Calculatrice de fonction logarithmique à partir de deux points

L'objectif principal de ce calculateur est d'estimer les paramètres $A_0$ et $k$ pour la fonction logarithmique $f(t)$ qui est définie comme suit :

$$f(t) = A_0 \ln(k t)$$

Les paramètres doivent être tels que la fonction logarithmique passe par les deux points donnés $(t_1, y_1)$ et $(t_2, y_2)$.

Comment estimer une fonction logarithmique à partir de deux points ?

Algébriquement parlant, vous devez résoudre le système d'équations suivant pour trouver les paramètres $A_0$ et $k$ :

$$y_1 = A_0 \ln(k t_1)$$ $$y_2 = A_0 \ln(k t_2)$$

En résolvant ce système pour les inconnues $A_0$ et $k$, nous pouvons trouver des solutions uniques, tant que $t_1 \ne t_2$.

En effet, en soustrayant les deux membres des équations :

$$\displaystyle y_1 - y_2 = A_0 \left( \ln(k t_1) - \ln(k t_2) \right)$$ $$\displaystyle \Rightarrow \, y_1 - y_2 = A_0 \ln \left(\displaystyle\frac{k t_1}{k t_2}\right)$$ $$\displaystyle \Rightarrow \, y_1 - y_2 = A_0 \ln \left(\displaystyle\frac{t_1}{t_2}\right)$$ $$\Rightarrow \, A_0 = \displaystyle \frac{y_1 - y_2}{\ln(t_1) - \ln(t_2)}$$

qui résout les équations pour $A_0$. Maintenant, pour résoudre $k$, nous utilisons la première équation et appliquons l'exponentielle aux deux côtés ::

$$y_1 = A_0 \ln(k t_1)$$ $$\Rightarrow \, \displaystyle e^{\frac{y_1}{A_0}} = k t_1$$ $$\Rightarrow \, k = \displaystyle \frac{e^{\frac{y_1}{A_0}}}{t_1}$$

et là on a trouvé $k$, en fonction de $A_0$ déjà déterminé et connu.

Comment calculer une fonction exponentielle ?

Si, au lieu d'une fonction logarithmique, vous êtes intéressé par un comportement exponentiel, vous devriez probablement utiliser ceci Calculatrice de fonction exponentielle , qui suit la même logique d'estimation des paramètres pour appliquer la fonction passant par deux points donnés.