Verwenden dieses rechners für das kleinste gemeinsame vielfache (kgv)

Dieser Rechner berechnet das kleinste gemeinsame Vielfache (oder auch als minimales gemeinsames Vielfaches bekannt) für eine gegebene Liste positiver Ganzzahlen, die Sie angeben. Sie müssen also positive Ganzzahlen wie „4“ und „6“ angeben. Sie können keine Dezimalzahl wie „3,78“ oder einen Bruch wie „2/3“ angeben. Nur positive Ganzzahlen funktionieren.

Nachdem Sie eine Liste mit positiven Ganzzahlen angegeben haben, klicken Sie auf „Berechnen“. Anschließend werden Ihnen die Schritte zur Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen angezeigt.

Die Berechnung ist ganz einfach und kann auf die Kenntnis der Primfaktorisierung für die Zahlen, die direkt zu den Berechnung des GCD , das wiederum zur Berechnung des KGV verwendet wird, wie wir im nächsten Abschnitt sehen werden.

Wie berechnet man das kleinste gemeinsame vielfache?

Das Verfahren ist relativ unkompliziert und umfasst den Umgang mit Primfaktorisierung der Zahlen und verwenden Sie dann einfach diese Faktoren, um das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) basierend auf diesen Faktoren zu konstruieren.

Welche schritte sind zur berechnung des kleinsten gemeinsamen vielfachen einer zahlenliste erforderlich?

• Schritt 1: Identifizieren Sie die Liste der bereitgestellten Ganzzahlen eindeutig und benennen Sie sie \(a_1\), \(a_2\), ..., \(a_n\)
• Schritt 2: Berechnen Sie die Primzahlzerlegung von \(a_1\), \(a_2\), ..., \(a_n\), falls alle Zahlen gültige positive Ganzzahlen sind
• Schritt 3: Ermitteln Sie die Primzahlen, die zu einer der Primzahlzerlegungen gehören, sodass Sie die Primzahlen sammeln, die in der Zerlegung JEDER der Zahlen \(a_1\), \(a_2\), ... und \(a_n\) vorkommen
• Schritt 4: Berechnen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache, indem Sie die Liste der gefundenen Primzahlen mit dem maximalen Exponenten multiplizieren, der in allen Zerlegungen für jede von ihnen gefunden wurde

Warum sollte man das kleinste gemeinsame vielfache berechnen?

Das kleinste gemeinsame Vielfache hat eine entscheidende und wichtige Anwendung in der Summe der Brüche , um einen gemeinsamen Nenner zu finden.

Insgesamt ist LCM ein recht wichtiges Konzept, das häufig in der Algebra und anderen Disziplinen vorkommt. Ein eng verwandtes Konzept ist das der kleinster gemeinsamer Teiler , das den kleinsten gemeinsamen Nenner für eine Liste von Brüchen findet.

Eine andere möglichkeit, das kleinste gemeinsame vielfache zu berechnen

Die Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen mag etwas verwirrend erscheinen, aber es gibt eine einfachere Möglichkeit, dies zu tun, wenn Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von 2 Zahlen mithilfe des ggT berechnen. Nehmen wir an, Sie haben zwei Zahlen \(a\) und \(b\) und möchten \(LCM(a, b)\) erhalten. In diesem speziellen Fall können Sie die folgende Formel verwenden

\[ LCM(a,b) = \displaystyle \frac{a \cdot b}{ GCD(a, b)} \]

In diesem Fall reicht es aus, den Wert von \(GCD(a,b)\) zu kennen und die Multiplikation der beiden Zahlen durch diesen Wert zu dividieren, um das kleinste gemeinsame Vielfache zu erhalten. Beachten Sie, dass dies ein Sonderfall ist, wenn Sie mit 2 Zahlen arbeiten, und nicht allgemein gilt.

Ein interessanter Sonderfall tritt auf, wenn Sie zwei Zahlen haben und eine Zahl (die kleinere) die andere Zahl (die größere) teilt. In diesem Fall ist das kleinste gemeinsame Vielfache die größere der beiden.

Beispiel: berechnung des kleinsten gemeinsamen vielfachen

Berechnen Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner der Zahlen 2, 6, 8 und 24.

Lösung : Der erste Schritt zur Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) besteht darin, die Primzahlzerlegung aller angegebenen Zahlen 2, 6, 8 und 24 zu berechnen.

\[2 = 2\] \[6 = 2 \cdot 3\] \[8 = 2^3\] \[24 = 2^3 \cdot 3\]

Aus den oben gezeigten Zerlegungen lässt sich das kleinste gemeinsame Vielfache am einfachsten wie folgt ermitteln:

• Finden Sie zunächst ALLE Primzahlen, die auf mindestens einer der gegebenen Zahlen vorkommen
• Dann finden Sie den maximalen Exponenten für diese Primzahlen über alle Zahlen, zu denen sie gehören, in der entsprechenden Primzahlzerlegung
• Multiplizieren Sie alle gefundenen Primzahlen mit dem jeweils gefundenen maximalen Exponenten, um das kleinste gemeinsame Vielfache zu erhalten
• Wenn alle Zahlen gleich sind, werden wir daraus schließen, dass das kleinste gemeinsame Vielfache diese wiederholte Zahl ist

Die folgenden Primzahlen wurden gefunden und mit ihrem maximalen Exponenten aufgelistet, der in allen Primzahlzerlegungen ermittelt wurde:

• Primzahl = 2, maximaler Exponent = \(\max\{1,1,3,3\} = 3\)

• Primzahl = 3, maximaler Exponent = \(\max\{1,1\} = 1\)

Berechnung des kleinsten gemeinsamen vielfachen (kgv)

Indem wir alle Primzahlen und ihre gefundenen maximalen Exponenten multiplizieren, berechnen wir das KGV wie folgt:

\[ LCM = \displaystyle 2^3 \cdot 3^1 = 24 \]

Damit ist die Berechnung abgeschlossen und wir kommen zu dem Schluss, dass das kleinste gemeinsame Vielfache der gegebenen Zahlen \(LCM(2,6,8,24) = 24 \) ist.

Beispiel: eine weitere lcm-berechnung

Berechnen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von 21 und 9.

Lösung : Die Primzahlzerlegung von 21 und 9 ist

\[ 21 = 3 \cdot 7\] \[ 9 = 3^2\]

Die Liste aller Primzahlen in einer der Zerlegungen ist 3 und 7. Für 3 ist der maximale Exponent 1, für 7 ist der maximale Exponent 1. Daher ist das kleinste gemeinsame Vielfache

\[ LCM(21, 9) = 3^2 \cdot 7 = 63\]

Beispiel: finden sie den gemeinsamen nenner

Berechnen Sie den gemeinsamen Nenner der Brüche \(\displaystyle \frac{1}{10}\) und \(\displaystyle \frac{2}{5}\)

Lösung : Beachten Sie, dass die Nenner der Brüche 10 und 5 sind. Da 10 durch 5 teilbar ist, ist 10 der kleinste gemeinsame Nenner.

Andere nützliche rechner rechner

Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen spielt eine direkte Rolle in Bruchteil-Rechner , da das KGV verwendet wird, um Berechnen Sie den gemeinsamen Nenner in der Summe zweier Brüche.

Ein weiterer interessanter Aspekt, der für das kleinste gemeinsame Vielfache relevant ist, ist, dass Sie wissen müssen, ob die gegebene Zahlen sind zusammengesetzt oder Primzahlen Oder genauer gesagt, Sie möchten möglicherweise eine Primzahlzerlegung erzeugen von ganzen Zahlen.