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Calculadora de gradiente

Instrucciones: Utilice esta calculadora de gradientes para calcular el vector de derivadas parciales de una función multivariante que proporcione, mostrando todos los pasos. Escriba la función multivariable en el cuadro de formulario a continuación.

La calculadora de gradiente

Esta calculadora de gradiente con pasos lo ayudará a encontrar el vector de gradiente de una función multivariante determinada que proporcione. Esta función debe ser una función diferenciable válida con 2 o más variables.

La función que proporcione debe venir con una definición completa de su nombre de variable y función, por ejemplo, f(x, y) = x^2 + y^2, o f(x,y,z) = xy+z*sin (xy), etc

Una vez que se proporciona una función multivariable válida, todo lo que queda por hacer es hacer clic en el botón "Calcular" para obtener todos los pasos que se muestran.

Los gradientes representan la extensión natural de las derivadas para la situación multivariable, en la que la tasa de cambio está mejor definida por un vector que por un número.

¿qué es el gradiente?

En términos simples, el gradiente es un vector que contiene todas las derivadas parciales de primer orden de una función multivariable $f$. Entonces, para una función de dos variables $f(x, y)$, su gradiente sería un vector bidimensional $\nabla f(x, y) = \displaystyle \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$.

De manera similar, para una función de tres variables $f(x, y, z$, su gradiente sería un vector tridimensional $\nabla f(x, y, z) = \displaystyle \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$, y así sucesivamente.

Pasos para calcular el gradiente

Paso 1: Identifique la función con la que desea trabajar e identifique la cantidad de variables involucradas
Paso 2: Encuentre el primer orden Derivada parcial con respecto a cada una de las variables
Paso 3: Construya el gradiente como el vector que contiene todas las derivadas parciales de primer orden encontradas en el Paso 2

Opcionalmente, puede simplificar, si es posible, después de completar el Paso 3. Luego, con el gradiente, tiene una versión de cuál es la derivada para una función univariante, en este caso para una función multivariante.

Aplicaciones del gradiente

Al igual que en el caso de las funciones univariadas al buscar puntos críticos necesitamos encontrar los puntos donde la derivada es cero, para las funciones multivariadas necesitamos buscar los puntos en los que el gradiente es igual a cero para encontrar los puntos críticos.

Además, el equivalente a las pruebas de la segunda derivada viene en la forma de la regla de hessian para funciones multivariadas.

Consejos y trucos

Recuerda que el Degradado se define para funciones multivariantes, con dos o más variables. Además, tenga en cuenta que el gradiente es un vector, donde cada uno de los componentes es una función. Más precisamente, cada uno de sus componentes es un Derivada parcial de primer orden.

Como una forma de comprobar tu trabajo, no olvides que el gradiente es un vector con dimensión igual al número de variables independientes definidas en la función.

Ejemplo: calculadora de gradiente

Encuentre el gradiente asociado a la función: $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$

Solución: Consideramos la siguiente función multivariada: $\displaystyle f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$, entonces necesitamos calcular su gradiente.

Diferenciar con respecto a $x$

$ \displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+y^2+z^2\right)$

By linearity, we know $\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2+y^2+z^2 \right) = \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(z^2\right)$, so plugging that in:

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(z^2\right)$

Since the derivative of a constant with respect to $x$ is 0, we get that:

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)$

We can use the Power Rule for polynomial terms: $\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2 \right) = 2x$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle 2x$

Diferenciar con respecto a $y$

$ \displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2+y^2+z^2\right)$

By linearity, we know $\frac{\partial }{\partial y}\left( x^2+y^2+z^2 \right) = \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(z^2\right)$, so plugging that in:

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(z^2\right)$

Since the derivative of a constant with respect to $y$ is 0, we find that:

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)$

We use the Power Rule for polynomial terms: $\frac{\partial }{\partial y}\left( y^2 \right) = 2y$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle 2y$

Diferenciar con respecto a $z$

$ \displaystyle \frac{\partial }{\partial z}\left(x^2+y^2+z^2\right)$

By linearity, we know $\frac{\partial }{\partial z}\left( x^2+y^2+z^2 \right) = \frac{\partial }{\partial z}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(z^2\right)$, so plugging that in:

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(z^2\right)$

The derivative of a constant with respect to $z$ is 0, so then:

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}\left(z^2\right)$

We use the Power Rule for polynomial terms: $\frac{\partial }{\partial z}\left( z^2 \right) = 2z$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle 2z$

Conclusión: Por lo tanto, podemos concluir que el gradiente de la función dada $\displaystyle f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 $ es igual a:

\[ \nabla f = \left(2x,2y,2z\right)\]

Ejemplo de cálculo de gradiente

Para la siguiente función: $f(x, y) = xy$, encuentre su pendiente.

Solución: Para este ejemplo tenemos una función de dos variables x e y: $\displaystyle f(x,y)=xy$.

Primero, derivando con respecto a x

$ \displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)$

Como es una constante multiplicada por $x$, obtenemos directamente: $\frac{\partial }{\partial x}\left( xy \right) = y$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle y$

Ahora, diferenciar con respecto a y

$ \displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)$

Como es una constante multiplicada por $y$, obtenemos directamente: $\frac{\partial }{\partial y}\left( xy \right) = x$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle x$

Conclusión: Obtenemos directamente que el gradiente de la función $\displaystyle f(x,y)=xy $ es:

\[ \nabla f = \left(y, x\right)\]

Más ejemplos de degradados

Calcular el gradiente correspondiente de $ f(x, y) = x^2 - y^2 - xy $.

Solución: Finalmente, la siguiente función necesita ser analizada en este ejemplo: $\displaystyle f(x,y)=x^2-y^2-xy$. Dado que es una función multivariada, tiene sentido calcular su gradiente.

Paso 2: Encuentra la derivada con respecto a $x$

$ \displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2-xy-y^2\right)$

Por linealidad, conocemos $\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2-xy-y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)-\frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)$, así que conectando eso:

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)-\frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)$

La derivada de una constante con respecto a $x$ es 0, entonces:

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)-\frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)$

Como es una constante multiplicada por $x$, obtenemos directamente: $\frac{\partial }{\partial x}\left( xy \right) = y$ y podemos usar la regla de la potencia para términos polinómicos: $\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2 \right) = 2x$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle 2x-y$

Paso 2: Encuentra la derivada con respecto a $y$

$ \displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2-xy-y^2\right)$

Por linealidad, conocemos $\frac{\partial }{\partial y}\left( x^2-xy-y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)$, así que conectando eso:

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)$

Usamos la regla de la potencia para términos polinomiales: $\frac{\partial }{\partial y}\left( y^2 \right) = 2y$ y como es una constante multiplicada por $y$, obtenemos directamente: $\frac{\partial }{\partial y}\left( xy \right) = x$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)-x-2y$

que luego conduce a

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle 0-x-2y$

Al reorganizar/simplificar/ampliar los términos que son susceptibles de

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle -x-2y$

Conclusión: Por lo tanto, podemos concluir que el gradiente de la función dada $\displaystyle f(x,y)=x^2-y^2-xy $ es igual a:

\[ \nabla f = \left(2x-y,-x-2y\right)\]

Más calculadoras de derivadas

Usando un calculadora de derivadas definitivamente puede hacer su vida más fácil, ya que le permitirá realizar un seguimiento de todos los Reglas Derivadas .

La mayoría de reglas de diferenciación utilizados para funciones univariadas tienen su equivalente para funciones multivariadas. De esta manera, el Cadena De Reglas , Regla Del Producto y Regla Del Cociente también funcionará para la función multivariante, teniendo en cuenta las dimensiones correctas.