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Calculadora de polinomios

Instrucciones: Utilice esta calculadora de polinomios para calcular y simplificar cualquier operación de polinomios que proporcione, mostrando todos los pasos. Escriba la expresión polinomial que desea simplificar en el cuadro de formulario a continuación.

Calculadora de polinomios

Esta calculadora le permitirá realizar cálculos de polinomios y simplificaciones de una expresión polinomial que proporcione, como 3x^2 - 2/3 x + 1/4 + 5/4 - 3/4 x^2, etc.

También puede proporcionar expresiones polinómicas más complicadas como 2/3 x^2(x - 3/4) + 5/4, siempre que el resultado sea una expresión polinomial válida.

Una vez que se da un polinomio válido, puede hacer clic en "Calcular" y se le mostrarán los resultados del cálculo y la simplificación, mostrando todos los pasos del proceso.

Los cálculos se realizarán utilizando los métodos habituales criterios PEMDAS , por la prioridad y el orden de las operaciones .

¿cómo calcular polinomios?

A pesar del hecho de que los polinomios pueden dar miedo, son bastante fáciles de realizar cálculos, considerando su naturaleza lineal. Un polinomio general de grado \(n\) tiene la siguiente fórmula

\[f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + ... + a_n x^n \]

¿cuáles son los pasos para hacer un cálculo polinomial?

Paso 1: Identifique la expresión polinomial que necesita para calcular y simplificar
Paso 2: Verifique la consistencia para encontrar señales claras de que la función no es polinomial. Si ese es el caso, entonces detente.
Paso 3: Expanda y simplifique los términos dentro de la expresión polinomial siguiendo la regla PEMDAS
Paso 4: Ampliar y simplificar hasta que no se puedan realizar más simplificaciones

Observe que los polinomios tienen propiedades de cierre muy claras. Es decir, si sumas o restas polinomios, también obtienes un polinomio. Además, si multiplica polinomios, la salida también es un polinomio. Esto no es necesariamente cierto para la división de polinomios.

División de polinomios

La división es una operación sin la propiedad de cierre. Es decir, si divides dos polinomios, el resultado no tiene por qué ser necesariamente un polinomio. Podría ser un polinomio, pero no necesariamente tiene que serlo.

Por ejemplo, divides el polinomio \(f(x) = x^3 + 9x^2 + 27x +27\) por el polinomio \(g(x) = x + 3 \), entonces el resultado es otro polinomio:

\[\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \frac{x^3 + 9x^2 + 27x +27}{x + 3} = x^2 + 6x + 9 \]

Pero entonces, si divides el polinomio \(f(x) = x^3 + 9x^2 + 27x +28\) por el polinomio \(g(x) = x + 3 \), entonces el resultado NO es un polinomio.

¿por qué son importantes los polinomios?

Los polinomios son un objeto muy natural que aparece en las aplicaciones. Por ejemplo, las ecuaciones cuadráticas son polinomios de orden (grado) 2. Por lo tanto, es natural trabajar con polinomios de grado superior a 2.

Es cierto que funciones cuadráticas toman un papel mucho más central en las aplicaciones al Álgebra básica, pero eso no significa que los polinomios de mayor grado no tengan un lugar preponderante.

Ejemplo: cálculo de polinomios

Expanda y simplifique lo siguiente: \(f(x) = 3x^2 - \frac{2}{3} x + \frac{1}{4} + \frac{5}{4} - \frac{3}{4} x^2\)

Solución: Se nos proporciona la siguiente expresión: \(\displaystyle 3x^2 - \frac{2}{3} x + \frac{1}{4} + \frac{5}{4} - \frac{3}{4} x^2\).

Se obtiene el siguiente cálculo:

\( \displaystyle 3x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}+\frac{5}{4}-\frac{3}{4}x^2\)

Putting together the terms with \(x^2\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -\frac{2}{3}x+\left(3-\frac{3}{4}\right)x^2+\frac{1}{4}+\frac{5}{4}\)

Putting the fractions together and simplifying the terms that were grouped with \(x^2\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -\frac{2}{3}x+\frac{9}{4}x^2+\frac{1}{4}+\frac{5}{4}\)

Grouping and operating all the integer terms and fractions: \(\displaystyle \frac{ 1}{ 4}+\frac{ 5}{ 4}=\frac{ 1+5}{ 4}=\frac{ 6}{ 4}=\frac{ 2 \times 3}{ 2 \times 2}=\frac{ \cancel{ 2} \times 3}{ \cancel{ 2} \times 2}=\frac{ 3}{ 2}\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -\frac{2}{3}x+\frac{9}{4}x^2+\frac{3}{2}\)

Reorganizing/simplifying/expanding the expression

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{9}{4}x^2-\frac{2}{3}x+\frac{3}{2}\)

que concluye el proceso de simplificación.

Ejemplo: ejemplo de calculadora de polinomios

Calcula lo siguiente: \(f(x) = \frac{1}{3} x \left( \frac{5}{4}x - \frac{5}{6}\right)+x\)

Solución: Ahora tenemos la expresión polinomial: \(\displaystyle \frac{1}{3}x\left(\frac{5}{4}x-\frac{5}{6}\right)+x\).

Se obtiene la siguiente simplificación:

\( \displaystyle \frac{1}{3}x\left(\frac{5}{4}x-\frac{5}{6}\right)+x\)

Observe that \((\frac{1}{3}x) \cdot (\frac{5}{4}x-\frac{5}{6}) = \frac{1}{3}x\cdot\frac{5}{4}x-\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{3}x = \frac{5}{12}x^2-\frac{5}{18}x\), by using the distributive property on each term of the expression on the left, with respect to the terms on the right

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{5}{12}x^2-\frac{5}{18}x+x\)

Aggregating those terms with \(x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(- \frac{ 5}{ 18}+1\right)x+\frac{5}{12}x^2\)

Operating the terms that were grouped with \(x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{13}{18}x+\frac{5}{12}x^2\)

¡Y así es como conviertes un desastre caliente en un desastre semi-caliente! Se ha llegado al final de la simplificación.

Ejemplo: otro ejemplo de calculadora de polinomios

Expande y simplifica \( f(x) = \left(\frac{2}{3}x - \frac{6}{5} \right)+ \frac{2}{5}x + 3 \).

Solución: Ahora tenemos \(\displaystyle \left(\frac{2}{3}x-\frac{6}{5}\right)+\frac{2}{5}x+3\).

Queremos simplificar esto:

\( \displaystyle \frac{2}{3}x-\frac{6}{5}+\frac{2}{5}x+3\)

Grouping the terms with \(x\)

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \left(\frac{2}{3}+\frac{2}{5}\right)x+3-\frac{6}{5}\)

Grouping together numerical values and fractions and simplifying the terms that were grouped with \(x\)

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{16}{15}x+3-\frac{6}{5}\)

Grouping and operating all the integer terms and fractions: \(\displaystyle 3-\frac{ 6}{ 5}=3 \times \frac{ 5}{ 5}-\frac{ 6}{ 5}=\frac{ 3 \times 5-6}{ 5}=\frac{ 15-6}{ 5}=\frac{ 9}{ 5}\)

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{16}{15}x+\frac{9}{5}\)

que finaliza el cálculo.

Más calculadoras de álgebra

Los polinomios están presentes en muchas aplicaciones y son una de las funciones básicas más importantes en álgebra. Uno de los casos particulares de polinomios es el caso de funciones cuadráticas , que son uno de los polinomios más simples que jamás encontraremos.

Puedes hacer muchas cosas con ellos: puedes graficar polinomios , encontrar sus raíces, buscar simetrías y todo eso, pero la interpretación más fácil de todo lo que sucede con las ecuaciones cuadráticas.