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Substitution synthétique

Instructions: Utilisez cette calculatrice de substitution synthétique, qui montre toutes les étapes du calcul. Veuillez saisir un polynôme P(x) et une valeur x où vous voulez évaluer le polynôme dans le formulaire ci-dessous.

Calculateur de substitution synthétique

Cette calculatrice peut vous aider dans le processus d'évaluation d'un polynôme $p(x)$ à un point donné $x = a$. Pour que la calculatrice fonctionne, vous devez fournir un polynôme valide de n'importe quel ordre, et une expression numérique valide.

Par exemple, vous pouvez vouloir évaluer un point du polynôme x^5 + 10x^3 - 2x - 12, et le point que vous voulez évaluer est 1/3.

Le polynôme n'a pas besoin d'être simplifié, tant qu'il s'agit d'un polynôme valide. Par exemple, vous pouvez taper x^5 + 10x^3 - 2x - x + 3 - 1/3 et la calculatrice affichera d'abord simplifier le polynôme avant de procéder à l Substitution synthétique .

Une fois que vous avez fourni un polynôme valide et une expression numérique, vous pouvez cliquer sur "Calculer", pour obtenir les étapes du processus illustré, qui consiste à appliquer des valeurs appropriées de Division synthétique . .

Pourquoi utiliser la substitution synthétique ?

La substitution synthétique est simplement une façon d'évaluer une valeur sur un polynôme donné. C'est-à-dire que vous avez une valeur $x = a$, et un polynôme $p(x)$, et vous voulez évaluer le polynôme à la valeur donnée, donc vous voulez obtenir la valeur de $p(a)$.

Maintenant, la question est de savoir pourquoi ne pas simplement brancher la valeur de x = a dans p(x) ? Par exemple, avec le polynôme $p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12$ et la valeur $x = \displaystyle \frac{1}{3}$ nous devrions calculer

\[\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = \displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^5 + 10\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\cdot \left(\frac{1}{3}\right) - 12 \]

Bien que faisable, le calcul ci-dessus se sent comme, hmmmmm, pas très invitant pour dire le moins. Alors, existe-t-il un meilleur moyen, plus facile, d'évaluer $x = \displaystyle \frac{1}{3}$ à travers le polynôme $p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12$ ? Vous pariez qu'il y en a une ?

Il s'avère que, en vertu de la théorème du reste , lorsque vous avez un polynôme $p(x)$, et que vous le divisez par $x-a$, alors le reste de celui-ci est égal à $p(a)$.

Magique, non ? Donc, tout ce que vous avez à faire est de prendre le polynôme $p(x)$, et de faire une division polynomiale avec $x-a$ en utilisant Division synthétique (you can utiliser la division longue aussi, mais c'est un peu plus lourd)

Étapes de l'utilisation de la substitution synthétique

Étape 1: Identifiez le polynôme p(x) avec lequel vous travaillez et la valeur x = a à laquelle vous souhaitez évaluer le polynôme
Étape 2: Si le degré du polynôme est nul, alors le polynôme est constant et p(a) est également cette constante
Étape 3: Supposons que le polynôme soit de degré 1 ou plus. Appliquez la division synthétique au dividende p(x) et au diviseur x - a
Étape 4: Une fois que vous avez terminé, regardez la dernière colonne, et vous trouverez le reste numérique. Vous aurez alors que p(a) est égal à cette valeur

Donc le, nous pouvons voir que l'évaluation d'un polynôme est intimement lié à la division polynomiale, et c'est exactement ce que dit le théorème du reste.

Applications de la substitution synthétique

Comme nous l'avons mentionné précédemment, il est clair que nous pouvons utiliser une calculatrice pour calculer explicitement $\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^5 + 10\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\cdot \left(\frac{1}{3}\right) - 12$, mais cela est évidemment coûteux en calcul.

En ingénierie et dans d'autres applications, il est clair que nous voudrons utiliser le processus le plus efficace possible, et le processus de substitution synthétique est réduit à une poignée de simples multiplications et additions, qui sont beaucoup moins coûteuses que les exponentiations qui seraient nécessaires autrement

Comment savoir quand utiliser l'évaluation synthétique ou simplement se brancher sur le polynôme ?

Étape 1: Déterminez le polynôme p(x) avec lequel vous travaillez, et la valeur de x = a, à laquelle vous souhaitez évaluer le polynôme
Étape 2: Regardez le degré de p(x), pour les degrés de 0 ou 1, vous simplifierez en branchant la valeur
Étape 3: Pour les degrés 2 et plus, il est plus pratique d'utiliser l'évaluation synthétique

La commodité de l'utilisation de la substitution synthétique apparaît clairement au fur et à mesure que l'on progresse dans la mise en œuvre de l'initiative degré du polynôme augmente, surtout pour les degrés 4 et plus.

Conseils pour réussir

Essayez de suivre une approche systématique, en utilisant la méthode habituelle des tableaux, afin de la maîtriser. Il est essentiel d'éviter les erreurs de signes et d'addition des lignes pour obtenir un résultat final sans erreur.

Exemple : utiliser la substitution synthétique

Considérons le polynôme : $p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12$, évaluons-le au point $x = \frac{1}{3}$

Solution: Le polynôme suivant a été fourni : $\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12$, qui doit être évalué au point $\displaystyle x = \frac{1}{3}$ en utilisant la substitution synthétique.

Afin d'effectuer la substitution synthétique, nous devons faire une division synthétique de : $\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12$, et du diviseur $\displaystyle s = x-\frac{1}{3}$, et trouver le reste.

Observez que le degré du dividende est $\displaystyle deg(p) = 5$, alors que le degré du diviseur est $\displaystyle deg(s)) = 1$.

Étape 1: Comme le diviseur est de degré 1, nous pouvons utiliser la méthode de la division synthétique. En résolvant $\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3} = 0$, nous trouvons directement que le nombre à mettre dans la case division est : $\displaystyle \frac{1}{3}$.

\[\begin{array}{c|ccccc} \frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12 \\[0.6em] & & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & & \end{array}\]

Étape 2: Maintenant, nous passons directement le terme principal $1$ à la ligne de résultat :

\[\begin{array}{c|ccccc} \frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12 \\[0.6em] & & & & & & & \\[0.6em] \hline &1&&&&& \end{array}\]

Étape 3: En multipliant le terme de la case de division par le résultat de la colonne 1, on obtient : $\frac{1}{3} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{3}$ et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 1.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & & & \\[0.6em]\hline&1&&&&&\end{array}\]

Étape 4: Maintenant, en ajoutant les valeurs de la colonne 2, on obtient : $ 0+\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 2.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & & & \end{array}\]

Étape 5 : En multipliant le terme de la case de division par le résultat de la colonne 2, on obtient : $\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{9}$ et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 2.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & & & \end{array}\]

Étape 6 : Maintenant, en ajoutant les valeurs de la colonne 3, on obtient : $ 10+\frac{1}{9} = \frac{91}{9}$ et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 3.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & & \end{array}\]

Étape 7 : En multipliant le terme de la case de division par le résultat de la colonne 3, on obtient : $\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{91}{9}\right) = \frac{91}{27}$ et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 3.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & & \end{array}\]

Étape 8 : Maintenant, en ajoutant les valeurs de la colonne 4, on obtient : $ 0+\frac{91}{27} = \frac{91}{27}$ et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 4.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & \end{array}\]

Étape 9 : En multipliant le terme de la case de division par le résultat de la colonne 4, on obtient : $\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{91}{27}\right) = \frac{91}{81}$ et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 4.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & \end{array}\]

Étape 10 : Maintenant, en additionnant les valeurs de la colonne 5, on obtient : $ -2+\frac{91}{81} = -\frac{71}{81}$ et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 5.

Étape 11 : En multipliant le terme de la case de division par le résultat de la colonne 5, on obtient : $\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{71}{81}\right) = -\frac{71}{243}$ et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 5.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81} & -\frac{71}{243}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & -\frac{71}{81}\end{array}\]

Étape 12 : Maintenant, en ajoutant les valeurs de la colonne 6, on obtient : $ -12-\frac{71}{243} = -\frac{2987}{243}$ et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 6.

ce qui conclut ce calcul, puisque nous sommes arrivés au résultat de la dernière colonne, qui contient le reste.

Conclusion : Par conséquent, nous concluons que pour le dividende donné $\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12$ et le diviseur $\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3}$, nous obtenons que le reste est $\displaystyle r(x) = -\frac{2987}{243}$, donc alors nous concluons que $\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{2987}{243}$.

Exemple : application de la substitution synthétique

La valeur x = 1 est-elle une racine du polynôme : $p(x) = x^4 - x^3 + 4x + 3$ ?

Solution: La substitution synthétique peut être appliquée comme dans l'exemple précédent, mais dans le cas d'une valeur simple comme x = 1, nous pouvons simplement insérer x = 1 et le calcul est très simple :

\[p(1) = 1^4 - 1^3 + 4\cdot 1 + 3 = 1 - 1 + 4 + 3 = 7 \ne 0\]

donc x = 1 n'est pas une racine.

Exemple : substitutions plus synthétiques

Evaluez p(1/2) pour $p(x) = x^4 - 2x^3 + 4x + 3$.

Solution: On a maintenant $\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3$, à évaluer au point $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ en utilisant la substitution synthétique.

On utilise donc la division synthétique de : $\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3$, et le diviseur $\displaystyle s = x-\frac{1}{2}$, et l'objectif est de trouver le reste.

Étape 1: Comme le diviseur est de degré 1, nous pouvons utiliser la méthode de la division synthétique. En résolvant $\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2} = 0$, nous trouvons directement que le nombre à mettre dans la case division est : $\displaystyle \frac{1}{2}$.

\[\begin{array}{c|cccc} \frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}\]

Étape 2: Maintenant, nous passons directement le terme principal $1$ à la ligne de résultat :

\[\begin{array}{c|cccc} \frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &1&&&& \end{array}\]

Étape 3: En multipliant le terme de la case de division par le résultat de la colonne 1, on trouve : $\frac{1}{2} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{2}$ et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 1.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & & \\[0.6em]\hline&1&&&&\end{array}\]

Étape 4: Maintenant, en ajoutant les valeurs de la colonne 2, on trouve : $ -2+\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$ et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 2.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & & \end{array}\]

Étape 5 : En multipliant le terme de la case de division par le résultat de la colonne 2, on trouve : $\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{3}{4}$ et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 2.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & & \end{array}\]

Étape 6 : Maintenant, en ajoutant les valeurs de la colonne 3, on trouve : $ 0-\frac{3}{4} = -\frac{3}{4}$ et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 3.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \end{array}\]

Étape 7 : En multipliant le terme de la case de division par le résultat de la colonne 3, on trouve : $\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{3}{8}$ et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 3.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \end{array}\]

Étape 8 : Maintenant, en ajoutant les valeurs de la colonne 4, on trouve : $ 4-\frac{3}{8} = \frac{29}{8}$ et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 4.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{29}{8}\end{array}\]

Étape 9 : En multipliant le terme de la case de division par le résultat de la colonne 4, on trouve : $\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{29}{8}\right) = \frac{29}{16}$ et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 4.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8} & \frac{29}{16}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{29}{8}\end{array}\]

Étape 10 : Maintenant, en additionnant les valeurs de la colonne 5, on trouve : $ 3+\frac{29}{16} = \frac{77}{16}$ et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne 5.

Conclusion : Par conséquent, nous concluons que pour le dividende donné $\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3$ et le diviseur $\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2}$, et nous obtenons que le reste est égal à $\displaystyle r(x) = \frac{77}{16}$, donc alors nous concluons que $\displaystyle p\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{77}{16}$.

Plus de calculateurs de polynômes

L'importance de la évaluations polynomiales et les calculs ne peuvent être sous-estimés. racines polynomiales sont incroyablement polyvalents et apparaissent dans de très nombreuses applications en physique et en ingénierie. .

Dans cet article, nous avons vu le lien évident avec la substitution synthétique avec à la fois Division synthétique et Division longue qui ferme le cercle délimité par l'élément Théorème Du Reste qui est sans aucun doute un prédécesseur direct du théorème fondamental de l'algèbre.