La calculadora de gradiente
Esta calculadora de gradiente con pasos lo ayudará a encontrar el vector de gradiente de una función multivariante determinada que proporcione. Esta función debe ser una función diferenciable válida con 2 o más variables.
La función que proporcione debe venir con una definición completa de su nombre de variable y función, por ejemplo, f(x, y) = x^2 + y^2, o f(x,y,z) = xy+z*sin (xy), etc
Una vez que se proporciona una función multivariable válida, todo lo que queda por hacer es hacer clic en el botón "Calcular" para obtener todos los pasos que se muestran.
Los gradientes representan la extensión natural de las derivadas para la situación multivariable, en la que la tasa de cambio está mejor definida por un vector que por un número.
¿qué es el gradiente?
En términos simples, el gradiente es un vector que contiene todas las derivadas parciales de primer orden de una función multivariable f. Entonces, para una función de dos variables f(x,y), su gradiente sería un vector bidimensional ∇f(x,y)=(∂x∂f,∂y∂f).
De manera similar, para una función de tres variables f(x,y,z, su gradiente sería un vector tridimensional ∇f(x,y,z)=(∂x∂f,∂y∂f,∂z∂f), y así sucesivamente.
Pasos para calcular el gradiente
-
Paso 1:
Identifique la función con la que desea trabajar e identifique la cantidad de variables involucradas
-
Paso 2:
Encuentre el primer orden
Derivada parcial
con respecto a cada una de las variables
-
Paso 3:
Construya el gradiente como el vector que contiene todas las derivadas parciales de primer orden encontradas en el Paso 2
Opcionalmente, puede simplificar, si es posible, después de completar el Paso 3. Luego, con el gradiente, tiene una versión de cuál es la derivada para una función univariante, en este caso para una función multivariante.
Aplicaciones del gradiente
Al igual que en el caso de las funciones univariadas al buscar puntos críticos necesitamos encontrar los puntos donde la derivada es cero, para las funciones multivariadas necesitamos buscar los puntos en los que el gradiente es igual a cero para encontrar los puntos críticos.
Además, el equivalente a las pruebas de la segunda derivada viene en la forma de la regla de hessian para funciones multivariadas.
Consejos y trucos
Recuerda que el
Degradado
se define para funciones multivariantes, con dos o más variables. Además, tenga en cuenta que el gradiente es un vector, donde cada uno de los componentes es una función. Más precisamente, cada uno de sus componentes es un
Derivada parcial
de primer orden.
Como una forma de comprobar tu trabajo, no olvides que el gradiente es un vector con dimensión igual al número de variables independientes definidas en la función.
Ejemplo: calculadora de gradiente
Encuentre el gradiente asociado a la función: f(x,y,z)=x2+y2+z2
Solución:
Consideramos la siguiente función multivariada: f(x,y,z)=x2+y2+z2, entonces necesitamos calcular su gradiente.
Diferenciar con respecto a x
∂x∂(x2+y2+z2)
By linearity, we know
∂x∂(x2+y2+z2)=∂x∂(x2)+∂x∂(y2)+∂x∂(z2), so plugging that in:
∂x∂(x2)+∂x∂(y2)+∂x∂(z2)
Since the derivative of a constant with respect to
x is 0, we get that:
∂x∂(x2)
We can use the Power Rule for polynomial terms:
∂x∂(x2)=2x
Diferenciar con respecto a y
∂y∂(x2+y2+z2)
By linearity, we know
∂y∂(x2+y2+z2)=∂y∂(x2)+∂y∂(y2)+∂y∂(z2), so plugging that in:
∂y∂(x2)+∂y∂(y2)+∂y∂(z2)
Since the derivative of a constant with respect to
y is 0, we find that:
∂y∂(y2)
We use the Power Rule for polynomial terms:
∂y∂(y2)=2y
Diferenciar con respecto a z
∂z∂(x2+y2+z2)
By linearity, we know
∂z∂(x2+y2+z2)=∂z∂(x2)+∂z∂(y2)+∂z∂(z2), so plugging that in:
∂z∂(x2)+∂z∂(y2)+∂z∂(z2)
The derivative of a constant with respect to
z is 0, so then:
∂z∂(z2)
We use the Power Rule for polynomial terms:
∂z∂(z2)=2z
Conclusión:
Por lo tanto, podemos concluir que el gradiente de la función dada f(x,y,z)=x2+y2+z2 es igual a:
∇f=(2x,2y,2z)
Ejemplo de cálculo de gradiente
Para la siguiente función: f(x,y)=xy, encuentre su pendiente.
Solución:
Para este ejemplo tenemos una función de dos variables x e y: f(x,y)=xy.
Primero, derivando con respecto a x
∂x∂(xy)
Como es una constante multiplicada por
x, obtenemos directamente:
∂x∂(xy)=y
Ahora, diferenciar con respecto a y
∂y∂(xy)
Como es una constante multiplicada por
y, obtenemos directamente:
∂y∂(xy)=x
Conclusión:
Obtenemos directamente que el gradiente de la función f(x,y)=xy es:
∇f=(y,x)
Más ejemplos de degradados
Calcular el gradiente correspondiente de f(x,y)=x2−y2−xy.
Solución:
Finalmente, la siguiente función necesita ser analizada en este ejemplo: f(x,y)=x2−y2−xy. Dado que es una función multivariada, tiene sentido calcular su gradiente.
Paso 2: Encuentra la derivada con respecto a x
∂x∂(x2−xy−y2)
Por linealidad, conocemos
∂x∂(x2−xy−y2)=∂x∂(x2)−∂x∂(xy)−∂x∂(y2), así que conectando eso:
∂x∂(x2)−∂x∂(xy)−∂x∂(y2)
La derivada de una constante con respecto a
x es 0, entonces:
∂x∂(x2)−∂x∂(xy)
Como es una constante multiplicada por
x, obtenemos directamente:
∂x∂(xy)=y y podemos usar la regla de la potencia para términos polinómicos:
∂x∂(x2)=2x
2x−y
Paso 2: Encuentra la derivada con respecto a y
∂y∂(x2−xy−y2)
Por linealidad, conocemos
∂y∂(x2−xy−y2)=∂y∂(x2)−∂y∂(xy)−∂y∂(y2), así que conectando eso:
∂y∂(x2)−∂y∂(xy)−∂y∂(y2)
Usamos la regla de la potencia para términos polinomiales:
∂y∂(y2)=2y y como es una constante multiplicada por
y, obtenemos directamente:
∂y∂(xy)=x
∂y∂(x2)−x−2y
0−x−2y
Al reorganizar/simplificar/ampliar los términos que son susceptibles de
−x−2y
Conclusión:
Por lo tanto, podemos concluir que el gradiente de la función dada f(x,y)=x2−y2−xy es igual a:
∇f=(2x−y,−x−2y)
Más calculadoras de derivadas
Usando un
calculadora de derivadas
definitivamente puede hacer su vida más fácil, ya que le permitirá realizar un seguimiento de todos los
Reglas Derivadas
.
La mayoría de
reglas de diferenciación
utilizados para funciones univariadas tienen su equivalente para funciones multivariadas. De esta manera, el
Cadena De Reglas
,
Regla Del Producto
y
Regla Del Cociente
también funcionará para la función multivariante, teniendo en cuenta las dimensiones correctas.