Löser Infinitesimalrechnung

Zweiter ableitungsrechner

Anweisungen: Verwenden Sie den zweiten Ableitungsrechner, um die zweite Ableitung (dies ist die Ableitung des Derivats) jeder von Ihnen bereitgestellten differenzierbaren Funktion zu berechnen, die alle Schritte zeigt.Bitte geben Sie die Funktion im folgenden Formularfeld ein.

Mehr auf zweite derivate

Dieser Taschenrechner kann Ihnen helfen, die zweite Ableitung jeder gültigen Funktion zu berechnen, die alle Schritte des Prozesses angezeigt werden.Sie müssen lediglich eine gültige, differenzierbare Funktion bereitstellen.

Eine gültige Funktion könnte f (x) = x*tan (x) oder f (x) = 3x^3 + 2x - 1 usw. sein. Es könnte jede gültige Funktion sein, und sie muss nicht unbedingt vereinfacht werden.Da der Taschenrechner es vereinfacht, falls er benötigt wird.

Sobald Sie eine gültige Funktion bereitgestellt haben, können Sie auf die Schaltfläche "Berechnen" klicken, um alle angegebenen Berechnungen und Schritte zu erhalten.

Zweite Derivate sind in vielen Anwendungen, insbesondere im Kalkül, enorm praktisch, mit dem zweiten Ableitungstest für Maximierung und Minimierung, um zu beurteilen, ob ein kritischer Punkt maximal, minimal oder gar keine ist.

Was ist das zweite derivat

In sehr einfachen Worten ist ein zweites Derivat nur die Ableitung des Derivats.Der Prozess der Berechnung eines zweiten Ableitung beinhaltet also die Berechnung eines derivativen und dann eines anderen Zeit Fähigkeitsregeln .Die zweite Ableitung einer Funktion \(f(x)\) wird normalerweise als \(f''(x)\) geschrieben.

Die Idee des zweiten Derivats gilt auch für Telableitungen und es entspricht zweimal dem Derivat, aber in diesem Fall kann es in Bezug auf verschiedene Variablen berechnet werden.

Schritte zur berechnung des zweiten ableitung

Schritt 1: Identifizieren Sie die Funktion f (x), die Sie zweimal unterscheiden möchten, und Vereinfachen so viel wie möglich zuerst
Schritt 2: Unterscheiden Sie einmal, um das abgeleitete f '(x) zu erhalten.Vereinfachen Sie das bei Bedarf erhaltene Derivat
Schritt 3: Differenzieren Sie jetzt f '(x), um das zweite Abgang f' '(x) zu erhalten

Die Schritte scheinen einfach zu sein, aber abhängig von der angegebenen Funktion die Menge von von Algebrasche Berechnungen könnte groß sein.

Zweite ableitungsnotation

Die häufigste Notation für das zweite Derivat ist \(f''(x)\), was gut die Tatsache widerspiegelt, dass die abgeleitete Operation, die von 'bezeichnet wird, zweimal auf die Funktion angewendet wird.

Es gibt eine andere Notation für das zweite Ableitungsmittel, was besonders nützlich ist, wenn die Funktion \(f(x)\) als 'y = y (x)' bezeichnet wird.Anschließend verwenden wir die folgende Notation für das zweite Derivat.

\[\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = \displaystyle \frac{d}{dx} \left(\frac{dy}{dx}\right) \]

Schritte zum berechnen zweiter derivate für implizite funktionen

Schritt 1: Identifizieren Sie die Gleichung mit x und y
Schritt 2: Differenzieren Sie beide Seiten der Gleichheit.Jede Seite kann möglicherweise von X, Y und Y abhängen.Vereinfachen Sie offensichtliche Begriffe, aber es ist nicht streng notwendig
Schritt 3: Differenzieren Sie erneut beide Seiten der Gleichheit.Jede Seite kann möglicherweise von X, Y, Y 'und Y' 'abhängen.Dann lösen Sie für y '' '

In der Regel ist es viel einfacher, das zweite Ableitungen durch implizite Differenzierung zu berechnen als durch die Lösung von y zuerst und dann durch Differenzierung, falls x und y implizit durch eine Gleichung definiert werden, wie \(x^2 + y^2 = 1\).

Zweites derivat an einem punkt

Wie bei der Ableitung ist die zweite Ableitung eine Funktion, die Punkt für Punkt definiert ist.Beachten Sie, dass ein häufiger Fehler, der die Schüler machen, nachdenkt, da ich an einem Punkt differenzieren möchte und die an einem Punkt bewertete Funktion konstant ist, muss sein Ableitungen konstant sein.FALSCH.Du zuerst Berechnen sie Dasivat und dann bewerten Sie.

Beispiel: zweite ableitungsberechnung

Berechnen Sie die zweite Ableitung von: \(f(x) = \cos(x^2)\)

Lösung: In diesem Beispiel werden wir die zweite Ableitung der Funktion \(\displaystyle f(x)=\cos\left(x^2\right)\) berechnen.

\( \displaystyle \frac{d}{dx}\left(\cos\left(x^2\right)\right)\)

By using the Chain Rule: \(\frac{d}{dx}\left( \cos\left(x^2\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(x^2\right)\cdot \left(-\sin\left(x^2\right)\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x^2\right)\cdot \left(-\sin\left(x^2\right)\right)\)

We use the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{d}{dx}\left( x^2 \right) = 2x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(2x\right) \left(-\sin\left(x^2\right)\right)\)

which then leads to

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle 2x\cdot \left(-\sin\left(x^2\right)\right)\)

Finally, the following is obtained

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -2x\sin\left(x^2\right)\)

Zweitaber Können: Jetzt differenzieren wir das erhaltene Derivat, um das zweite Abgang zu erhalten:

\( \displaystyle \frac{d^2f}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(-2x\sin\left(x^2\right)\right)\)

By using the Product Rule: \(\frac{d}{dx}\left( \left(-1\right)\times 2x\sin\left(x^2\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(-2x\right) \cdot \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x^2\right)\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(-2x\right) \cdot \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x^2\right)\right)\)

By linearity, we know \(\frac{d}{dx}\left( (-1)\times 2x \right) = \left(-1 \right) \cdot \frac{d}{dx}\left(2x\right)\), so plugging that in:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(\left(-1 \right) \cdot \frac{d}{dx}\left(2x\right)\right) \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x^2\right)\right)\)

Using the Chain Rule: \(\frac{d}{dx}\left( \sin\left(x^2\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(x^2\right)\cdot \cos\left(x^2\right)\) and directly we get: \(\frac{d}{dx}\left( 2x \right) = 2\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(\left(-1 \right) \cdot 2\right) \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot \frac{d}{dx}\left(x^2\right)\cdot \cos\left(x^2\right)\)

In this case we use the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{d}{dx}\left( x^2 \right) = 2x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(\left(-1 \right) \cdot 2\right) \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot 2x\cdot \cos\left(x^2\right)\)

and then we find

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -2x\cdot 2x\cos\left(x^2\right)+\left(-2\right)\sin\left(x^2\right)\)

Putting together the numerical values, reducing the ones in \(-2x\cdot 2x\cos\left(x^2\right) = -4x^2\cos\left(x^2\right)\) and grouping the terms with \(x\) in the term \(-2x\cdot 2x\cos\left(x^2\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -2\cdot 2x^2\cos\left(x^2\right)-2\sin\left(x^2\right)\)

Simplifying the integers that can be multiplied together: \(\displaystyle -2\times2 = -4\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -4x^2\cos\left(x^2\right)-2\sin\left(x^2\right)\)

Schlußfolgerung : Wir finden, dass das zweite Derivat, das wir suchen, ist:

\[f''(x) = -4x^2\cos\left(x^2\right)-2\sin\left(x^2\right)\]

Beispiel: mehr zweite derivate

Für die folgende Funktion: \(f(x) = x \cos(x)\) berechnen Sie seinen zweiten Ableitungsbereich

Lösung: Jetzt tun wir dasselbe in Tis \(\displaystyle f(x)=x\cos\left(x\right)\), für das wir sein Derivat berechnen müssen.

Die Funktion wurde bereits vereinfacht, sodass wir direkt sein Ableitungsbereich berechnen können:

\( \displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\cos\left(x\right)\right)\)

Using the Product Rule: \(\frac{d}{dx}\left( x\cos\left(x\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \cos\left(x\right)+x \cdot \frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \cos\left(x\right)+x \cdot \frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)\right)\)

Directly differentiating: \(\frac{d}{dx}\left( \cos\left(x\right) \right) = -\sin\left(x\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \cos\left(x\right)+x \left(-\sin\left(x\right)\right)\)

which then leads to

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle x\cdot \left(-\sin\left(x\right)\right)+\cos\left(x\right)\)

By reorganizing/simplifying/expanding the terms that are amenable to

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -x\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)\)

Zweitabitungsberechnung: Der nächste Schritt besteht darin, das in den vorherigen Schritten erhaltenen Ableitungen zu unterscheiden:

\( \displaystyle \frac{d^2f}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(-x\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)\right)\)

By linearity, we know \(\frac{d}{dx}\left( (-1)x\sin(x)+\cos(x) \right) = \frac{d}{dx}\left((-1)x\sin(x)\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos(x)\right)\), so plugging that in:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\left(-1\right)x\sin\left(x\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)\right)\)

Directly differentiating: \(\frac{d}{dx}\left( \cos\left(x\right) \right) = -\sin\left(x\right)\) and we can use the Product Rule: \(\frac{d}{dx}\left( \left(-1\right)x\sin\left(x\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(\left(-1\right)x\right) \cdot \sin\left(x\right)+\left(-1\right)x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\left(-1\right)x\right) \cdot \sin\left(x\right)+\left(-1\right)x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)-\sin\left(x\right)\)

Directly differentiating: \(\frac{d}{dx}\left( \sin\left(x\right) \right) = \cos\left(x\right)\) and directly we get: \(\frac{d}{dx}\left( \left(-1\right)x \right) = -1\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(-1\right) \sin\left(x\right)+\left(-1\right)x \cdot \cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)\)

and then we get

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(-1\right)x\cos\left(x\right)+\left(-1\right)\sin\left(x\right)+\left(-\sin\left(x\right)\right)\)

Reducing the multiplication by ones in \(\left(-1\right)x\cos\left(x\right) = \left(-1\right)x\cos\left(x\right)\) and

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(-1\right)x\cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)+\left(-\sin\left(x\right)\right)\)

Simplifying:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -x\cos\left(x\right)-2\sin\left(x\right)\)

Zweitabitung Schlussfolgerung : Wir schließen daraus, dass die zweite Ableitung der angegebenen Funktion ISA:

\[f''(x) = -x\cos\left(x\right)-2\sin\left(x\right)\]

Beispiel: zweite ableitung und implizite differenzierung

Berechnen Sie mithilfe der implizite Differenzierung das zweite Ableitungen von y in Bezug auf x für \( x^2 + y^2 = 1\).

Lösung: Wir wenden implizite Differenzierung an, vorausgesetzt, Y hängt von x ab, und wir unterscheiden beide Seiten der Gleichheit:

\[ \frac{d}{dx}\left(x^2 + y^2\right) = \frac{d}{dx} (1) \] \[ \Rightarrow 2x + 2yy' = 0 \]

Jetzt erneut implizite Differenzierung anwenden:

\[ \frac{d}{dx}\left( 2x + 2yy' \right) = \frac{d}{dx} 0 \] \[ \Rightarrow 2 + 2y'^2+2yy'' = 0 \] \[ \Rightarrow 2y'^2 + 2yy'' = -2\] \[ \Rightarrow yy'' = -1 - y'^2 \] \[ \Rightarrow y'' = \frac{-1 - y'^2}{y} \]

was die Berechnung abschließt.

Mehr derivatrechner

Wann Funden des Derivats Es ist natürlich, dass es natürlich ist, den Prozess erneut durchzuführen, was die Ableitung des Derivats findet, und genau das ist das, was das ist Zweiiter Thelitungsrechner tut.

Das Konzept des zweiten Derivats ist bei der Berechnung sehr nützlich, insbesondere zum Zeitpunkt der Maximierung oder Minimierung von Funktionen.Das zweite Derivat gibt Ihnen Informationen über die Konkavität einer Funktion, die auch zum Zeitpunkt entscheidend ist, um die Form der Form des Grafik der Funktion .

Zweite Derivate können sowohl für reguläre Derivate als auch für für Implizit -Unterschied , in dem Sie die implizite Differenzierungsregel zweimal berechnen.