Solvers Cálculo

Calculadora de derivadas parciales

Instrucciones: Usa esta calculadora de derivadas parciales para encontrar la derivada de una función de más de una variable que proporciones con respecto a una variable específica, mostrando todos los pasos del proceso. Escriba la función para la que desea calcular la derivada en el cuadro a continuación.

Acerca de la derivada parcial

Esta calculadora le permitirá calcular la derivada parcial de cualquier función diferenciable válida que proporcione, con respecto a una variable dada. La función que proporcione debe venir con una definición de función, como f(x, y) = x^3 + y^2. Si escribe algo como xy+x^2, sin la definición completa, se supondrá que se proporciona una función de dos variables x e y. Una vez que proporcione una función diferenciable válida y una variable válida, el siguiente paso es hacer clic en el botón "Calcular" para que se muestren todos los pasos del proceso, con todos los reglas derivadas utilizadas , declarado explícitamente. Derivados , y su extensión natural a las derivadas parciales de múltiples variables se encuentran entre los temas de estudio más importantes en Matemáticas, punto. Esto se debe a que se ocupan de una tasa de cambio y flujo de muchos modelos que aparecen en las aplicaciones con frecuencia.

¿qué es una derivada parcial?

En términos sencillos, una derivada parcial consiste en realizar lo mismo que una diferenciación regular con respecto a una variable, suponiendo que el resto de variables son constantes. Si tuviéramos que definir formalmente una derivada parcial, hagámoslo más fácil y hagámoslo para una función de dos variables,

x

y

. La derivada parcial con respecto a

x

en el punto

(x_0, y_0)

\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h}

Entonces, como podemos ver, es esencialmente lo mismo que la definición de la derivada regular, solo que hay otra variable, pero permanece constante en el proceso de cálculo.

De manera similar, la derivada parcial con respecto a $y$ en el punto $(x_0, y_0)$ es

\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + h) - f(x_0, y_0)}{h}

El vector de todas las derivadas parciales se llama gradiente. Si realmente necesita obtener todas las derivadas parciales, puede usar esto calculadora de gradiente .

Pasos para calcular derivadas parciales

Paso 1: Identifique la función de la que desea calcular la derivada parcial. Asegúrate de simplificarlo primero
Paso 2: Observe que no todas las funciones son diferenciables, por lo que debe asegurarse de que la función involucrada sea realmente diferenciable
Paso 3: Use todas las reglas de derivadas apropiadas para la función y diferencie la función como lo haría normalmente con respecto a la variable diferenciable, y considere cualquier otra variable como constante

De esta forma, cuando hacemos la derivada parcial con respecto a x para algo como 'x^2+y^2', en el proceso de derivación parcial con respecto a x, la variable y se trata como una constante. Entonces obtendríamos

\frac{\partial (x^2+y^2)}{\partial x} = \frac{\partial (x^2)}{\partial x} + \frac{\partial (y^2)}{\partial x} = 2x

y en este caso $\frac{\partial (y^2)}{\partial x} = 0$ porque se supone que y es constante con respecto a x.

¿por qué usar una calculadora de derivadas parciales?

Calcular derivadas parciales puede ser un ejercicio relativamente sencillo, pero no significa que sea necesariamente fácil. Es importante ser muy sistemático a la hora de aplicar los correspondientes Reglas Derivadas .

El uso de una calculadora de derivadas parciales con pasos puede ayudarlo a al menos verificar su resultado y poder ver exactamente cuáles son los pasos correctos y qué reglas de derivadas deben usarse.

Particularmente en problemas complejos, con expresiones algebraicamente complicadas, una calculadora puede ser muy útil.

¿cuáles son las reglas de derivadas para derivadas parciales?

Son exactamente los mismos que los de las derivadas regulares. Para derivadas parciales tenemos linealidad, la Regla Del Producto el Cadena De Reglas y el Regla Del Cociente . Por lo general, terminará usando una combinación de todas esas reglas, para los ejemplos de derivados más complejos.

¿qué es la diferenciación implícita?

Hay una situación en la que hay más de una variable involucrada en la que no asumimos, por ejemplo, que y cambia con x, como lo hacemos en las derivadas parciales. En algunos casos, cuando existe una ecuación que relaciona las variables, suponemos que existe una relación implícita entre y y x, y escribimos y = y(x).

Este es el contexto de diferenciación implícita , que es una especie de híbrido entre la diferenciación parcial y la diferenciación regular.

Y realmente hay una cosa que no se puede exagerar: las derivadas parciales son realmente una de las principales herramientas utilizadas en ingeniería, física y economía.

Ejemplo: cálculo de derivadas parciales

Calcular la derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial y}$ para: $f(x,y) = \sin(xy)$

Solución:

con lo que se concluye el cálculo.

Ejemplo: diferenciación parcial

Calcular la derivada parcial con respecto a $x$ de: $f(x, y) = x^2 + y^2$

Solución: La función que se proporciona es: $\displaystyle f(x,y)=x^2+y^2$ , para lo cual necesitamos calcular su derivada parcial con respecto a la variable $x$ .

La función no necesita más simplificación, por lo que podemos proceder directamente a calcular su derivada parcial:

\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+y^2\right)

By linearity, we know

\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2+y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)

, so plugging that in:

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)

The derivative of a constant with respect to

x

is 0, so then:

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)

Using the Power Rule for polynomial terms:

\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2 \right) = 2x

\displaystyle = \,\,

\displaystyle 2x

Ejemplo: otro ejemplo de derivada parcial

Considere la función $f(x, y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$ , encuentre sus derivadas parciales $\frac{\partial f}{\partial x}$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Solución: En este caso, la función es: $\displaystyle f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$ , para lo cual necesitamos calcular sus derivadas parciales.

La función ya venía simplificada, por lo que podemos proceder directamente:

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{xy}{x^2+y^2}\right)

Directly applying Quotient Rule:

\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{xy}{x^2+y^2} \right) = \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}

The linearity property indicates that

\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2+y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)

, so plugging that in:

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}

But we know that the derivative of a constant with respect to

x

is equal to 0, so then we get that:

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}

Applying the Power Rule for polynomial terms:

\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2 \right) = 2x

and directly we get:

\frac{\partial }{\partial x}\left( xy \right) = y

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot y-xy\left(2x\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}

and consequently

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{y\left(x^2+y^2\right)-xy\cdot 2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}

We can put the integers together and then we can group the terms with

x

in the term

\left(-1\right)xy\cdot 2x

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{y\left(x^2+y^2\right)+2\cdot \left(-1\right)x^2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}

Simplifying:

\displaystyle 2\times(-1) = -2

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{y\left(x^2+y^2\right)-2x^2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}

Observe the following:

y \cdot (x^2+y^2) = yx^2+yy^2 = x^2y+y^3

, by using the distributive property on each term of the expression on the left, with respect to the terms on the right

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{x^2y+y^3-2x^2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}

Hence, we find

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{-\left(x+y\right)\left(x-y\right)y}{\left(x^2+y^2\right)^2}

Ahora, por otro lado:

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{xy}{x^2+y^2}\right)

Using the Quotient Rule:

\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{xy}{x^2+y^2} \right) = \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}

By linearity, we know

\frac{\partial }{\partial y}\left( x^2+y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)

, so plugging that in:

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}

Since the derivative of a constant with respect to

y

is 0, we find that:

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}

Using the Power Rule for polynomial terms:

\frac{\partial }{\partial y}\left( y^2 \right) = 2y

and directly we get:

\frac{\partial }{\partial y}\left( xy \right) = x

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot x-xy\left(2y\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}

and then we find

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{x\left(x^2+y^2\right)-xy\cdot 2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}

Putting together the numerical values and grouping the terms with

y

in the term

\left(-1\right)xy\cdot 2y

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{x\left(x^2+y^2\right)+2\cdot \left(-1\right)y^2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}

Reducing integers that can be multiplied:

\displaystyle 2\times(-1) = -2

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{x\left(x^2+y^2\right)-2y^2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}

We find that

(x) \cdot (x^2+y^2) = xx^2+xy^2 = x^3+xy^2

, due to the fact that we can use the distributive property on each term of the expression on the left, with respect to the terms on the right

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{x^3+xy^2-2y^2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}

Reorganizing/simplifying/expanding the expression

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)x}{\left(x^2+y^2\right)^2}

Más calculadoras de cálculo

El concepto de Derivada está en el centro del Cálculo, y el uso de un calculadora de derivadas puede ser de gran ayuda en muchas aplicaciones diferentes de Cálculo, incluida la optimización, uno de los "grandes".

La idea de derivada se extiende naturalmente al caso de funciones con muchas variables, donde una Calculadora de derivadas parciales hará lo mismo que una derivada regular, pero ahora se supone que solo una variable varía, mientras que las otras variables se toman como fijas.

Muchas veces, sabes que $y$ depende de $x$ , pero no explícitamente sino implícitamente, por medio de una ecuación de enlace, en cuyo caso puedes usar diferenciación implícita usar las reglas de las derivadas para obtener una expresión para la cual luego pueda resolver la derivada $\frac{d f}{d x}$ .