Math Cracks - Une approche cool de l'intégration par pièces

introduction

L'idée de l'intégration par parties semble assez effrayante pour de nombreux étudiants en calcul, et je pense qu'il y a une bonne raison à cela. Tout d'abord, l'intégration par parties est une technique qui implique deux étapes (ou plus) au lieu d'une étape comme le souhaiteraient la plupart des étudiants. Les élèves voudraient APPLIQUER une formule et obtenir la réponse tout de suite, mais en calcul, les réponses viennent souvent après une séquence (parfois longue) d'étapes.

Mis à part le méthode de substitution , la méthode d'intégration par pièces est la méthode la plus importante pour résoudre des intégrales qui ne sont pas élémentaires.

Tout d'abord, en tant que principe de la question, l'une des raisons pour lesquelles le calcul intégral est généralement difficile pour les étudiants est la notation plutôt malheureuse utilisée pour l'intégration. En fait, lors du calcul de l'intégrale indéfinie d'une fonction \(f\left( x \right)\), nous sommes confrontés à la notation suivante

\[\int{f\left( x \right)dx}\] What many students do not understand is what is really meant by the "\(dx\)" in the expression above. Clearly, there are historical reasons why the "\(dx\)" appears in the notation stated above. But, actually there is no reason to include \(dx\) or even to add \(f\left( x \right)\). When we want to compute the indefinite integral of a function \(f\), we should be able to simply write \[\int{f}\] and that way we are stating the indefinite integral of the function \(f\).

Sont-ce les mêmes?

\[\int{f\left( x \right)dx}=\int{f\left( u \right)du}\]

Absolument! C'est pourquoi vous voyez parfois la variable d'intégration (x ou u respectivement) appelée variable «factice», car elle ne joue vraiment aucun rôle dans le processus d'intégration.

Intégration par articles en tant que règle de produit inversée

Après une brève introduction, nous passons maintenant à la chasse. La formule typique d'intégration par pièces présentée dans les manuels est

\[\int{udv}=uv-\int{vdu} \,\,\,\,\,(1)\]

Puis vous dites: "Hein? Qu'est-ce que c'est?" Évidemment, sans donner un sens aux \(u\) et \(dv\) ci-dessus, il est difficile de voir de quoi il s'agit. Une question que vous pouvez vous poser est la suivante: pourquoi la formule d'intégration par pièces implique-t-elle des dv et du, si ceux-ci ne jouent même pas un rôle dans le processus d'intégration, comme indiqué dans l'introduction?

La réponse est simple: dans le contexte de la formule d'intégration par parties ci-dessus, \(du\) et \(dv\) ne sont pas des «variables factices», mais plutôt des fonctions. D'un point de vue symbolique, ce qui précède est bon pour résoudre un exercice d'intégration par parties, mais il n'est pas bon de comprendre pourquoi c'est réellement vrai ou pourquoi cela fonctionne.

Entrez la règle du produit:

La règle du produit dit que:

\[\frac{d}{dx}\left( fg \right)=\frac{df}{dx}g+f\frac{dg}{dx} \,\,\,\,\,(2)\]

Pour faire court, je préfère écrire

\[\left( fg \right)'=f'g+fg' \,\,\,\,\,(3)\]

Mais attendez! Ne sommes-nous pas intégrés dans cet article? Pourquoi est-ce que j'évoque une règle de différenciation? Hum, ne serait-il pas génial d'avoir à la règle du produit pour les intégrales aussi? Ne serait-ce pas génial si \(\int{f'g'}=f\,g + C\) ?? Malheureusement, ce n'est pas le cas, MAIS il existe toujours une règle produit pour les intégrales, mais c'est un peu plus compliqué.

Réorganisons l'équation (3), nous obtenons:

\[fg'=\left( fg \right)'-f'g \,\,\,\,\,(4)\]

Donc, si nous intégrons les deux côtés de l'égalité ci-dessus, nous obtenons

\[\int{fg'}=\int{\left( \left( fg \right)'-f'g \right)}\]

qui par linéarité d'intégration conduit à

\[\int{f\,g'}=f\,g-\int{f'g} \,\,\,\,\,(5)\]

Et ici mes amis, vous avez votre intégration par règle de partie. L'intégration par pièces doit être vue comme un outil d'intégration sympa qui me permet d'intégrer le produit de deux fonctions. Mais c'est un peu plus restrictif, car il est le produit de deux fonctions MAIS l'une des fonctions doit être un dérivé de QUELQUE fonction.

Donc, pour appliquer avec succès la règle d'intégration par parties, il me faut trois choses:

J'essaye d'intégrer le produit de DEUX fonctions.
L'une de ces fonctions est un dérivé de quelque chose (elle est donc de la forme \(g'\)).
J'ai besoin de savoir comment calculer ce quelque chose (j'ai besoin de savoir qui est \(g\))

Si ces trois conditions se produisent, je peux utiliser la règle d'intégration par parties

RAPPELEZ-VOUS: Lorsque vous utilisez l'intégration par parties, vous devez avoir le produit de deux fonctions, et l'une de ces deux fonctions doit être le dérivé de quelque chose que vous connaissez.

Par exemple, voyons quand vous ne pouvez pas appliquer l'intégration par pièces: Considérez l'intégrale suivante

\[\int{\sin \left( {{x}^{2}} \right){{e}^{{{x}^{2}}}}}\]

Dans ce cas, nous essayons d'intégrer le produit de deux fonctions: \(\sin \left( {{x}^{2}} \right)\) et \({{e}^{{{x}^{2}}}}\), mais savez-vous quelle est la primitive de l'une de ces deux fonctions? Ou en d'autres termes, savez-vous quelles fonctions mènent à l'une des \(\sin \left( {{x}^{2}} \right)\) ou \({{e}^{{{x}^{2}}}}\) après la différenciation? Bien. Non. Ces deux fonctions n'ont pas de primitives élémentaires, alors l'intégration par parties n'aiderait pas dans ce cas.

Maintenant, un exemple où l'intégration par pièces POURRAIT être utilisée:

\[\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}\]

Dans ce cas, nous essayons d'intégrer le produit de deux fonctions: \({{x}^{2}}\) et \({{e}^{{{x}^{2}}}}\), et je sais quelle est la primitive de \({{x}^{2}}\). Je peux donc utiliser la règle. Nous avons la notation suivante:

\[\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}=\int{\underbrace{{{e}^{{{x}^{2}}}}}_{f\left( x \right)}\underbrace{{{x}^{2}}dx}_{g'\left( x \right)}}\]

Nous avons donc

\[\begin{aligned} & f\left( x \right)={{e}^{{{x}^{2}}}} \\ & g'\left( x \right)={{x}^{2}} \\ \end{aligned}\]

En différenciant \(f\) et en intégrant \(g'\), nous obtenons:

\[\begin{aligned} & f\left( x \right)=2x{{e}^{{{x}^{2}}}} \\ & g\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3} \\ \end{aligned}\]

(Notez que le \(g\left( x \right)\) indiqué ci-dessus est une primitive possible, mais la règle est que je peux choisir N'IMPORTE QUELLE primitive, donc je choisis la plus simple). L'intégration par pièces est

\[\int{f\,g'}=f\,g-\int{f'g}\]

donc en branchant les informations dont nous disposons, nous obtenons ce qui suit:

\[\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx\,}={{e}^{{{x}^{2}}}}\frac{{{x}^{3}}}{3}-\int{2x{{e}^{{{x}^{2}}}}\frac{{{x}^{3}}}{3}dx}\] \[\Rightarrow \,\,\,\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx\,}=\frac{{{e}^{{{x}^{2}}}}{{x}^{3}}}{3}-\frac{2}{3}\int{{{x}^{4}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}\]

J'ai donc utilisé la règle d'intégration par parties ci-dessus, mais en fait, j'ai atterri dans une intégrale plus difficile à résoudre. En d'autres termes, pour résoudre \(\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx\,}\), nous devons d'abord savoir comment calculer \(\int{{{x}^{4}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}\), ce qui est en fait plus difficile.

La morale de cette histoire est que l'intégration par parties est une sorte de règle de produit pour les intégrales, et vous recherchez une structure spécifique: c'est l'intégrale du produit de deux fonctions, et l'une de ces fonctions dont vous avez besoin pour savoir comment pour calculer sa primitive. Si tel est le cas, vous êtes en affaires et vous pouvez appliquer la règle d'intégration par pièces.

MAIS, comme cela a pu être vu dans l'exemple précédent, le fait que vous puissiez utiliser l'intégration par parties NE signifie PAS qu'elle sera utile à chaque fois.