Calculateur du théorème du reste

Cette calculatrice peut vous aider à utiliser efficacement et facilement le théorème du reste. Pour l'utiliser, vous devez fournir un polynôme valide (par exemple, quelque chose comme 3x^4 - 3x^2 + 6) et une expression numérique valide (comme 2, ou 3/4) à laquelle vous voulez évaluer le polynôme.

Le polynôme fourni peut avoir n'importe quel le degré que vous souhaitez tant qu'il s'agit d'un polynôme valide. Il peut avoir des coefficients entiers ou fractionnaires, ou finalement toute expression numérique valide peut être un coefficient (comme sqrt(2)). Le polynôme que vous fournissez peut être simplifié ou non, cela n'a pas d'importance, car la calculatrice va simplifier le polynôme d'abord, si nécessaire.

Une fois qu'un polynôme valide est fourni, avec une expression numérique valide pour l'évaluer, vous devez appuyer sur le bouton "Calculer", et toutes les étapes du processus vous seront fournies.

La Théorème Du Reste est de la plus haute importance en algèbre, vous aurez donc besoin de cette calculatrice pour faciliter le processus.

Qu'est-ce que le théorème du reste ?

Le théorème du reste est un théorème important qui dit simplement que lorsque vous divisez deux polynômes, vous trouverez un quotient et un reste, tous deux polynomiaux.

Cela rappelle la division des nombres : lorsqu'on divise deux nombres, on obtient un quotient et un reste, avec la propriété fantastique que le reste est inférieur au diviseur. Il se passe exactement la même chose avec les polynômes, sauf que dans ce cas, le degré du reste est inférieur au degré du diviseur.

Il faut le formuler mathématiquement : Supposons que vous ayez un polynôme \(p(x)\) et que vous vouliez le diviser par \(s(x)\). Le théorème du reste stipule qu'il existe un quotient \(q(x)\) et un reste \(r(x\) avec la propriété suivante

\[\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = q(x) + \frac{r(x)}{s(x)} \]

où le degré du reste \(r(x)\) est inférieur au degré du diviseur \(s(x)\). Ces quotient et reste peuvent être trouvés à l'aide de la fonction division longue de polynômes .

L'autre aspect du théorème du reste est que l'expression ci-dessus peut être réécrite comme suit

\[\displaystyle p(x) = q(x)s(x) + r(x)\]

Maintenant, si le diviseur a l'ordre 1, disons \(s(x) = x-a\), le théorème du reste devient

\[\displaystyle p(x) = q(x)(x-a) + r\]

Maintenant, \(r(x)\) devient une constante \(r(x) = r\), car le diviseur a le degré 1, et alors le reste doit avoir le degré zéro, ce qui signifie que le reste est constant.

Ainsi, en introduisant x = a dans la formule ci-dessus, on obtient

\[\displaystyle p(a) = q(a)(a-a) + r = q(a)\cdot 0 + r = r\]

La conclusion, et la ligne de fond du théorème du reste, est que p(a) est le reste de la division de p(x) par (x-a), ce qui peut être fait en utilisant Division synthétique . Ce processus d'évaluation indirecte du polynôme à une valeur s'appelle Substitution synthétique .

Étapes de l'utilisation du théorème du reste de la vie

• Étape 1: Identifier le polynôme p(x) et le diviseur s(x)
• Étape 2: Si vous voulez trouver le quotient et le reste, en général, vous pouvez utiliser la méthode de la division longue
• Étape 3: Si vous voulez évaluer p(x) à un point x = a, il suffit de diviser p(x) par x-a en utilisant la méthode de la division synthétique

Comme vous pouvez le constater, le théorème du reste, la division de polynômes, la division synthétique et la division longue sont étroitement liés les uns aux autres, et sont les différentes faces d'un même objet.

Quel avantage tirez-vous de l'utilisation du théorème du reste ?

Le théorème du reste est utilisé à de nombreux titres. Le plus souvent, il est utilisé pour évaluer un polynôme à une valeur donnée x = a, et plus précisément, déterminer s'il s'agit ou non d'une racine du polynôme (si p(a) = 0).

Globalement, le théorème du reste vous donne la possibilité de détecter les racines, ce qui est une capacité cruciale au moment de factoriser des polynômes.

Conseils pour réussir

En général, lorsque vous travaillez avec des polynômes, il est plus pratique d'utiliser la substitution synthétique que l'évaluation directe, surtout lorsque vous effectuez un travail à la main.

Éviter les erreurs avec les signes, et faire attention avec Règles PEMDAS peut augmenter vos chances d'appliquer le théorème correctement.

Exemple : théorème du reste et substitution synthétique

En utilisant la substitution synthétique, trouvez \(p\left(\frac{1}{2}\right)\) pour le polynôme \(p(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 3\)

Solution: Nous avons \(\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3\), et nous avons besoin qu'il soit évalué à \(\displaystyle x = \frac{1}{2}\), et pour cela nous allons utiliser le théorème du reste.

On divise donc : \(\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3\), par le diviseur \(\displaystyle s = x-\frac{1}{2}\), puis on trouve le reste.

Étape 1: En résolvant \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2} = 0\) on trouve directement que le nombre à mettre dans la case division est : \(\displaystyle \frac{1}{2}\).

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

Étape 2: Maintenant, nous passons directement le terme principal \(\displaystyle 2\) à la ligne de résultat :

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 2&&& \end{array}\]

Étape 3: Multiplication du terme dans la case de division par le résultat de la colonne 1 : \(\frac{1}{2} \cdot \left(2\right) = 1\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne1.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 2&&&\end{array}\]

Étape 4: Maintenant, on ajoute les valeurs de la colonne 2 : \( \displaystyle -3+1 = -2\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne2.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & \\[0.6em]\hline& 2 & -2 & \end{array}\]

Étape 5 : Multiplication du terme dans la case de division par le résultat de la colonne 2 : \(\frac{1}{2} \cdot \left(-2\right) = -1\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne2.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & \end{array}\]

Étape 6 : Maintenant, on ajoute les valeurs de la colonne 3 : \( \displaystyle 2-1 = 1\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne3.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1\end{array}\]

Étape 7 : Multiplication du terme dans la case de division par le résultat de la colonne 3 : \(\frac{1}{2} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{2}\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne3.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1 & \frac{1}{2}\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1\end{array}\]

Étape 8 : Maintenant, on ajoute les valeurs de la colonne 4 : \( \displaystyle -3+\frac{1}{2} = -2\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne4.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1 & \frac{1}{2}\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1 & -2\end{array}\]

Conclusion : Par conséquent et en utilisant le théorème du reste, on conclut que pour le dividende donné \(\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3\) et le diviseur \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2}\), on obtient que le reste est \(\displaystyle r(x) = -2\), donc on conclut alors que \(\displaystyle p\left(\frac{1}{2}\right) = -2\).

Exemple : utilisation du théorème du reste

Considérons le polynôme suivant de degré 4 : \(p(x) = x^4 - 3x^2 + 2x - 1\). Utilisez le théorème du reste pour calculer \(p(-1)\).

Solution: On a fourni le polynôme suivant : \(\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1\), qui doit être évalué au point \(\displaystyle x = -1\) en utilisant le théorème du reste.

Afin d'utiliser le théorème du reste, nous devons effectuer la substitution synthétique, pour laquelle nous devons faire une division synthétique de : \(\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1\), et du diviseur \(\displaystyle s = x+1\), puis trouver le reste.

Observez que le degré du dividende est \(\displaystyle deg(p) = 4\), alors que le degré du diviseur est \(\displaystyle deg(s)) = 1\).

Étape 1: Comme le diviseur est de degré 1, nous pouvons utiliser la méthode de la division synthétique. En résolvant \(\displaystyle s(x) = x+1 = 0\), nous trouvons directement que le nombre à mettre dans la case division est : \(\displaystyle -1\).

\[\begin{array}{c|cccc} -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}\]

Étape 2: Maintenant, nous passons directement le terme principal \(\displaystyle 1\) à la ligne de résultat :

\[\begin{array}{c|cccc} -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 1&&&& \end{array}\]

Étape 3: Multiplication du terme dans la case de division par le résultat de la colonne 1 : \(-1 \cdot \left(1\right) = -1\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne1.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 1&&&&\end{array}\]

Étape 4: Maintenant, on ajoute les valeurs de la colonne 2 : \( \displaystyle 0-1 = -1\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne2.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & & \end{array}\]

Étape 5 : Multiplication du terme dans la case de division par le résultat de la colonne 2 : \(-1 \cdot \left(-1\right) = 1\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne2.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & & \end{array}\]

Étape 6 : Maintenant, on ajoute les valeurs de la colonne 3 : \( \displaystyle -3+1 = -2\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne3.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & \end{array}\]

Étape 7 : Multiplication du terme dans la case de division par le résultat de la colonne 3 : \(-1 \cdot \left(-2\right) = 2\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne3.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & \end{array}\]

Étape 8 : Maintenant, on ajoute les valeurs de la colonne 4 : \( \displaystyle 2+2 = 4\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne4.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4\end{array}\]

Étape 9 : Multiplication du terme dans la case de division par le résultat de la colonne 4 : \(-1 \cdot \left(4\right) = -4\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne4.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2 & -4\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4\end{array}\]

Étape 10 : Maintenant, on ajoute les valeurs de la colonne 5 : \( \displaystyle -1-4 = -5\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne5.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2 & -4\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4 & -5\end{array}\]

ce qui conclut ce calcul, puisque nous sommes arrivés au résultat de la dernière colonne, qui contient le reste.

Conclusion : Par conséquent et en utilisant le théorème du reste, on conclut que pour le dividende donné \(\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1\) et le diviseur \(\displaystyle s(x) = x+1\), on obtient que le reste est \(\displaystyle r(x) = -5\), donc on conclut alors que \(\displaystyle p\left(-1\right) = -5\).

Exemple : une autre application du théorème du reste

Est-ce que x = 3 est une racine du polynôme \( p(x) = x^3 - x^2 + x - 2\) ?

Solution: On a \(\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2\), et on va évaluer ce polynôme au point \(\displaystyle x = 3\) pour voir si c'est une racine.

Donc nous utilisons le dividende \(\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2\), et le diviseur \(\displaystyle s = x-3\), et ensuite nous devons trouver le reste.

Étape 1: Comme le diviseur est de degré 1, nous pouvons utiliser la méthode de la division synthétique. En résolvant \(\displaystyle s(x) = x-3 = 0\), nous trouvons directement que le nombre à mettre dans la case division est : \(\displaystyle 3\).

\[\begin{array}{c|ccc} 3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

Étape 2: Maintenant, nous passons directement le terme principal \(\displaystyle 1\) à la ligne de résultat :

\[\begin{array}{c|ccc} 3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 1&&& \end{array}\]

Étape 3: Multiplication du terme dans la case de division par le résultat de la colonne 1 : \(3 \cdot \left(1\right) = 3\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne1.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 1&&&\end{array}\]

Étape 4: Maintenant, on ajoute les valeurs de la colonne 2 : \( \displaystyle -1+3 = 2\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne2.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline& 1 & 2 & \end{array}\]

Étape 5 : Multiplication du terme dans la case de division par le résultat de la colonne 2 : \(3 \cdot \left(2\right) = 6\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne2.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & \end{array}\]

Étape 6 : Maintenant, on ajoute les valeurs de la colonne 3 : \( \displaystyle 1+6 = 7\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne3.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7\end{array}\]

Étape 7 : Multiplication du terme dans la case de division par le résultat de la colonne 3 : \(3 \cdot \left(7\right) = 21\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne3.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6 & 21\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7\end{array}\]

Étape 8 : Maintenant, on ajoute les valeurs de la colonne 4 : \( \displaystyle -2+21 = 19\) et ce résultat est inséré dans la ligne de résultat, colonne4.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6 & 21\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7 & 19\end{array}\]

Conclusion : Par conséquent et en utilisant le théorème du reste, on conclut que pour le dividende donné \(\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2\) et le diviseur \(\displaystyle s(x) = x-3\), on obtient que le reste est \(\displaystyle r(x) = 19\), donc on conclut alors que \(\displaystyle p\left(3\right) = 19\). Puisque \(\displaystyle p\left(3\right) = 19 \ne 0\), on conclut que \(x = 3\) n'est pas une racine du polynôme.

Plus de calculatrices d'algèbre

L'algèbre est centrée sur l'étude et calcul des polynômes . On peut le voir clairement quand on réalise que le théorème fondamental du calcul concerne les racines d'un modèle général polynôme de degré n

Remarquez comment le théorème du reste peut être utilisé par l'utilisation directe du méthode de substitution synthétique qui, à son tour, est promulguée en utilisant division synthétique de polynômes . Ainsi, il est clair que le théorème du reste ainsi que la division de polynômes sont intimement liées à trouver les racines des polynômes .