 4}+2 x^{ 3}+5 x^{ 2}+11 x+22\) et le reste \(\displaystyle r(x) = 46\), et que puisque le reste n'est pas zéro, nous concluons que \(x = 2\) n'est PAS une racine du polynôme \(x^5+x^3+x^2+2\).

Exemple : est-ce que ça le divise ?

Indiquez si le polynôme \(x^5 - 19x^4 + 137x^3 - 461x^2 + 702x - 360\) est divisé exactement par \(x-1\) ou non.

Solution: On nous donne le dividende \(\displaystyle p(x) = x^5-19x^4+137x^3-461x^2+702x-360\), et la division \(\displaystyle s(x) = x-1\).

Étape 1: Comme le diviseur est de degré 1, nous pouvons utiliser la méthode de la division synthétique. En résolvant \(\displaystyle s(x) = x-1 = 0\), nous trouvons directement que le nombre à mettre dans la case division est : \(\displaystyle 1\).

\[\begin{array}{c|ccccc} 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -19 & \displaystyle 137 & \displaystyle -461 & \displaystyle 702 & \displaystyle -360 \\[0.6em] & & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & & \end{array}\]

Étape 2: Maintenant, nous passons directement le terme principal \(\displaystyle 1\) à la ligne de résultat :

\[\begin{array}{c|ccccc} 1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -19 & \displaystyle 137 & \displaystyle -461 & \displaystyle 702 & \displaystyle -360 \\[0.6em] & & & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 1&&&&& \end{array}\]

Étape 3: Multiplication du terme dans la case de division par le résultat de la colonne 1 : \(1 \cdot \left(1\right) = 1\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne1.

\[\begin{array}{c|ccccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -19 & \displaystyle 137 & \displaystyle -461 & \displaystyle 702 & \displaystyle -360\\[0.6em]& 0 & 1 & & & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 1&&&&&\end{array}\]

Étape 4: Maintenant, on ajoute les valeurs de la colonne 2 : \( \displaystyle -19+1 = -18\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne2.

\[\begin{array}{c|ccccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -19 & \displaystyle 137 & \displaystyle -461 & \displaystyle 702 & \displaystyle -360\\[0.6em]& 0 & 1 & & & \\[0.6em]\hline& 1 & -18 & & & \end{array}\]

Étape 5 : Multiplication du terme dans la case de division par le résultat de la colonne 2 : \(1 \cdot \left(-18\right) = -18\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne2.

\[\begin{array}{c|ccccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -19 & \displaystyle 137 & \displaystyle -461 & \displaystyle 702 & \displaystyle -360\\[0.6em]& 0 & 1 & -18 & & \\[0.6em]\hline& 1 & -18 & & & \end{array}\]

Étape 6 : Maintenant, on ajoute les valeurs de la colonne 3 : \( \displaystyle 137-18 = 119\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne3.

\[\begin{array}{c|ccccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -19 & \displaystyle 137 & \displaystyle -461 & \displaystyle 702 & \displaystyle -360\\[0.6em]& 0 & 1 & -18 & & \\[0.6em]\hline& 1 & -18 & 119 & & \end{array}\]

Étape 7 : Multiplication du terme dans la case de division par le résultat de la colonne 3 : \(1 \cdot \left(119\right) = 119\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne3.

\[\begin{array}{c|ccccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -19 & \displaystyle 137 & \displaystyle -461 & \displaystyle 702 & \displaystyle -360\\[0.6em]& 0 & 1 & -18 & 119 & \\[0.6em]\hline& 1 & -18 & 119 & & \end{array}\]

Étape 8 : Maintenant, on ajoute les valeurs de la colonne 4 : \( \displaystyle -461+119 = -342\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne4.

\[\begin{array}{c|ccccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -19 & \displaystyle 137 & \displaystyle -461 & \displaystyle 702 & \displaystyle -360\\[0.6em]& 0 & 1 & -18 & 119 & \\[0.6em]\hline& 1 & -18 & 119 & -342 & \end{array}\]

Étape 9 : Multiplication du terme dans la case de division par le résultat de la colonne 4 : \(1 \cdot \left(-342\right) = -342\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne4.

\[\begin{array}{c|ccccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -19 & \displaystyle 137 & \displaystyle -461 & \displaystyle 702 & \displaystyle -360\\[0.6em]& 0 & 1 & -18 & 119 & -342\\[0.6em]\hline& 1 & -18 & 119 & -342 & \end{array}\]

Étape 10 : Maintenant, on ajoute les valeurs de la colonne 5 : \( \displaystyle 702-342 = 360\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne5.

\[\begin{array}{c|ccccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -19 & \displaystyle 137 & \displaystyle -461 & \displaystyle 702 & \displaystyle -360\\[0.6em]& 0 & 1 & -18 & 119 & -342\\[0.6em]\hline& 1 & -18 & 119 & -342 & 360\end{array}\]

Étape 11 : Multiplication du terme dans la case de division par le résultat de la colonne 5 : \(1 \cdot \left(360\right) = 360\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne5.

\[\begin{array}{c|ccccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -19 & \displaystyle 137 & \displaystyle -461 & \displaystyle 702 & \displaystyle -360\\[0.6em]& 0 & 1 & -18 & 119 & -342 & 360\\[0.6em]\hline& 1 & -18 & 119 & -342 & 360\end{array}\]

Étape 12 : Maintenant, on ajoute les valeurs de la colonne 6 : \( \displaystyle -360+360 = 0\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne6.

\[\begin{array}{c|ccccc}1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -19 & \displaystyle 137 & \displaystyle -461 & \displaystyle 702 & \displaystyle -360\\[0.6em]& 0 & 1 & -18 & 119 & -342 & 360\\[0.6em]\hline& 1 & -18 & 119 & -342 & 360 & 0\end{array}\]

Conclusion : Par conséquent, nous concluons que pour le dividende donné \(\displaystyle p(x) = x^5-19x^4+137x^3-461x^2+702x-360\) et le diviseur \(\displaystyle s(x) = x-1\), nous obtenons que le quotient est \(\displaystyle q(x) = x^{ 4}-18 x^{ 3}+119 x^{ 2}-342 x+360\) et le reste \(\displaystyle r(x) = 0\), ce qui signifie que le \(s(x)\) divise exactement \(p(x)\)

Plus de calculatrices d'algèbre

Polynômes sera parmi les objets les plus spéciaux de l'algèbre. Il y a quelques simples et très utiles fonctions qui ont une poignée d'applications en mathématiques et en physique.

La division polynomiale est étroitement liée à factorisation polynomiale qui, à son tour, est intimement lié à trouver les racines des polynômes et les fonctions en général, ainsi qu'avec l'application de la division synthétique sous forme de Substitution synthétique .