Der größte gemeinsame teiler

Mit diesem Rechner können Sie den GCD für jede beliebige Liste von Zahlen berechnen. Dies ist praktisch, da die meisten Rechner nur Berechnung des ggT für zwei Zahlen .

In diesem Rechner finden Sie eine Tabelle, in die Sie die Zahlen eingeben oder einfügen können, für die Sie den GCD berechnen möchten. Es müssen mindestens zwei Zahlen sein. Nachdem Sie auf „Berechnen“ geklickt haben, wird Ihnen die schrittweise Berechnung der Lösung angezeigt.

Der größte gemeinsame Nenner ist eines der nützlichsten Dinge, die Sie in der Algebra lernen werden, und er hat viele interessante Anwendungen, wie zum Beispiel Berechnung des kleinsten gemeinsamen Nenners für mehrere Brüche, neben vielen anderen nützlichen Operationen wie das kleinste gemeinsame Vielfache finden einer Liste von Ganzzahlen.

Was ist der größte gemeinsame teiler

Der GCD einer Liste von Ganzzahlen ist die kleinste positive Ganzzahl, durch die jede der in der Liste angegebenen Ganzzahlen geteilt werden kann. Normalerweise wird er als der größte Faktor angesehen, den alle Zahlen in der Liste gemeinsam haben.

Wenn andererseits die Liste der Ganzzahlen keine gemeinsamen Faktoren aufweist, schlussfolgern wir, dass der GGT 1 ist. Ein weiterer einfacher Fall tritt ein, wenn ALLE Zahlen in der angegebenen Liste gleich sind. In diesem Fall ist diese Zahl genau der GGT.

So finden sie den größten gemeinsamen faktor

Größter gemeinsamer Faktor ist ein anderer Name, den wir für den größten gemeinsamen Teiler verwenden. Die Idee der Berechnung ist einfach: Für jede der angegebenen Ganzzahlen müssen Sie finde seine Primzahlzerlegung .

Dann untersucht man, welche der Primzahlen ALLEN ganzen Zahlen gemeinsam sind, und findet den kleinsten Exponenten in der entsprechenden Zerlegungsmenge. Schließlich multipliziert man die gemeinsamen Primzahlen mit dem gefundenen kleinsten Exponenten, falls vorhanden.

Wenn es von vornherein keine gemeinsamen Primzahlen gibt, ist der größte gemeinsame Faktor 1.

Schritte zum abrufen des gcd

Oftmals ist es hilfreich, die einzelnen Schritte in einer klaren und umsetzbaren Liste darzustellen:

• Schritt 1: Identifizieren Sie die Liste der bereitgestellten Zahlen und stellen Sie sicher, dass es sich um Ganzzahlen handelt
• Schritt 2: Wenn eine beliebige Ganzzahl 0 ist, ist der GCD nicht definiert. Außerdem werden Ganzzahlen größer als 1 betrachtet
• Schritt 3: Für jede der ganzen Zahlen größer als 1 finden Sie ihre Primfaktorisierung
• Schritt 4: Sie müssen Primzahlen finden, die in allen Faktorisierungen vorkommen. Für jede Primzahl, die in allen Ganzzahlen Ihrer Liste vorkommt, schreiben Sie die Exponenten auf und berechnen das Minimum jedes dieser Exponenten
• Schritt 5: Schließlich wird der GCD berechnet, indem ALLE gemeinsamen Primzahlen miteinander multipliziert und mit dem entsprechenden minimalen Exponenten multipliziert werden, der in Schritt 4 ermittelt wurde

Die Berechnung kann manchmal langwierig sein, insbesondere bei großen Ganzzahlen, in diesem Fall kann die Primzahlzerlegung etwas mühsam sein. Mit diesem GCF-Löser wird Ihnen vieles erleichtern.

Wofür benötigt man den größten gemeinsamen teiler?

Der größte gemeinsame Faktor hat so viele praktische Anwendungen in der Algebra. Einerseits spielt er eine Schlüsselrolle, wenn man versucht, Faktorisieren Sie einen Ausdruck , oder bringen Sie es auf die niedrigste und einfachste Art und Weise zum Ausdruck.

Factoring ist besonders dann sinnvoll, wenn Sie eine Gleichung lösen , da Sie durch das Finden von Faktoren das Problem der Lösung der Gleichung effektiv in kleinere Teile zerlegt haben.

Anschließend wird der GCD (auch GCF genannt) verwendet, um das kleinste gemeinsame Vielfache einer Liste von \(n\) Zahlen \(k_1, k_2, ..., k_n\) zu berechnen, und zwar mit folgendem LCM-Formel :

\[LCM(k_1, k_2, ..., k_n) = \displaystyle \frac{k_1 \cdot k_2 \cdots k_n}{GCD(k_1, k_2, ..., k_n)}\]

Wie Sie der obigen Formel entnehmen können, stellt der CGD eine Abkürzung zur Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen dar, da Sie lediglich das Produkt der Zahlen berechnen und durch den ggT dividieren müssen.

Gcd-berechnungsbeispiel

Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 70, 210 und 336.

Lösung: Der erste Schritt zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers (GGT) besteht darin, die Primzahlzerlegung aller angegebenen Zahlen 70, 210 und 336 zu berechnen.

\[70 = 2 \cdot 5 \cdot 7\] \[210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\] \[336 = 2^4 \cdot 3 \cdot 7\]

Der einfachste Weg, den GGT aus den oben gezeigten Zerlegungen zu ermitteln, ist der folgende:

• Finden Sie zunächst die gemeinsamen Primzahlen aller gegebenen Zahlen
• Finden Sie dann den minimalen Exponenten für diese Primzahl über alle Zahlen
• Multiplizieren Sie die gemeinsamen Primzahlen mit dem jeweils kleinsten Exponenten, um den GCD zu erhalten
• Wenn es keine gemeinsamen Primzahlen gibt, dann folgern wir, dass CGD = 0

Die folgenden Primzahlen wurden gefunden und mit ihrer für alle Primzahlzerlegungen ermittelten Mindestpotenz aufgelistet:

• Gemeinsame Primzahl = 2, minimaler Exponent = \(\min\{1,1,4\} = 1\)

• Gewöhnliche Primzahl = 7, kleinster Exponent = \(\min\{1,1,1\} = 1\)

Indem wir die gemeinsamen Primzahlen und ihre gefundenen minimalen Exponenten multiplizieren, berechnen wir den GGT wie folgt:

\[GCD(70,210,336) = 2^1 \cdot 7^1 = 14 \]

Damit ist die Berechnung des größten gemeinsamen Teilers (GGT) der bereitgestellten Liste abgeschlossen.

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