Calculatrice de fonction exponentielle
Instructions: Utilisez ce calculateur de fonction exponentielle étape par étape pour trouver la fonction qui décrit la fonction exponentielle qui passe par deux points donnés dans le plan XY. Vous devez fournir les points \((t_1, y_1)\) et \((t_2, y_2)\), et cette calculatrice estimera la fonction exponentielle appropriée et fournira son graphique.
Calculatrice de fonction exponentielle à partir de deux points
L'idée de ce calculateur est d'estimer les paramètres \(A_0\) et \(k\) pour la fonction \(f(t)\) définie comme:
\[f(t) = A_0 e^{kt}\]de sorte que cette fonction passe par les points donnés \((t_1, y_1)\) et \((t_2, y_2)\).
Mais, comment trouvez-vous une fonction exponentielle à partir de points?
Techniquement, pour trouver les paramètres, vous devez résoudre le système d'équations suivant:
\[y_1 = A_0 e^{k t_1}\] \[y_2 = A_0 e^{k t_2}\]La résolution de ce système pour \(A_0\) et \(k\) conduira à une solution unique, à condition que \(t_1 = \not t_2\).
En effet, en divisant les deux côtés des équations:
\[\displaystyle \frac{y_1}{y_2} = \frac{e^{k t_1}}{e^{k t_2}}\] \[\displaystyle \Rightarrow \, \frac{y_1}{y_2} = e^{k (t_1-t_2)}\] \[\displaystyle \Rightarrow \, \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right) = k (t_1-t_2)\] \[\displaystyle \Rightarrow \, k = \frac{1}{t_1-t_2} \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right)\]Afin de résoudre pour \(A_0\), nous remarquons à partir de la première équation que:
\[A_0 = y_1 e^{-k t_1} = y_1 \frac{y_2}{y_1 e^{k t_2}} =\frac{y_2}{e^{k t_2}} \]Comment calculez-vous la croissance exponentielle?
Ce n'est pas toujours de la croissance. En effet, si le paramètre \(k\) est positif, alors nous avons une croissance exponentielle, mais si le paramètre \(k\) est négatif, alors nous avons une décroissance exponentielle.
Le paramètre \(k\) sera nul uniquement si \(y_1 = y_2\) (les deux points ont la même hauteur).
Pour des comportements exponentiels spécifiques, vous pouvez consulter notre calculateur de croissance exponentielle et le calculateur de désintégration exponentielle , qui utilisent des paramètres spécifiques pour ce type de comportement exponentiel.