En savoir plus sur cette calculatrice de probabilité de distribution normale pour l'outil distributions d'échantillonnage

Lorsqu'on calcule la moyenne d'une séquence de variables normalement distribuées \(X_1, X_2, ...., X_n\), on obtient la moyenne de l'échantillon

\[\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\]

Étant donné que toute combinaison linéaire de variables normales est également normale, la moyenne de l'échantillon \(\bar X\) est également normalement distribuée (en supposant que chaque \(X_i\) est normalement distribuée). La distribution de \(\bar X\) est communément appelée la Distribution des moyennes de l'échantillon .

La distribution gaussienne, ou distribution en forme de cloche, est une autre appellation de la distribution normale.

Comment calculer la distribution d'échantillonnage ?

En supposant que \(X_i \sim N(\mu, \sigma^2)\), pour tout \(i = 1, 2, 3, ...n\), alors \(\bar X\) est normalement distribué avec la même moyenne commune \(\mu\), mais avec une variance de \(\displaystyle\frac{\sigma^2}{n}\).

Cela nous indique que \(\bar X\) est également centré sur \(\mu \) mais que sa dispersion est inférieure à celle de chaque individu \( X_i \). En effet, plus la taille de l'échantillon est grande, plus la dispersion de \(\bar X\) est faible.

La formule de la distribution normale

La formule de la distribution normale est une formule relativement difficile, que vous ne manipulerez pas manuellement. La formule est la suivante :

\[ f(x)=\frac{1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}} e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}\]

La formule de la distribution normale d'échantillonnage

La clé, lorsqu'on travaille avec des distributions d'échantillonnage, est d'utiliser le fait que si \(\mu\) est la moyenne de la population et \(\sigma\) l'écart-type de la population, alors

\[ \displaystyle \frac{\bar X - \mu}{\sigma}\]

a une distribution normale standard. Ce point est crucial, car nous pouvons l'utiliser pour réduire toutes les distributions d'échantillonnage en calculs des probabilités normales standard .

En termes simples, ce que vous faites, c'est réduire le calcul de toute probabilité de distribution normale à la fonction le calcul des scores z .

En réduisant tous les calculs de distribution normale à l'utilisation des scores z, tout ce dont vous avez besoin est une table normale standard, où trouver les valeurs z, ou un outil comme cette calculatrice ou Excel.

Quelle est la moyenne de la distribution d'échantillonnage ?

La moyenne des distributions d'échantillonnage, \(\mu(\bar X)\), est la même que la moyenne sous-jacente de la distribution \(\mu\).

Écart-type de la distribution d'échantillonnage

Contrairement à la moyenne, l'écart-type des moyennes d'échantillons peut être calculé à l'aide de la formule suivante :

\[s(\bar X) = \displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt n}\]

Calculatrices relatives à la distribution normale

Si vous souhaitez calculer les probabilités normales pour une seule observation \(X\), vous pouvez utiliser cette calculatrice avec \(n=1\), ou vous pouvez utiliser notre calculateur normal Calculatrice de la distribution normale .

Souvent, c'est le processus inverse qui vous intéresse : Étant donné une probabilité, vous voulez trouver le score tel que la probabilité à droite de ce score est cette probabilité donnée, pour laquelle vous pouvez utiliser un calculatrice invnorm

Si la visualisation graphique est ce dont vous avez besoin, vous pouvez également essayer directement notre créateur de graphiques de distribution normale .

En outre, pour déterminer si un échantillon provient d'une distribution normale réelle, vous pouvez utiliser une fonction graphique des probabilités normales et observez le modèle obtenu. S'il semble assez linéaire, cela indique que l'échantillon provient probablement d'une population normalement distribuée.

Exemple :

Question : Considérons une distribution normale où la moyenne de la population est de 12 et l'écart type de la population est de 3,4. Supposons que vous préleviez des échantillons de taille n = 16. Quelle est la probabilité que les moyennes des échantillons se situent dans l'intervalle (11,3, 12,4) ?

Solution :

Voici la moyenne de la population \((\mu)\), l'écart-type de la population \((\sigma)\) et la taille de l'échantillon \((n)\) fournis :

Population Mean \((\mu)\) =	\(12\)
Population Standard Deviation \((\sigma)\) =	\(3.4\)
Sample Size \((n)\) =	\(16\)
Event to compute its probability =	\(11.3 \leq \bar X \leq 12.4\)

Nous devons calculer \(\Pr(11.3 \leq \bar X \leq 12.4)\). Les valeurs z correspondantes à calculer sont :

\[Z_{lower} = \frac{X_1 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{ 11.3 - 12}{ 3.4/\sqrt{16}} = -0.82 \] \[Z_{upper} = \frac{X_2 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{ 12.4 - 12}{ 3.4/\sqrt{16}}= 0.47 \]

En utilisant les propriétés de la distribution normale, si \(X ~ N(\mu, \sigma)\), alors les variables \(Z_{lower} = \displaystyle \frac{X_1 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \) et \(Z_{upper} = \displaystyle \frac{X_2 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \) ont une distribution normale standard. Par conséquent, la probabilité est calculée comme suit :

\[ \begin{array}{ccl} \Pr(11.3 \leq \bar X \leq 12.4) & = & \Pr\left(\displaystyle \frac{ 11.3 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}} \leq \frac{ \bar X - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}} \leq \frac{ 12.4 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}}\right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle\Pr\left(\frac{ 11.3 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}} \leq Z \leq \frac{ 12.4 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}}\right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \Pr\left(-0.82 \leq Z \leq 0.47\right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \Pr\left(Z \leq 0.47\right) - \Pr\left(Z \leq -0.82\right) \\\\ \\\\ & = & 0.681 - 0.2051 \\\\ \\\\ & = & 0.4759 \end{array}\]

Par conséquent, sur la base des informations fournies, il est conclu que \( \Pr(11.3 \leq \bar X \leq 12.4) = 0.4759\).