Resolvendo equações quadráticas por fatoração

Esta calculadora permite fatorar uma equação quadrática que você fornece, mostrando todas as etapas do processo. Tudo o que você precisa fazer é fornecer uma equação quadrática válida.

Um exemplo de uma equação quadrática válida é 2x² + 5x + 1 = 0. Você também pode fornecer uma equação quadrática que não seja completamente simplificada, como por exemplo, x² - 3/4 x + 2 = 3x - 2x², e esta calculadora irá simplifique para você.

Depois de fornecer uma equação quadrática válida, você precisa clicar em "Calcular" e todas as etapas do processo serão mostradas para você.

A fatoração de equações quadráticas é um dos métodos para encontrar raízes, mas é considerado um método bastante "ingênuo", pois é um método "tentar e testar", que só funciona bem para raízes inteiras e fracionárias.

Como fazer fatoração de equações quadráticas?

O processo é simples, mas tem resultados potenciais limitados, porque só funciona potencialmente bem quando a equação quadrática tem raízes muito simples:

Quais são os passos para resolver equações quadráticas por fatoração?

• Etapa 1: Identifique a equação de segundo grau que deseja resolver e simplifique em sua forma ax² + bx + c = 0
• Passo 2: Investigue os coeficientes a e c. Se eles não são inteiros, suas mudanças de "adivinhar" os fatores são nulas
• Passo 3: Se os coeficientes a e c são inteiros, encontre seus divisores inteiros a ₁ , uma ₂ , ...., e C ₁ , c ₂ ,... etc. Você tentará adivinhar uma solução da equação testando as frações da forma c _eu /uma _k
• Etapa 4: Encontrar as raízes r₁ e r₂ com este método levará a uma fatoração da forma ax² + bx + c = a(x - r₁)(x - r₂) = 0

A limitação desse método é que você pode não conseguir adivinhar as soluções, pois as soluções podem não ser racionais. Em outras palavras, não há uma simples fórmula de fatoração , você prefere seguir um processo de adivinhação.

Agora, independente de suas limitações, a resolução de equações do segundo grau com fatoração é uma boa e rápida alternativa quando as raízes da equação são muito simples.

Por que se preocupar com a fatoração de frações quadráticas?

A fatoração desempenha um papel muito importante em diferentes contextos e, em última análise, resolver uma equação quadrática geral depende de um processo de fatoração sofisticado e elegante.

Muitas vezes, você usará a fatoração dentro de uma equação não necessariamente para resolvê-la, mas para agrupar os termos.

Exemplo: fatoração de equações quadráticas

Resolva a seguinte equação fatorando \(4x^2 + 4x + 1 = 0\)

Solução:

Precisamos tentar resolver a seguinte equação quadrática dada \(\displaystyle 4x^2+4x+1=0\) por fatoração.

Neste caso, temos que a equação que precisamos tentar fatorar é \(\displaystyle 4x^2+4x+1 = 0\), o que implica que os coeficientes correspondentes são:

\[a = 4\] \[b = 4\] \[c = 1\]

Agora, precisamos encontrar os números inteiros que dividem \(a\) e \(c\), que serão usados para construir nossos candidatos a fatores.

Os divisores de \(a = 4\) são: \(\pm 1,\pm 2,\pm 4\).

Os divisores de \(c = 1\) são: \(\pm 1\).

Portanto, dividindo cada divisor de \(c = 1\) por cada divisor de \(a = 4\), encontramos a seguinte lista de candidatos a fatores:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 2},\pm \frac{ 1}{ 4}\]

Agora, todos os candidatos precisam ser testados para ver se são uma solução. O seguinte é obtido a partir do teste de cada candidato:

\[\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 4 \left(-1\right)^2+4 \left(-1\right)+1 & = & \displaystyle 1 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 4 \left(1\right)^2+4 \left(1\right)+1 & = & \displaystyle 9 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{2} &:&    & \displaystyle 4 \left(-\frac{1}{2}\right)^2+4 \left(-\frac{1}{2}\right)+1 & = & \displaystyle 0 = 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{2} &:&    & \displaystyle 4 \left(\frac{1}{2}\right)^2+4 \left(\frac{1}{2}\right)+1 & = & \displaystyle 4 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{4} &:&    & \displaystyle 4 \left(-\frac{1}{4}\right)^2+4 \left(-\frac{1}{4}\right)+1 & = & \displaystyle \frac{1}{4} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{4} &:&    & \displaystyle 4 \left(\frac{1}{4}\right)^2+4 \left(\frac{1}{4}\right)+1 & = & \displaystyle \frac{9}{4} \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Então, apenas um dos candidatos, \(x = \displaystyle -\frac{1}{2}\) acaba sendo uma raiz, então temos que a equação quadrática dada pode ser fatorada como \( 4 \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 = 0\).

Exemplo: resolvendo equações de segundo grau por fatoração

Resolva a seguinte equação quadrática fatorando \(x^2 + 5x + 6 = 0\)

Solução: Precisamos tentar fatorar \(\displaystyle x^2+5x+6 = 0\), então os coeficientes correspondentes são:

\[a = 1\] \[b = 5\] \[c = 6\]

Agora, precisamos encontrar os números inteiros que dividem \(a\) e \(c\), que serão usados para construir nossos candidatos a fatores.

Os divisores de \(a = 1\) são: \(\pm 1\).

Os divisores de \(c = 6\) são: \(\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\).

Portanto, dividindo cada divisor de \(c = 6\) por cada divisor de \(a = 1\), encontramos a seguinte lista de candidatos a fatores:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 3}{ 1},\pm \frac{ 6}{ 1}\]

Agora, todos os candidatos precisam ser testados para ver se são uma solução. O seguinte é obtido a partir do teste de cada candidato:

\[\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 1 \left(-1\right)^2+5 \left(-1\right)+6 & = & \displaystyle 2 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1 \left(1\right)^2+5 \left(1\right)+6 & = & \displaystyle 12 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle 1 \left(-2\right)^2+5 \left(-2\right)+6 & = & \displaystyle 0 = 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 1 \left(2\right)^2+5 \left(2\right)+6 & = & \displaystyle 20 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -3 &:&    & \displaystyle 1 \left(-3\right)^2+5 \left(-3\right)+6 & = & \displaystyle 0 = 0 \\\\ x & = & \displaystyle 3 &:&    & \displaystyle 1 \left(3\right)^2+5 \left(3\right)+6 & = & \displaystyle 30 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -6 &:&    & \displaystyle 1 \left(-6\right)^2+5 \left(-6\right)+6 & = & \displaystyle 12 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 6 &:&    & \displaystyle 1 \left(6\right)^2+5 \left(6\right)+6 & = & \displaystyle 72 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Então, dois dos candidatos são raízes, \(x_1 = \displaystyle -2\) e \(x = \displaystyle -3\), então encontramos nossas soluções e podemos fatorar a equação dada como \( \displaystyle \left(x+2\right)\left(x+3\right) = 0\).

Outras calculadoras quadráticas úteis

O Fórmula quadrática é realmente um dos mais importantes em álgebra básica, e tem aplicações em muitos contextos. você pode querer calcular uma equação quadrática , você pode querer expressá-lo em Vertex Form , Há muitas possibilidades.

Existem muitos elementos que estão todos ligados, como o discriminante de equação quadrática , ou o eixo de simetria de uma parábola . Todos esses elementos estão intimamente relacionados e desempenham um papel importante juntos.