Calculatrice de fonction logarithmique à partir de deux points

L'objectif principal de ce calculateur est d'estimer les paramètres \(A_0\) et \(k\) pour la fonction logarithmique \(f(t)\) qui est définie comme suit :

\[f(t) = A_0 \ln(k t)\]

Les paramètres doivent être tels que la fonction logarithmique passe par les deux points donnés \((t_1, y_1)\) et \((t_2, y_2)\).

Comment estimer une fonction logarithmique à partir de deux points ?

Algébriquement parlant, vous devez résoudre le système d'équations suivant pour trouver les paramètres \(A_0\) et \(k\) :

\[y_1 = A_0 \ln(k t_1)\] \[y_2 = A_0 \ln(k t_2)\]

En résolvant ce système pour les inconnues \(A_0\) et \(k\), nous pouvons trouver des solutions uniques, tant que \(t_1 \ne t_2\).

En effet, en soustrayant les deux membres des équations :

\[\displaystyle y_1 - y_2 = A_0 \left( \ln(k t_1) - \ln(k t_2) \right)\] \[\displaystyle \Rightarrow \, y_1 - y_2 = A_0 \ln \left(\displaystyle\frac{k t_1}{k t_2}\right) \] \[\displaystyle \Rightarrow \, y_1 - y_2 = A_0 \ln \left(\displaystyle\frac{t_1}{t_2}\right) \] \[ \Rightarrow \, A_0 = \displaystyle \frac{y_1 - y_2}{\ln(t_1) - \ln(t_2)} \]

qui résout les équations pour \(A_0\). Maintenant, pour résoudre \(k\), nous utilisons la première équation et appliquons l'exponentielle aux deux côtés ::

\[y_1 = A_0 \ln(k t_1)\] \[ \Rightarrow \, \displaystyle e^{\frac{y_1}{A_0}} = k t_1 \] \[ \Rightarrow \, k = \displaystyle \frac{e^{\frac{y_1}{A_0}}}{t_1} \]

et là on a trouvé \(k\), en fonction de \(A_0\) déjà déterminé et connu.

Comment calculer une fonction exponentielle ?

Si, au lieu d'une fonction logarithmique, vous êtes intéressé par un comportement exponentiel, vous devriez probablement utiliser ceci Calculatrice de fonction exponentielle , qui suit la même logique d'estimation des paramètres pour appliquer la fonction passant par deux points donnés.