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Calculatrice d'affacturage

Instructions: Utilisez cette Calculateur de facteurs pour faire une décomposition en facteurs de n'importe quel polynôme que vous fournissez dans la boîte de formulaire ci-dessous.

Calculateur de facteurs polynomiaux

Cette calculatrice de factorisation avec étapes vous permettra de trouver le facteur complet d'un polynôme donné que vous fournissez, en montrant toutes les étapes du processus.

Le polynôme que vous fournissez doit être valide, quelque chose de simple comme p(x) = x^3 - x + 1, ou il peut être plus compliqué, avec des coefficients qui sont des fractions ou toute expression numérique valide .

Une fois que vous avez fourni un polynôme valide, vous pouvez cliquer sur le bouton "Calculer", et vous obtiendrez toutes les étapes du processus requis pour factoriser complètement le polynôme fourni, un processus qui peut être assez laborieux s'il est effectué à la main, en particulier lorsque le polynôme est en cours de traitement degré du polynôme est élevé.

Il n'y a absolument aucun moyen de surestimer l'importance de savoir factoriser les polynômes, car ils sont au centre de nombreuses applications en algèbre, en calcul, en finance et en ingénierie.

Comment factoriser des polynômes ?

À l'exception des polynômes quadratiques, la factorisation des polynômes n'est pas nécessairement facile, et elle peut potentiellement entraîner des difficultés lorsqu'elle est effectuée à la main. Il existe un certain nombre d'étapes que vous devriez suivre afin d'améliorer vos chances de trouver au moins certains des facteurs

Étapes du calculateur de facteurs

Étape 1: Identifiez l'expression avec laquelle vous travaillez, simplifiez-la autant que possible et assurez-vous qu'il s'agit d'un polynôme. Si ce n'est pas un polynôme, il n'y a pas d'approche précise à suivre
Étape 2: Une fois que vous avez un polynôme simplifié, notez son degré. S'il est quadratique (degré 2), vous pouvez utiliser la fonction formule quadratique pour trouver ses facteurs
Étape 3: Si le degré du polynôme est égal ou supérieur à 3, vérifiez le coefficient constant. S'il est nul, cela signifie que vous pouvez factoriser x et réduire le degré du polynôme qui reste à factoriser
Étape 4: Après avoir terminé l'étape 4, vous devez tester les candidats aux racines simples en utilisant le théorème du zéro rationnel. Si vous trouvez une racine rationnelle, ce sont des facteurs de la forme (x - a) (où a est une racine rationnelle), et vous divisez alors le polynôme par ces facteurs, ce qui réduit le degré du polynôme que vous devez factoriser
Étape 5 : Répétez les étapes précédentes jusqu'à ce que vous obteniez une factorisation complète, ou que vous ne puissiez plus effectuer de réduction

Il y a une chose qui, bien qu'elle soit technique, doit être mentionnée : la factorisation est effectuée sur un champ qui est un type de structure algébrique. Normalement, le champ que nous utilisons est le champ des nombres réels.

Si nous utilisons la calculatrice de facteurs pour le champ des nombres réels, alors tous les facteurs ne seront pas de la forme $x - a$, car nous pouvons aussi avoir des facteurs quadratiques, qui sont irréductibles sur le champ réel. Par exemple, $x^2 + x + 10$ ne peut pas être réduit en facteurs linéaires réels, parce que le facteur Equation quadratique $x^2 + x + 10 = 0$ a des racines complexes.

Ainsi, à l'étape 3, lorsqu'il s'agit d'une fonction quadratique, le facteur peut être lui-même, si ses racines sont complexes.

Facteurs et racines

La manière d'utiliser un processus de calcul de factorisation consiste essentiellement soit à tenter différents types de factorisation en exploitant certaines symétries, soit à trouver des racines. Trouver des symétries n'est pas une chose certaine, car cela dépend vraiment des régularités spécifiques que l'on peut trouver, qui ne sont pas communes à tous les polynômes.

La factorisation par inspection ou par regroupement est souvent tentée, mais elle nécessite des modèles spécifiques qui ne sont pas toujours présents. Cela vaut la peine d'inspecter un polynôme pour voir si quelque chose de direct peut être fait, mais l'approche de la factorisation par recherche de racines est plus systématique, et fonctionnera dans plus de cas que les méthodes d'inspection.

Les erreurs courantes à éviter

Il est crucial de comprendre que la factorisation d'un polynôme est étroitement liée à la recherche de sa racine, ce qui est englobé dans la fonction théorème des facteurs . Ainsi, savoir comment factoriser dépend de votre capacité à savoir comment trouver les racines d'un polynôme.

Il n'y aura pas de formule, sauf si vous avez affaire à une fonction quadratique. Pour les degrés supérieurs, vous avez différentes alternatives : vous pouvez utiliser le processus systématique décrit ci-dessus, ou vous pouvez essayer de deviner et de faire la factorisation par inspection, ou essayer d'utiliser d'autres alternatives comme factorisation par regroupement .

Exemple : facteurs polynomiaux

Facteur complètement : $p(x) = x^5 - 3x^4 + 3x^3 - 3x^2 + 2x$

Solution: Le polynôme suivant a été fourni : $\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x$, qui doit être entièrement factorisé sur les nombres réels.

Étape Initiale : L'expression polynomiale fournie est irréductible, il n'y a donc rien à simplifier. Nous pouvons procéder à sa factorisation.

Observez que le degré du polynôme donné est $\displaystyle deg(p) = 5$, son coefficient directeur est $\displaystyle a_{5} = 1$ et son coefficient constant est $\displaystyle a_0 = 0$.

Candidats Aux Racines Rationnelles : Puisque le premier terme avec un coefficient non nul dans $p(x)$ est $x$, nous pouvons factoriser ce terme pour obtenir

\[\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x \left(x^4-3x^3+3x^2-3x+2 \right) \]

mais le terme entre parenthèses a un degré supérieur à 2, il n'y a donc pas de formule élémentaire pour le factoriser. Nous devons tester les éventuelles racines rationnelles.

La tâche suivante consiste à trouver les nombres entiers qui divisent le coefficient principal $a_{4}$ et le coefficient constant $a_0$, qui seront utilisés pour construire nos candidats aux zéros de l'équation polynomiale.

▹ Les diviseurs de $a_{4} = 1$ sont : $\pm 1$.

▹ Les diviseurs de $a_0 = 2$ sont : $\pm 1,\pm 2$.

Par conséquent, en divisant chaque diviseur du coefficient constant $a_0 = 2$ par chaque diviseur du coefficient principal $a_{4} = 1$, nous trouvons la liste suivante de candidats aux racines :

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 1}\]

Maintenant, tous les candidats doivent être testés pour voir s'ils constituent une solution. Les résultats suivants sont obtenus en testant chaque candidat :

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:& & \displaystyle \left(-1\right)^4-3\cdot \left(-1\right)^3+3\cdot \left(-1\right)^2-3\cdot \left(-1\right)+2 & = & \displaystyle 12 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:& & \displaystyle 1^4-3\cdot 1^3+3\cdot 1^2-3\cdot 1+2 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:& & \displaystyle \left(-2\right)^4-3\cdot \left(-2\right)^3+3\cdot \left(-2\right)^2-3\cdot \left(-2\right)+2 & = & \displaystyle 60 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:& & \displaystyle 2^4-3\cdot 2^3+3\cdot 2^2-3\cdot 2+2 & = & \displaystyle 0 \\\\ \end{array}\]

Division Polynomiale : Puisque nous n'avons pas assez de racines parmi les candidats rationnels, nous allons diviser $\displaystyle x^4-3x^3+3x^2-3x+2$ par le produit des facteurs dérivés des racines rationnelles, soit $\displaystyle \left(x-1\right)\left(x-2\right) $.

Étape 1: Le terme principal du dividende $\displaystyle p(x) = x^4-3x^3+3x^2-3x+2$ est $\displaystyle x^4$, tandis que le terme principal du diviseur $\displaystyle s(x) = x^2-3x+2$ est égal à $\displaystyle x^2$.

Ainsi donc, le terme que nous devons multiplier $x^2$ pour obtenir le terme de tête du dividende est $\displaystyle \frac{ x^4}{ x^2} = x^2$, nous ajoutons donc ce terme au quotient. De même, nous le multiplions par le diviseur pour obtenir $\displaystyle x^2 \cdot \left(x^2-3x+2\right) = x^4-3x^3+2x^2$, que nous devons soustraire au dividende :

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rccccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle &&\\[0.3em] \hline x^2-3x+2\,) & \displaystyle x^4 & \displaystyle -3x^3 & \displaystyle +3x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^4 & \displaystyle +3x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \end{array}\]

Étape 2: Dans ce cas, le terme principal du reste actuel $\displaystyle x^2-3x+2$ est $\displaystyle x^2$, et nous savons que le terme principal du diviseur est $\displaystyle x^2$.

Ainsi donc, le terme que nous devons multiplier $x^2$ pour arriver au terme de tête du de reste actuel est $\displaystyle \frac{ x^2}{ x^2} = 1$, donc nous ajoutons ce terme au quotient. De même, nous le multiplions par le diviseur pour obtenir $\displaystyle 1 \cdot \left(x^2-3x+2\right) = x^2-3x+2$, que nous devons soustraire au reste actuel :

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rccccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle +1&&\\[0.3em] \hline x^2-3x+2\,) & \displaystyle x^4 & \displaystyle -3x^3 & \displaystyle +3x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^4 & \displaystyle +3x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle -2\\[0.3em] \hline \displaystyle & & & & & 0\\[0.3em] \end{array}\]

Par conséquent, le quotient est $\displaystyle q(x) = x^2+1$, et le reste est $\displaystyle r(x) = 0$.

Donc après avoir divisé, nous avons avancé dans la factorisation avec

\[\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x \left(x-1\right)\left(x-2\right) \left(x^2+1\right)\]

Mais maintenant, puisque le quotient trouvé $\displaystyle x^2+1$ est quadratique, nous pouvons trouver ses racines pour voir si nous pouvons le factoriser sur le champ réel.

Nous devons résoudre l'équation quadratique suivante $\displaystyle x^2+1=0$.

Pour une équation quadratique de la forme $a x^2 + bx + c = 0$, les racines sont calculées à l'aide de la formule suivante :

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Dans ce cas, nous avons que l'équation que nous devons résoudre est $\displaystyle x^2+1 = 0$, ce qui implique que les coefficients correspondants sont :

\[a = 1\] \[b = 0\] \[c = 1\]

Tout d'abord, nous allons calculer le discriminant pour évaluer la nature des racines. Le discriminant est calculé comme suit :

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( 0\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(1\right) = -4\]

Puisque dans ce cas nous obtenons le discriminant est $\Delta = \displaystyle -4 < 0$, qui est négatif, nous savons que l'équation donnée a deux racines complexes conjuguées différentes.

En introduisant ces valeurs dans la formule des racines, nous obtenons :

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{\left(0\right)^2-4\left(1\right)\left(1\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{-4}}{2}\]

donc, nous trouvons que :

\[\displaystyle x_1 = \frac{0 - i \sqrt{4}}{2} = -i\] \[\displaystyle x_2 = \frac{0 + i \sqrt{4}}{2} = i\]

Donc après avoir trouvé les racines de la dernière partie quadratique, on trouve deux racines complexes, donc on ne peut pas factoriser le terme $x^2+1$ dans le champ réel, donc on termine le processus avec $\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x \left(x-1\right)\left(x-2\right) \left(x^2+1\right)$.

Conclusion : Par conséquent, la factorisation finale que nous obtenons est :

\[\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x^2+1\right)\]

Les racines trouvées en utilisant le processus de factorisation sont $0$,$1$,$2$,$-i$ et $i$ .

Exemple : calcul du facteur

Trouvez les facteurs des éléments suivants : $p(x) = x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x$

Solution: Maintenant nous devons factoriser : $\displaystyle p(x) = x^4-2x^3-x^2+x$.

Étape Initiale : L'expression polynomiale fournie ne peut pas être réduite, et nous pouvons alors procéder directement à sa factorisation.

Candidats Aux Racines Rationnelles : Puisque le premier terme avec un coefficient non nul dans $p(x)$ est $x$, nous pouvons factoriser ce terme pour obtenir

\[\displaystyle p(x) = x^4-2x^3-x^2+x = x \left(x^3-2x^2-x+1 \right) \]

mais le terme entre parenthèses a un degré supérieur à 2, il n'y a donc pas de formule élémentaire pour le factoriser. Nous devons tester les éventuelles racines rationnelles.

La tâche suivante consiste à trouver les nombres entiers qui divisent le coefficient principal $a_{3}$ et le coefficient constant $a_0$, qui seront utilisés pour construire nos candidats aux zéros de l'équation polynomiale.

▹ Les diviseurs de $a_{3} = 1$ sont : $\pm 1$.

▹ Les diviseurs de $a_0 = 1$ sont : $\pm 1$.

Par conséquent, en divisant chaque diviseur du coefficient constant $a_0 = 1$ par chaque diviseur du coefficient principal $a_{3} = 1$, nous trouvons la liste suivante de candidats aux racines :

\[\pm \frac{ 1}{ 1}\]

Maintenant, tous les candidats doivent être testés pour voir s'ils constituent une solution. Les résultats suivants sont obtenus en testant chaque candidat :

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:& & \displaystyle \left(-1\right)^3-2\cdot \left(-1\right)^2-\left(-1\right)+1 & = & \displaystyle -1 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:& & \displaystyle 1^3-2\cdot 1^2-1+1 & = & \displaystyle -1 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Mais comme nous n'avons pas trouvé de racines rationnelles par inspection, nous ne pouvons pas poursuivre la factorisation en utilisant des méthodes élémentaires, et le processus s'arrête donc ici.

Conclusion : Donc, dans ce cas, on obtient :

\[\displaystyle p(x) = x^4-2x^3-x^2+x = x\left(x^3-2x^2-x+1\right)\]

Par conséquent, la seule racine trouvée en utilisant le processus de factorisation est $0$.

Exemple : calcul de la factorisation

Facteur complet $ p(x) = x^3 - \frac{7}{2}x^2 + \frac{7}{2}x - 1$. Quelles sont les racines de ce polynôme ?

Solution: Pour cet exemple, nous avons $\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1$, et nous allons utiliser le processus de factorisation comme outil pour calculer ses racines.

Étape Initiale : L'expression polynomiale fournie est irréductible, il n'y a donc rien à simplifier. Nous pouvons procéder à sa factorisation.

Nous devons d'abord essayer de trouver des racines rationnelles simples, ce qui est réalisé à l'aide du théorème de la racine rationnelle.

▹ Les diviseurs entiers de $a_{3} = 1$ sont : $\pm 1$.

▹ Les diviseurs entiers de $a_0 = -1$ sont : $\pm 1$.

Par conséquent, nous divisons chaque diviseur du coefficient constant $a_0 = -1$ par chaque diviseur du coefficient principal $a_{3} = 1$, de sorte que nous pouvons trouver une liste de candidats rationnels pour être des racines :

\[\pm \frac{ 1}{ 1}\]

Maintenant, tous les candidats doivent être testés pour voir s'ils constituent une solution. Les résultats suivants sont obtenus en testant chaque candidat :

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:& & \displaystyle \left(-1\right)^3-\frac{7}{2}\cdot \left(-1\right)^2+\frac{7}{2}\cdot \left(-1\right)-1 & = & \displaystyle -9 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:& & \displaystyle 1^3-\frac{7}{2}\cdot 1^2+\frac{7}{2}\cdot 1-1 & = & \displaystyle 0 \\\\ \end{array}\]

Processus De Division Polynomiale : Nous n'avons pas assez de racines rationnelles issues des candidats trouvés avec le théorème du zéro rationnel, nous allons donc diviser $\displaystyle x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1$ par le produit de ces facteurs rationnels issus des candidats racines rationnelles, ce qui conduit à $\displaystyle \left(x-1\right) $.

Étape 1: Le terme principal du dividende $\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1$ est $\displaystyle x^3$, tandis que le terme principal du diviseur $\displaystyle s(x) = x-1$ est égal à $\displaystyle x$.

Ainsi donc, le terme que nous devons multiplier $x$ pour obtenir le terme de tête du dividende est $\displaystyle \frac{ x^3}{ x} = x^2$, nous ajoutons donc ce terme au quotient. De même, nous le multiplions par le diviseur pour obtenir $\displaystyle x^2 \cdot \left(x-1\right) = x^3-x^2$, que nous devons soustraire au dividende :

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.3em] \hline x-1\,) & \displaystyle x^3 & \displaystyle -\frac{7}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^3 & \displaystyle +x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{5}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \end{array}\]

Étape 2: Maintenant, le terme principal du reste actuel $\displaystyle -\frac{5}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1$ est $\displaystyle -\frac{5}{2}x^2$, et nous savons que le terme principal du diviseur est $\displaystyle x$.

Ainsi donc, le terme que nous devons multiplier $x$ pour arriver au terme de tête du de reste actuel est $\displaystyle \frac{ -\frac{5}{2}x^2}{ x} = -\frac{5}{2}x$, donc nous ajoutons ce terme au quotient. De même, nous le multiplions par le diviseur pour obtenir $\displaystyle -\frac{5}{2}x \cdot \left(x-1\right) = -\frac{5}{2}x^2+\frac{5}{2}x$, que nous devons soustraire au reste actuel :

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle &\\[0.3em] \hline x-1\,) & \displaystyle x^3 & \displaystyle -\frac{7}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^3 & \displaystyle +x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{5}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{5}{2}x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x & \displaystyle -1\\[0.3em] \end{array}\]

Étape 3: Maintenant, le terme principal du reste actuel $\displaystyle x-1$ est $\displaystyle x$, et nous savons que le terme principal du diviseur est $\displaystyle x$.

Ainsi donc, le terme que nous devons multiplier $x$ pour arriver au terme de tête du de reste actuel est $\displaystyle \frac{ x}{ x} = 1$, donc nous ajoutons ce terme au quotient. De même, nous le multiplions par le diviseur pour obtenir $\displaystyle 1 \cdot \left(x-1\right) = x-1$, que nous devons soustraire au reste actuel :

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle +1&\\[0.3em] \hline x-1\,) & \displaystyle x^3 & \displaystyle -\frac{7}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^3 & \displaystyle +x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{5}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{5}{2}x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x & \displaystyle +1\\[0.3em] \hline \displaystyle & & & & 0\\[0.3em] \end{array}\]

Donc, à partir du quotient de la division, on conclut que $\displaystyle q(x) = x^2-\frac{5}{2}x+1$, avec un reste de $\displaystyle r(x) = 0$.

Donc, le, nous allons obtenir :

\[\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1 = \left(x-1\right) \left(x^2-\frac{5}{2}x+1\right)\]

Mais l'équation $\displaystyle x^2-\frac{5}{2}x+1$ est quadratique, donc les racines peuvent être calculées directement.

Il faut donc calculer le discriminant pour connaître la nature des racines. La formule du discriminant est :

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( -\frac{5}{2}\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(1\right) = \frac{9}{4}\]

Mais on voit que le discriminant est $\Delta = \displaystyle \frac{9}{4} > 0$, qui est positif, et donc, on conclut que l'équation a deux racines réelles différentes.

Maintenant, on branche ces valeurs pour obtenir :

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{\frac{5}{2} \pm \sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^2-4\left(1\right)\left(1\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}}}{2}\]

donc, nous trouvons que :

\[ x_1 = \frac{\frac{5}{2}}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\frac{5}{2}}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{5}{4}-\frac{3}{4}=\frac{1}{2} \] \[x_2 = \frac{\frac{5}{2}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\frac{5}{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{5}{4}+\frac{3}{4}=2\]

Avec les solutions de l'équation quadratique ci-dessus, qui a deux racines réelles, nous décomposons encore le polynôme original comme : $\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1 = \left(x-1\right) \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-2\right)$.

Conclusion : Par conséquent, dans ce cas, nous réalisons une simplification complète :

\[\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1 = \left(x-1\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-2\right)\]

D'après la factorisation ci-dessus, les racines trouvées sont : $1$,$\frac{1}{2}$ et $2$ .

Plus de calculateurs de polynômes

Il y a beaucoup de choses que tu peux faire avec un polynôme, tu peux les représenter graphiquement vous pouvez analyser leur comportement final, mais il s'agit de tâches plus simples, accessoires à la tâche principale qui est la suivante factorisation d'un polynôme et de trouver ses racines.

Le problème général pour les degrés supérieurs est compliqué, et habituellement nous nous réduisons à fonctions quadratiques et potentiellement fonctions cubiques qui ont certaines symétries qui permettent une factorisation facile.