Il me semblait important de constater le concept de dérivé d'une fonction.Le processus de différenciation (ceci est, calculer les dérivés) est l'une des opérations les plus fondamentales du calcul et même en mathématiques.Dans ce tutoriel de crack mathématiques, je vais essayer de perdre une lumière dans la signification et l'interprétation de ce qu'est un dérivé et fait.

Tout d'abord, dans le but de clarifier quelle est la portée de ce tutoriel, je voudrais dire que nous ne pratiquerons pas avec la résolution de problèmes de pratique spécifiques impliquant des dérivés, mais nous préférerons faire une tentative de comprendre ce que nous faisons quandopérant avec des dérivés.Une fois que nous comprenons ce que nous faisons, nous avons une meilleure chance de résoudre des problèmes.

Définition d'un dérivé (pas le ennuyeux)

Pour commencer, il est obligatoire d'écrire au moins la définition d'un dérivé.Supposons que \(f\) est une fonction et \({{x}_{0}}\in dom\left( f \right) \).Ok, nous avons déjà commencé avec des détails techniques?Tout ce que nous disons, c'est que \(f\) est une fonction.Pensez à une fonction \(f\) par sa représentation graphique indiquée ci-dessous:

En outre, lorsque nous disons que "\({{x}_{0}}\in dom\left( f \right) \)", tout ce que nous disons, c'est que \({{x}_{0}}\) est un point où la fonction est bien définie (elle appartient donc à sa domaine ).Mais tenez-le, est-il possible pour un point ___ xyz ___ de faire une fonction non bien définie ....?Certainement!Considérez la fonction suivante:

\[f\left( x \right)=\frac{1}{x-1}\]

Cette fonction n'est pas bien définie à \({{x}_{0}}=1\).Qu'est-ce qui n'est pas bien défini à \({{x}_{0}}=1\)?Parce que si nous branchions la valeur de \({{x}_{0}}=1\) dans la fonction que nous obtenons

\[f\left( 1 \right)=\frac{1}{1-1}=\frac{1}{0}\]

Ce qui est une opération invalide (comme vous le savez auprès de l'école primaire, vous ne pouvez pas diviser par zéro, au moins avec les règles arithmétiques traditionnelles), alors la fonction n'est pas bien définie à \({{x}_{0}}=1\).Pour qu'une fonction soit bien définie à un point signifie simplement que la fonction peut être évaluée à ce stade, sans l'existence d'aucune opération non valide.

Alors maintenant, nous pouvons le répéter à nouveau, car vous savez maintenant ce que nous voulons dire: supposons \(f\) est une fonction et \({{x}_{0}}\in dom\left( f \right) \).Le dérivé au point \({{x}_{0}}\) est défini comme

\[f'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim_{x \to {x_0}}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\]

quand une telle limite existe.

Ok, c'est la viande du problème et nous en discuterons dans une seconde.Je vous aimerais avoir des choses extrêmement claires ici:

• Lorsque la limite ci-dessus existe, nous appelons si \(f'\left( {{x}_{0}} \right) \), et il est appelé «dérivé de la fonction \(f\left( x \right) \) au point \({{x}_{0}}\)».Alors, \(f'\left( {{x}_{0}} \right) \) est simplement un symbole que nous utilisons pour faire référence à la dérivée de la fonction \(f\left( x \right) \) au point \({{x}_{0}}\) (quand il existe).Nous aurions pu utiliser tout autre symbole, tel que "\(deriv{{\left( f \right)}_{{{x}_{0}}}}\)" ou "\(derivative\_f\_{{x}_{0}}\)".Mais un sens esthétique nous fait préférer "\(f'\left( {{x}_{0}} \right) \)".

Le point est qu'un symbole constitué de faire référence à la dérivée de la fonction \(f\left( x \right) \) au point \({{x}_{0}}\).La chose amusante en mathématiques est que cette notation compte.Même si un concept existe quelle que soit la notation utilisée pour l'exprimer, une notation logique, flexible et compacte peut rendre les choses sur le feu par opposition à ce qui peut se passer d'une notation encombrante et non inspirée

Le rôle joué par la notation

(Historiquement, les deux développeurs simultanés d'une version utilisable du concept de dérivé, Leibniz et Newton ont utilisé des notations radicalement différentes. Newton a utilisé \(\dot{y}\), alors que Leibniz a utilisé \(\frac{dy}{dx}\). La notation Leibniz a pris feu et a facilité le plein développement de Calcul, alors que la notation de Newtoncausé plus d'un mal de tête. Vraiment, c'était aussi important).

• Le dérivé est une opération ponctuelle.Cela signifie qu'il s'agit d'une opération réalisée à une fonction à un point donné et qu'il doit être vérifié point par point.Bien sûr, un domaine typique comme la ligne réelle \(\mathbb{R}\) il existe un nombre infini de points, il peut donc prendre un certain temps pour vérifier à la main si un dérivé est défini à chaque point.Mais, il existe certaines règles qui permettent de simplifier considérablement le travail en calculant le dérivé à un point générique \({{x}_{0}}\), puis analysant les valeurs de \({{x}_{0}}\) la limite de définition du dérivé existant.Donc, vous pouvez vous détendre, car le travail à la main gritty ne sera pas de taxer, si vous savez ce que vous faites bien sûr.

• Lorsque le dérivé d'une fonction \(f\) existe à un point \({{x}_{0}}\), nous disons que la fonction est différente à \({{x}_{0}}\).De plus, nous pouvons dire qu'une fonction est différente dans une région (une région est un ensemble de points) si la fonction est différente à chaque point de cette région.Ainsi, même si le concept de dérivé est un concept ponctuel (défini à un point spécifique), il peut être compris comme un concept global lorsqu'il est défini pour chaque point d'une région.

• Si nous définissons \(D\) l'ensemble de tous les points de la ligne réelle où la dérivée d'une fonction est définie, nous pouvons définir la fonction dérivée \(f'\) comme suit:

Ceci est une fonction parce que nous associons de manière unique chaque \(x\) sur \(D\) avec la valeur \(f'\left( x \right) \).Cela signifie que chaque valeur de \(x\) sur \(D\) est associée à la valeur \(f'\left( x \right) \).L'ensemble de toutes paires \(\left( x,f'\left( x \right) \right) \), pour \(x\in D\) former une fonction, et vous pouvez faire tout ce que vous pouvez faire avec des fonctions, telles que les graphiques.

Cela devrait régler la question que de nombreux étudiants ont sur les dérivés, car ils se demandent comment nous avons une "fonction" dérivée, lorsque le dérivé est quelque chose qui est calculé à un certain point.Eh bien, la réponse est que nous calculons le dérivé de nombreux points, qui fournit la base à définir le dérivé en tant que fonction.

Mots finaux: l'enfer de notation

Lorsque le concept de dérivé a été mis dans la forme moderne, nous connaissons par Newton et Leibniz (je mettant l'accent sur le terme «forme moderne», car le calcul était presque entièrement développé par les Grecs et d'autres d'une manière plus intuitive et moins formelle.Il y a longtemps), ils ont choisi des notations radicalement différentes.Newton a choisi \(\overset{\bullet }{\mathop{y}}\,\), tandis que Leibniz a choisi \(\frac{dy}{dx}\).Jusqu'ici tout va bien.Mais le concept de dérivé signifie beaucoup moins si nous n'avons pas de théorèmes dérivés puissants.

En utilisant leurs notations respectives, ils ont tous deux eu des problèmes pour prouver des théorèmes de différenciation de base, tels que la linéarité et la règle du produit, mais Newton ne voyait pas la nécessité d'énoncer officiellement la règle de la chaîne, éventuellement parce que sa notation ne s'est pas prêtée pour cette notation., tandis que pour la notation de Leibniz, la règle de la chaîne se montre presque comme une règle de "duh".Pour être plus précis, supposons que \(y=y\left( x \right) \) est une fonction et \(u=u\left( x \right) \) est une autre fonction.

Il s'agit d'une question naturelle de demander si je peux calculer la dérivée de la composition \(y\left( u\left( x \right) \right) \) de manière simple, sur la base des dérivés de \(y\) et \(u\).La réponse à cette question est la règle de la chaîne.En utilisant la notation de Leibniz la règle est

\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\]

C'est presque comme si vous pouviez annuler le \(du\) comme:

Mais ce n'est pas exactement comme ça.Mais c'est la beauté de la notation de Leibniz.Il a un appel fortement intuitif (et l'annulation «\(du\)» sont presque à une réalité, c'est seulement que cela se fait au niveau \(\Delta u\) et il y a des limites impliquées), mais vous devez pourtant comprendre ce que le Leibniz disait avec lerégner.Il dit:

"La dérivée de la fonction composée \(y\left( u\left( x \right) \right) \) est identique à la dérivée de \(y\) au point \(u\left( x \right) \) multiplié par le dérivé de \(u\) au point \(x\)"

La règle de la chaîne utilisant la notation de Newton obtient le formulaire suivant:

\[\overset{\bullet }{\mathop{\left( f\circ u \right)}}\,=\overset{\bullet }{\mathop{f}}\,\left( u\left( x \right) \right)\overset{\bullet }{\mathop{u}}\,\left( x \right)\]

Un peu moins beau, n'est-ce pas?Mais devinez quoi, dit la règle de la chaîne de Newton exactement la même chose que

\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\]

Cependant, cette dernière notation a pris feu et a contribué énormément au développement rapide du calcul moderne, alors que la forme de Newton était bien moins aimée.Même si les théores disaient exactement la même chose, l'un était doré et l'autre pas tellement.Pourquoi?Notation mon ami.