Division polynomiale

Cette calculatrice effectuera une division polynomiale pour vous, et tout ce que vous avez à faire est de fournir deux polynômes valides. L'ordre dans lequel ces polynômes sont donnés est important, car la division polynomiale est non commutatif (alors p(x)/s(x) n'est pas la même chose que s(x)/p(x)).

Le premier polynôme que vous fournissez, souvent appelé le dividende, correspond au dividende, et le second polynôme est celui par lequel vous divisez, généralement appelé le diviseur.

Des exemples de polynômes valides sont p(x) = x^4 + 3x^3 - 2 et s(x) = x - 3, mais les coefficients du polynôme ne doivent pas nécessairement être des entiers, car ils peuvent être des fractions, ou tout type d'expression numérique valide. De même, les polynômes n'ont pas besoin d'être simplifiés. Si nécessaire, la calculatrice effectuera un simplification polynomiale avant de diviser.

Une fois que vous avez fourni les polynômes valides, vous êtes prêt. Il ne vous reste plus qu'à cliquer sur "Calculer", afin que toutes les étapes du processus soient affichées.

Comment diviser des polynômes

La division polynomiale est légèrement plus compliquée que la division de nombres. Par exemple, lorsque nous divisons deux nombres, comme "4 divisé par 2", nous faisons 4/2 = 2. C'est donc facile, non ?

Mais ce n'est pas toujours aussi simple, car nous pouvons avoir quelque chose comme "7/2". Vous pouvez dire "Eh bien, 7/2 = 3,5" et vous auriez raison, mais une autre façon de voir les choses est de dire que "7 divisé par 2 donne 3, avec un reste de 1". Pourquoi ? Parce qu'il n'existe pas d'entier tel que la multiplication par 2 donne 7. Le plus proche est 3, donc \(2 \cdot 3 = 6\), mais j'ai un reste de 1

Exactement la même idée s'applique pour la division de polynômes. Étant donné un polynôme \(p(x)\) et un diviseur \(s(x)\), nous allons essayez pour trouver un quotient \(q(x)\) tel que

\[\displaystyle p(x) = s(x) \cdot q(x)\]

mais nous n'y arriverons pas toujours, de la même manière que pour " 7/2 ", nous n'avons pas pu trouver une division exacte. Ensuite, nous identifierons le reste \(r(x)\), qui est le polynôme qui rend compte de la quantité de \(s(x) \cdot q(x)\) "manquée" lorsqu'on vise p(x). Nous écrivons donc

\[\displaystyle p(x) = s(x) \cdot q(x) + r(x)\]

Idéalement, nous voulons que \(r(x)\) soit nulle, et si ce n'est pas le cas, nous voulons qu'elle soit la plus petite possible. L'algorithme d'Euclide nous montre comment trouver le plus petit \(r(x)\) possible et si tout se passe bien, il pourrait être nul, auquel cas on dit que le diviseur \(s(x)\) divise le polynôme \(p(x)\).

Quelles sont les étapes de la division d'un polynôme ?

• Étape 1: Identifiez le dividende p(x) et le diviseur s(x). Veillez à les simplifier autant que possible avant de poursuivre
• Étape 2: Si le degré de s(x) est supérieur au degré de degré de p(x) , stop, dans ce cas le quotient est zéro et le reste est p(x)
• Étape 3: Si vous ne vous êtes pas arrêté à l'étape 2, notez le premier terme du diviseur et le premier terme du dividende
• Étape 4: Trouvez la division entre les termes principaux du dividende et du diviseur (ceci est interprété comme le terme que vous devez multiplier le terme principal du diviseur pour obtenir le terme principal du dividende), et ceci sera le facteur actuel, qui sera ajouté au quotient actuel
• Étape 5 : Multiplier le facteur courant par le diviseur, et le résultat, le soustraire au dividende, créant ainsi un nouveau dividende courant
• Étape 6 : Répétez ce processus jusqu'à ce que le dividende actuel ait un degré inférieur à celui du diviseur. Ensuite, arrêtez, le diviseur actuel sera votre reste

Le fonctionnement de ce processus est garanti puisque le dividende actuel réduit son degré d'au moins un à chaque étape. Astucieux, hein ?

Quelle méthode utiliser, la division longue ou la division synthétique ?

La division synthétique est utilisée dans le cas particulier où le diviseur est de degré un. Par exemple, s(x) = x - 1, mais cela ne fonctionnerait pas pour s(x) = x^2 - 1, bien qu'il existe des versions de la méthode de la division synthétique algorithme de division synthétique pour les degrés supérieurs. La division synthétique est généralement restreinte aux diviseurs de degré 1 en raison de son association intime avec la division de degré 2 Substitution synthétique et le théorème du reste c'est logique.

La division longue sera utilisée dans la plupart des cas, lorsque la division synthétique n'est pas applicable. Notez que la division synthétique utilise une méthode de division longue, mais qu'elle est adaptée pour être super rapide, c'est pourquoi elle est la méthode préférée lorsque cela est possible.

Comment utiliser la division polynomiale pour résoudre des équations polynomiales ?

• Étape 1: Identifiez votre équation polynomiale et assurez-vous que chaque côté de l'équation est bien un polynôme valide
• Étape 2: Faites passer tous les termes d'un côté à l'autre en changeant les signes
• Étape 3: Regrouper tous les termes d'un côté et simplifier
• Étape 4: Vous avez maintenant une équation polynomiale dans laquelle un côté est un polynôme, et l'autre côté est 0, donc elle se résout en factorisant le polynôme correspondant
• Étape 5 : D'abord, vous essayez avec le théorème de la racine rationnelle pour tenter de trouver des racines simples
• Étape 6 : Regroupez les racines simples, créez les termes linéaires correspondants associés (ex : si x = 1 est une solution, formez le terme x - 1), multipliez-les et divisez le polynôme par celui-ci. De cette façon, vous obtiendrez un quotient d'ordre inférieur
• Étape 7 : Répétez les étapes avec le quotient d'ordre inférieur trouvé dans les étapes précédentes

Comme vous pouvez le constater, il n'y a pas de raccourcis ou de formules magiques pour trouver les racines des polynômes . Mais il existe une procédure systématique qui peut augmenter vos chances de trouver les racines le plus facilement possible.

Pourquoi s'intéresser à la division de polynômes ?

Précisément parce que la division polynomiale est votre clé pour trouver les racines des équations polynomiales qui sont l'un des thèmes centraux de l'algèbre.

Exemple : calcul de la division polynomiale

Calculez la division suivante : \(\frac{3x^3+3x+3}{3x+1}\)

Solution: Dans ce cas, à partir de la division prévue, nous avons que le dividende est \(\displaystyle p(x) = 3x^3+3x+3\), et le diviseur est \(\displaystyle s(x) = 3x+1\).

Dans ce cas, le degré du dividende est \(\displaystyle deg(p) = 3\), alors que le degré du diviseur est \(\displaystyle deg(s)) = 1\).

Étape 1: Le terme principal du dividende \(\displaystyle p(x) = 3x^3+3x+3\) est \(\displaystyle 3x^3\), tandis que le terme principal du diviseur \(\displaystyle s(x) = 3x+1\) est égal à \(\displaystyle 3x\).

Ainsi donc, le terme que nous devons multiplier \(3x\) pour obtenir le terme de tête du dividende est \(\displaystyle \frac{ 3x^3}{ 3x} = x^2\), nous ajoutons donc ce terme au quotient. De même, nous le multiplions par le diviseur pour obtenir \(\displaystyle x^2 \cdot \left(3x+1\right) = 3x^3+x^2\), que nous devons soustraire au dividende :

\[\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle 3x^3 & \displaystyle & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -3x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \end{array}\]

Étape 2: Maintenant, le terme principal du reste actuel \(\displaystyle -x^2+3x+3\) est \(\displaystyle x^2\), et nous savons que le terme principal du diviseur est \(\displaystyle 3x\).

Ainsi donc, le terme que nous devons multiplier \(3x\) pour arriver au terme de tête du de reste actuel est \(\displaystyle \frac{ -1x^2}{ 3x} = -\frac{1}{3}x\), donc nous ajoutons ce terme au quotient. De même, nous le multiplions par le diviseur pour obtenir \(\displaystyle -\frac{1}{3}x \cdot \left(3x+1\right) = -x^2-\frac{1}{3}x\), que nous devons soustraire au reste actuel :

\[\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{1}{3}x & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle 3x^3 & \displaystyle & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -3x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle +\frac{1}{3}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{3}x & \displaystyle +3\\[0.8em] \end{array}\]

Étape 3: Maintenant, le terme principal du reste actuel \(\displaystyle \frac{10}{3}x+3\) est \(\displaystyle \frac{10}{3}x\), et nous savons que le terme principal du diviseur est \(\displaystyle 3x\).

Ainsi donc, le terme que nous devons multiplier \(3x\) pour arriver au terme de tête du de reste actuel est \(\displaystyle \frac{ \frac{10}{3}x}{ 3x} = \frac{10}{9}\), donc nous ajoutons ce terme au quotient. De même, nous le multiplions par le diviseur pour obtenir \(\displaystyle \frac{10}{9} \cdot \left(3x+1\right) = \frac{10}{3}x+\frac{10}{9}\), que nous devons soustraire au reste actuel :

\[\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{1}{3}x & \displaystyle +\frac{10}{9}&\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle 3x^3 & \displaystyle & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -3x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle +\frac{1}{3}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{3}x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{3}x & \displaystyle -\frac{10}{9}\\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{17}{9}\\[0.8em] \end{array}\]

ce qui met fin au processus.

Conclusion : Par conséquent, nous concluons que pour le dividende \(\displaystyle p(x) = 3x^3+3x+3\) et le diviseur \(\displaystyle s(x) = 3x+1\) donnés, nous obtenons que le quotient est \(\displaystyle q(x) = x^2-\frac{1}{3}x+\frac{10}{9}\) et le reste \(\displaystyle r(x) = \frac{17}{9}\), et que..

\[\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = \frac{3x^3+3x+3}{3x+1} = x^2-\frac{1}{3}x+\frac{10}{9} + \frac{\frac{17}{9}}{3x+1}\]

Exemple : une autre division de polynômes

Calculez la division du dividende \(\frac{1}{3} x^4 - x^3 + 2x - \frac{5}{6}\) et du diviseur \(s(x) = 3x+1\)

Solution: Dans ce cas, on nous a fourni : \(\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}\), qui doit être divisé par le polynôme \(\displaystyle s(x) = 3x+1\).

Maintenant, le degré du dividende est \(\displaystyle deg(p) = 4\), et le degré du diviseur est \(\displaystyle deg(s)) = 1\).

Étape 1: Le terme principal du dividende \(\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}\) est \(\displaystyle \frac{1}{3}x^4\), tandis que le terme principal du diviseur \(\displaystyle s(x) = 3x+1\) est égal à \(\displaystyle 3x\).

Ainsi donc, le terme que nous devons multiplier \(3x\) pour obtenir le terme de tête du dividende est \(\displaystyle \frac{ \frac{1}{3}x^4}{ 3x} = \frac{1}{9}x^3\), nous ajoutons donc ce terme au quotient. De même, nous le multiplions par le diviseur pour obtenir \(\displaystyle \frac{1}{9}x^3 \cdot \left(3x+1\right) = \frac{1}{3}x^4+\frac{1}{9}x^3\), que nous devons soustraire au dividende :

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \end{array}\]

Étape 2: Dans ce cas, le terme principal du reste actuel \(\displaystyle -\frac{10}{9}x^3+2x-\frac{5}{6}\) est <, et nous savons que le terme principal du diviseur est \(\displaystyle 3x\).

Ainsi donc, le terme que nous devons multiplier \(3x\) pour arriver au terme de tête du de reste actuel est \(\displaystyle \frac{ -\frac{10}{9}x^3}{ 3x} = -\frac{10}{27}x^2\), donc nous ajoutons ce terme au quotient. De même, nous le multiplions par le diviseur pour obtenir \(\displaystyle -\frac{10}{27}x^2 \cdot \left(3x+1\right) = -\frac{10}{9}x^3-\frac{10}{27}x^2\), que nous devons soustraire au reste actuel :

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{10}{9}x^3 & \displaystyle +\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \end{array}\]

Étape 3: Dans ce cas, le terme principal du reste actuel \(\displaystyle \frac{10}{27}x^2+2x-\frac{5}{6}\) est <, et nous savons que le terme principal du diviseur est \(\displaystyle 3x\).

Ainsi donc, le terme que nous devons multiplier \(3x\) pour arriver au terme de tête du de reste actuel est \(\displaystyle \frac{ \frac{10}{27}x^2}{ 3x} = \frac{10}{81}x\), donc nous ajoutons ce terme au quotient. De même, nous le multiplions par le diviseur pour obtenir \(\displaystyle \frac{10}{81}x \cdot \left(3x+1\right) = \frac{10}{27}x^2+\frac{10}{81}x\), que nous devons soustraire au reste actuel :

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +\frac{10}{81}x & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{10}{9}x^3 & \displaystyle +\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle -\frac{10}{81}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{152}{81}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \end{array}\]

Étape 4: Dans ce cas, le terme principal du reste actuel \(\displaystyle \frac{152}{81}x-\frac{5}{6}\) est <, et nous savons que le terme principal du diviseur est \(\displaystyle 3x\).

Ainsi donc, le terme que nous devons multiplier \(3x\) pour arriver au terme de tête du de reste actuel est \(\displaystyle \frac{ \frac{152}{81}x}{ 3x} = \frac{152}{243}\), donc nous ajoutons ce terme au quotient. De même, nous le multiplions par le diviseur pour obtenir \(\displaystyle \frac{152}{243} \cdot \left(3x+1\right) = \frac{152}{81}x+\frac{152}{243}\), que nous devons soustraire au reste actuel :

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +\frac{10}{81}x & \displaystyle +\frac{152}{243}&\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{10}{9}x^3 & \displaystyle +\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle -\frac{10}{81}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{152}{81}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{152}{81}x & \displaystyle -\frac{152}{243}\\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{709}{486}\\[0.8em] \end{array}\]

qui conclut ce calcul, puisque le degré du reste actuel \(r(x) = -\frac{709}{486}\) est inférieur au degré du diviseur \(s(x) = 3x+1\).

Conclusion : Par conséquent, nous concluons que pour le dividende \(\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}\) et le diviseur \(\displaystyle s(x) = 3x+1\) donnés, nous obtenons que le quotient est \(\displaystyle q(x) = \frac{1}{9}x^3-\frac{10}{27}x^2+\frac{10}{81}x+\frac{152}{243}\) et le reste \(\displaystyle r(x) = -\frac{709}{486}\), et que..

\[\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = \frac{\frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}}{3x+1} = \frac{1}{9}x^3-\frac{10}{27}x^2+\frac{10}{81}x+\frac{152}{243} - \frac{\frac{709}{486}}{3x+1}\]

Exemple : plus de divisions polynomiales

Calculez la division de polynômes suivante : \(\frac{4x^4-2x^2+x-1}{x+1}\). Peut-on dire que x = -1 est une racine de \(4x^4-2x^2+x-1\)

Solution: On a le dividende et les diviseurs suivants : \(\displaystyle p(x) = 4x^4-2x^2+x-1\) et \(\displaystyle s(x) = x+1\).

On a que le degré du dividende est \(\displaystyle deg(p) = 4\), et le degré du diviseur est \(\displaystyle deg(s)) = 1\).

Étape 1: Le terme principal du dividende \(\displaystyle p(x) = 4x^4-2x^2+x-1\) est \(\displaystyle 4x^4\), tandis que le terme principal du diviseur \(\displaystyle s(x) = x+1\) est égal à \(\displaystyle x\).

Ainsi donc, le terme que nous devons multiplier \(x\) pour obtenir le terme de tête du dividende est \(\displaystyle \frac{ 4x^4}{ x} = 4x^3\), nous ajoutons donc ce terme au quotient. De même, nous le multiplions par le diviseur pour obtenir \(\displaystyle 4x^3 \cdot \left(x+1\right) = 4x^4+4x^3\), que nous devons soustraire au dividende :

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \end{array}\]

Étape 2: Dans ce cas, le terme principal du reste actuel \(\displaystyle -4x^3-2x^2+x-1\) est <, et nous savons que le terme principal du diviseur est \(\displaystyle x\).

Ainsi donc, le terme que nous devons multiplier \(x\) pour arriver au terme de tête du de reste actuel est \(\displaystyle \frac{ -4x^3}{ x} = -4x^2\), donc nous ajoutons ce terme au quotient. De même, nous le multiplions par le diviseur pour obtenir \(\displaystyle -4x^2 \cdot \left(x+1\right) = -4x^3-4x^2\), que nous devons soustraire au reste actuel :

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle -4x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle 4x^3 & \displaystyle +4x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \end{array}\]

Étape 3: Dans ce cas, le terme principal du reste actuel \(\displaystyle 2x^2+x-1\) est <, et nous savons que le terme principal du diviseur est \(\displaystyle x\).

Ainsi donc, le terme que nous devons multiplier \(x\) pour arriver au terme de tête du de reste actuel est \(\displaystyle \frac{ 2x^2}{ x} = 2x\), donc nous ajoutons ce terme au quotient. De même, nous le multiplions par le diviseur pour obtenir \(\displaystyle 2x \cdot \left(x+1\right) = 2x^2+2x\), que nous devons soustraire au reste actuel :

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle -4x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle &\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle 4x^3 & \displaystyle +4x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle -2x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x & \displaystyle -1\\[0.8em] \end{array}\]

Étape 4: Dans ce cas, le terme principal du reste actuel \(\displaystyle -x-1\) est <, et nous savons que le terme principal du diviseur est \(\displaystyle x\).

Ainsi donc, le terme que nous devons multiplier \(x\) pour arriver au terme de tête du de reste actuel est \(\displaystyle \frac{ -1x}{ x} = -1\), donc nous ajoutons ce terme au quotient. De même, nous le multiplions par le diviseur pour obtenir \(\displaystyle -1 \cdot \left(x+1\right) = -x-1\), que nous devons soustraire au reste actuel :

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle -4x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -1&\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle 4x^3 & \displaystyle +4x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle -2x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x & \displaystyle +1\\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 0\\[0.8em] \end{array}\]

et on arrête l'itération, puisque le degré du reste actuel \(r(x) = 0\) est inférieur au degré du diviseur \(s(x) = x+1\).

Conclusion : Par conséquent, nous concluons que pour le dividende \(\displaystyle p(x) = 4x^4-2x^2+x-1\) et le diviseur \(\displaystyle s(x) = x+1\) donnés, nous obtenons que le quotient est \(\displaystyle q(x) = 4x^3-4x^2+2x-1\) et le reste \(\displaystyle r(x) = 0\), ce qui signifie que le \(s(x)\) divise \(p(x)\) exactement, et nous obtenons..

\[\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = \frac{4x^4-2x^2+x-1}{x+1} = 4x^3-4x^2+2x-1\]

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