Calculadora de ecuaciones polinómicas

Este salculadora de ecuaciones polinómicas le ayudará a resolver las ecuaciones polinomiales que usted proporcione, como por ejemplo '3x^2 - 2/3 x + 1/4 = 0', que es una solución sencilla Ecuación cuadrática , o ecuaciones polinomiales de orden superior como 'x^5 - x^2 + 1 = 0', etc.

Si no agrega un signo de igualdad "=" a la expresión proporcionada, la calculadora le agregará automáticamente un " = 0" para convertirla en una ecuación.

Una vez que se haya proporcionado una ecuación polinómica válida, puede hacer clic en el botón "Calcular" y luego se le presentará el cálculo paso a paso de las soluciones de las ecuaciones.

Una ecuación polinomial es un tipo de ecuación de álgebra, y uno de los tipos más simples, excluidos de Ecuaciones lineales . El hecho de que las ecuaciones polinómicas sean simples no significa que sean FÁCILES de resolver y, de hecho, a veces tardan bastante en resolverse, si es que se pueden resolver.

¿cómo puedo resolver un polinomio?

Aunque los polinomios son expresiones simples, resolver ecuaciones polinómicas puede ser realmente complicado, especialmente para grado polinómico mayor que 2.

Para las ecuaciones cuadráticas, las soluciones simplemente se encuentran usando una fórmula cuadrática. Claro, puedes pensar que es difícil memorizar las fórmulas, pero al menos hay una fórmula.

Para las ecuaciones cúbicas (grado 3) y cuárticas (grado 4), se pueden usar algunas ecuaciones muy inteligentes, pero de ninguna manera son fáciles de usar o recordar. Para poliecuaciones de grado 5 y superiores no existe una fórmula.

Eso no significa que no podamos encontrar el raíces polinómicas para esas ecuaciones, pero no tenemos una fórmula para ello, y no existe una fórmula (si tiene curiosidad al respecto, tales conclusiones fueron uno de los principales avances de las matemáticas modernas a finales del siglo XVIII).

Pasos para encontrar soluciones a una ecuación polinómica

Hay varios pasos sistemáticos que puedes seguir para tener las mejores posibilidades de encontrar las soluciones de una ecuación polinómica, pero ten en cuenta que puedes terminar sin encontrar ninguna solución, especialmente para ecuaciones de grado superior.

• Paso 1: Tenga en cuenta que, en teoría, existen \(n\) soluciones para una ecuación polinómica de grado \(n\). Pero esas soluciones pueden ser reales o complejas, y más allá del grado 4, no existe una fórmula para ellas
• Paso 2: Intenta factorizar los términos del polinomio. Pon todos los términos en un lado de la ecuación y busca una manera de factorizar la expresión polinómica . Al factorizar se puede intentar encontrar soluciones a cada factor, reduciendo el problema a grados menores
• Paso 3: Intente encontrar soluciones racionales/enteras primero usando el Teorema del cero racional . Esto se logra encontrando factores enteros del término constante, dividiéndolos por factores del término principal (el que va con mayor potencia)
• Etapa 4: Utilizando estos candidatos racionales, los prueba uno por uno (podría haber muchos), con la esperanza de encontrar soluciones. Si por casualidad encontraste \(n\) soluciones a una ecuación de grado \(n\), entonces terminas
• Paso 5: Si encontraste una o más raíces racionales, pero no todas, construyes una multiplicación de los términos \(x - \alpha\), donde \(\alpha\) es una raíz racional encontrada. Multiplica esos términos, forma un polinomio y luego DIVIDE el polinomio de la ecuación original por este producto que consta de los términos \(x - \alpha\). Para encontrar las raíces restantes, necesitas encontrar las raíces del resultado de la división (que tendrá un grado menor que el polinomio original).

Suena difícil y, sinceramente, lo es. Es un proceso engorroso, que requiere muchos cálculos, muy probablemente. Por eso debes utilizar un calculadora de ecuaciones eso te mostrará los pasos, porque ahorrarás mucho tiempo y minimizarás tus posibilidades de cometer un error en el cálculo.

¿cómo se encuentra la ecuación de un polinomio?

Resolviendo ecuaciones polinómicas Definitivamente no es una tarea trivial. No podrás hacerlo en general, ya que no existe una ecuación general para resolver TODOS los polinomios. Sabemos, en virtud del Teorema Fundamental del Álgebra, que existen \(n\) soluciones para una ecuación polinómica de grado \(n\).

Como su nombre lo indica, este resultado es un logro importante porque nos dice exactamente CUÁNTAS soluciones estamos buscando. Por ejemplo, si tenemos la ecuación \(x^4 = x^6\), lo que tenemos es una ecuación de grado 6 (porque es la potencia polinómica más alta que se puede encontrar allí). Por lo tanto, según el Teorema Fundamental del Álgebra, SABEMOS que hay 6 soluciones.

Ahora bien, puede resultar complicado porque no todas las soluciones serán reales, algunas podrían ser complejas y otras podrían repetirse. Si hubiéramos dicho un polinomio de grado \(n\), entonces sabemos que hay \(n\) soluciones, y otra cosa notable establecida por este teorema es que la parte del polinomio se puede escribir como

\[\displaystyle p(x) = (x - \alpha_1) (x - \alpha_2) (x - \alpha_3) \cdot\cdot\cdot (x - \alpha_n) \]

donde \(\alpha_1\), ..., \(\alpha_n\) son las soluciones. Pero puede suceder que no todas las soluciones sean diferentes. De hecho, podríamos tener algo como

\[ p = (x - \alpha)^n\]

indicando que las n soluciones son iguales.

¿cuáles son las reglas para los polinomios?

• Paso 1: Los polinomios son combinaciones lineales de expresiones de la forma \(x^k\)
• Paso 2: Los polinomios que nos interesan son aquellos con términos \(x^k\), sólo con números enteros \(k\)
• Paso 3: Los polinomios son un tipo simple de funciones que se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir.

Observa eso Operaciones con polinomios no están cerrados. Observa que al sumar, restar y multiplicar polinomios, el resultado siempre será un polinomio. Pero al dividir polinomios, el resultado no necesariamente será un polinomio, aunque la división y el resto sí serán polinomios. Comprobar el algoritmo de división larga polinomial .

¿qué es una ecuación polinómica y cómo la resolvemos?

Una ecuación polinómica, en pocas palabras, es una ecuación matemática en la que los términos en el lado izquierdo y derecho de la ecuación son polinomios. Por lo general, estas ecuaciones se dan con una constante en el lado derecho, pero no siempre es así.

Por ejemplo, \(x^2 + 3x = 2\) es una ecuación polinómica, porque los términos en ambos lados de la ecuación son polinomios (la constante '2' es un polinomio de orden 0).

Pero \(x^2 + \sin(x) = 2x\) NO es una ecuación polinómica, porque los términos del lado izquierdo no son un polinomio (debido a la presencia del término \(\sin(x)\).

Ejemplo: calcular soluciones a ecuaciones polinómicas

Calcula la solución a: \(x^2 = x^4\)

Solución:

Necesitamos resolver la siguiente ecuación polinómica dada:

\[x^2=x^4\]

La ecuación que necesitamos resolver tiene una sola variable, que es \(x\), por lo que el objetivo es resolverla.

Observe que el grado del polinomio dado es \(\displaystyle deg(p) = 4\), su coeficiente principal es \(\displaystyle a_{4} = -1\) y su coeficiente constante es \(\displaystyle a_0 = 0\).

Dado que el primer término con un coeficiente distinto de cero en \(p(x)\) es \(x^2\), podemos factorizar este término para obtener:

\[\displaystyle p(x) = -x^4+x^2 = x^2 \left(\displaystyle -x^2+1 \right) \]

pero el término entre paréntesis tiene grado 2 y necesitamos ver si se puede factorizar aún más.

Necesitamos resolver la siguiente ecuación cuadrática \(\displaystyle -x^2+1=0\).

Para una ecuación cuadrática de la forma \(a x^2 + bx + c = 0\), las raíces se calculan usando la siguiente fórmula:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

En este caso, tenemos que la ecuación que necesitamos resolver es \(\displaystyle -x^2+1 = 0\), lo que implica que los coeficientes correspondientes son:

\[a = -1\] \[b = 0\] \[c = 1\]

Primero, calcularemos el discriminante para evaluar la naturaleza de las raíces. La discriminación se calcula como:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( 0\right)^2 - 4 \cdot \left(-1\right)\cdot \left(1\right) = 4\]

Como en este caso obtenemos que el discriminante es \(\Delta = \displaystyle 4 > 0\), que es positivo, sabemos que la ecuación tiene dos raíces reales diferentes.

Ahora, reemplazando estos valores en la fórmula de las raíces obtenemos:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{\left(0\right)^2-4\left(-1\right)\left(1\right)}}{2\cdot -1} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{4}}{-2}\]

entonces, encontramos que:

\[ {x}_1 = \frac{0}{-2}-\frac{1}{-2}\sqrt{4}=\frac{0}{-2}-\left(-1\right)=1 \] \[{x}_2 = \frac{0}{-2}+\frac{1}{-2}\sqrt{4}=\frac{0}{-2}-1=-1\]

En este caso, la ecuación cuadrática \( \displaystyle -x^2+1 = 0 \), tiene dos raíces reales, entonces:

\[\displaystyle -x^2+1 = - \left(x-1\right)\left(x+1\right)\]

entonces el polinomio original se factoriza como \(\displaystyle p(x) = -x^4+x^2 = - x^2 \left(x-1\right)\left(x+1\right) \), lo que completa la factorización.

Conclusión : Por lo tanto, la factorización final que obtenemos es:

\[\displaystyle p(x) = -x^4+x^2 = - x^2\left(x-1\right)\left(x+1\right)\]

Las raíces encontradas mediante el proceso de factorización son \(0\), \(1\) y \(-1\).

Otras calculadoras de ecuaciones útiles

Calculadoras de ecuaciones son realmente importantes en matemáticas, ya que las ecuaciones suelen ser la forma en que expresamos la asociación entre cantidades relacionadas. Ser capaz de resolver ecuaciones descubrirá algunos puntos especiales que satisfacen alguna igualdad específica.

Las calculadoras generales son difíciles de lograr ya que diferentes estructuras de ecuaciones requerirán diferentes estrategias de resolución. A calculadora de ecuaciones trigonométricas Por lo general, explotará la relación entre diferentes funciones trigonométricas para encontrar soluciones, de la misma manera que ecuaciones exponenciales y ecuaciones logarítmicas tendrán sus propios enfoques, basados en propiedades clave de exponentes y logaritmos, respectivamente. .

La mayoría de los problemas de álgebra se pueden representar, de modo que al resolver ecuaciones encontramos la clave de esos problemas de álgebra, esos puntos especiales que satisfacen propiedades específicas de interés.

Resolver ecuaciones no es fácil en general. Puedes seguir ciertas estrategias útiles, como reorganizar ecuaciones, factorizar o simplificar expresiones . Pero, en última instancia, cada tipo de ecuación le dará un tipo de estructura que le revelará el camino hacia su solución

Por ejemplo, para ecuaciones radicales lo más seguro es que necesites resolver el término que tiene raíz y usar una potencia para eliminar la raíz, convirtiéndola en una ecuación polinómica. Pero esa ruta, que funciona perfectamente para una ecuación radical, puede no funcionar para una ecuación trigonométrica, por ejemplo.