La formule quadratique : comment résoudre une équation quadratique ?

L'équation quadratique est une équation de la forme :

\[a x^2 + b x + c = 0\]

avec \( a \neq 0\). C'est la formule principale qui détermine un Equation quadratique .

La bonne nouvelle est que l'équation ci-dessus n'est pas trop difficile à résoudre, ce qui est une bonne chose étant donné que l'équation quadratique apparaît littéralement partout en algèbre, en calcul et à peu près partout.

Solution de la formule quadratique

Maintenant, la question est de savoir comment résoudre cette formule quadratique. Heureusement, la réponse est simple et bien connue : elle a des solutions de la forme

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Ceux-ci sont connus sous le nom de racines de l'équation quadratique (également appelées solutions de l'équation). Afin d'analyser la nature de la solution, le discriminant est défini comme suit :

\[D = b^2 - 4ac\]

Types de solutions à la formule quadratique

En fonction de la valeur du discriminant, la nature des solutions est définie. En effet, lorsque \(D > 0\), il y a deux solutions réelles différentes, lorsque \(D = 0\), il y a une solution réelle répétée, et lorsque \(D < 0\), il y a deux solutions imaginaires différentes. Cette solution Résolveur d'équations quadratiques vous aide à effectuer ces calculs automatiquement.

L'une des particularités de ce solveur d'équation quadratique est qu'il indique les étapes du calcul de l'ordonnée à l'origine, les coordonnées du sommet et qu'il trace la fonction quadratique

.

Étapes de la formule quadratique

Il y a plusieurs étapes à suivre pour réussir à résoudre une équation quadratique :

Étape 1 : Identifier les coefficients. Examinez l'équation donnée de la forme \(ax^2+bx+c\), et déterminez les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\). Le coefficient \(a\) est le coefficient qui apparaît en multipliant le terme quadratique \(x^2\). Le coefficient \(b\) est le coefficient qui apparaît en multipliant le terme linéaire \(x\), et le coefficient \(c\) est la constante.

Exemple : Supposons que vous ayez l'expression suivante : \(x^2+3x+1\). Quels sont les coefficients ? Dans ce cas, \(a = 1\) (le coefficient multipliant le terme quadratique \(x^2\)), \(b = 3\) (le coefficient multipliant le terme linéaire \(x\)), et \(c = 1\) (la constante).

Exemple : Supposons que vous ayez l'expression suivante : \(\frac{5}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{1}{2} x^2\). Quels sont les coefficients maintenant ? Dans ce cas, \(a = \frac{1}{2}\) (le coefficient multipliant le terme quadratique \(x^2\)), \(b = \frac{3}{4}\) (le coefficient multipliant le terme linéaire \(x\)) et \(c = \frac{5}{4}\) (la constante).

Exemple : Que se passe-t-il avec l'expression suivante : \(-3 + \frac{1}{2} x\). Dans ce cas, nous avons que \(a = 0\), parce que l'expression ne contient pas de terme quadratique \(x^2\), donc dans ce cas, ce n'est pas une expression quadratique.

Étape 2 : Insérez les coefficients que vous avez trouvés dans la formule. La formule est la formule quadratique est

\[x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

il faut donc remplacer la valeur des coefficients \(a\), \(b\) et \(c\).

Exemple : Si vous avez l'équation : \(-3x^2 + 2x-1 = 0\), on trouve \(a = -3\), \(b = 2\) et \(c = -1\). En introduisant ces valeurs dans la formule, on obtient :

\[x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(-3)(-1)}}{2(-3)}\]

Étape 3 : Simplifiez les valeurs de l'équation, une fois que vous avez introduit les valeurs de \(a\), \(b\) et \(c\) . Dans l'exemple précédent, nous aurions

\[x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{-6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{-6}\]

Étape 4 : Regardez à l'intérieur de la racine carrée. Si la valeur est positive, alors le Equation quadratique a deux racines réelles. Si la valeur est 0, alors il y a une racine réelle, et si la valeur à l'intérieur de la racine carrée est négative, alors il y a deux racines complexes. Dans l'exemple précédent, nous avons un -8 à l'intérieur de la racine carrée, nous avons donc deux solutions complexes, comme indiqué ci-dessous :

\[x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{-6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{-6}= \frac{-2 \pm i \sqrt{8}}{-6}\]

A quoi sert la formule quadratique

La formule quadratique est l'une des formules les plus omniprésentes en mathématiques. Elle apparaît lorsque vous résolvez toutes sortes de problèmes géométriques, par exemple lorsque vous maximisez une surface, compte tenu d'un périmètre fixe, ou dans de nombreux problèmes de mots.

Beaucoup de gens se demandent s'il y a un rapport entre cette formule d'équation quadratique et la méthode du Compléter le carré . La réponse est simple : vous arrivez à la formule quadratique par résolution de l'équation quadratique en complétant le carré. C'est exactement la même idée, qui dérive vers la formule quadratique que nous connaissons tous.

Observez que les solutions de l'équation quadratique ont une propriété géométrique très intéressante : lorsque vous calculez la moyenne des solutions trouvées, vous obtenez la coordonnée x du sommet de la parabole, ce qui vous permet de trouver la Forme du vertex d'une parabole, également connue sous le nom de forme standard, utilisée dans de nombreuses applications, par exemple avec des sections coniques.

Exemples de formule quadratique

Calculez les racines de l'équation quadratique suivante : \(3x^2 - 2x + 4 = 0\)

Solution :

L'équation suivante doit être résolue :

\[ 3 x^2 -2 x + 4 = 0\]

Cela correspond à une équation quadratique. La formule suivante est utilisée pour trouver les solutions :

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

En utilisant la formule ci-dessus, nous obtenons que :

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{ (-2)^2 - 4(3)(4)}}{2(3)}\]\[= \frac{ 2 \pm \sqrt{ -44}}{ 6}\]

Les solutions sont donc les suivantes :

\[x_1 = 0.333 - 1.106 i \] \[x_2 = 0.333 + 1.106 i \]

Il y a donc deux solutions imaginaires \(x_1 = 0.333 - 1.106 i \) et \(x_2 = 0.333 + 1.106 i \).

De plus, l'ordonnée à l'origine se trouve à \(y = 4\), ce qui signifie que les coordonnées de l'ordonnée à l'origine sont \((0, 4)\).

Enfin, les coordonnées du sommet sont :

\[x_V = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2\cdot 3} = 0.3333\] \[y_V = f(x_V) = 3 (0.3333)^2 -2 (0.3333) + 4 = 3.6667\]