Sobre funções quadráticas e esta calculadora

Esta calculadora permitirá simplificar e representar graficamente qualquer função quadrática. Tudo que você precisa para fornecer uma função quadrática válida em x.

Pode ser algo que já está simplificado, como f(x) = 2x^2 + 3x +1, ou pode ser algo que não está totalmente simplificado, como , desde que seja um válido função quadrática

Assim que uma função quadrática válida for fornecida, clique em "Calcular" para ver os resultados.

As funções quadráticas são muito importantes na matemática e, de fato, estão entre as funções mais usadas na álgebra básica. Suas propriedades são realmente intuitivas do ponto de vista geométrico.

O que é uma função quadrática?

Uma função quadrática univariada é uma função em que a variável aparece com uma potência de 2, possivelmente multiplicada por um coeficiente, mais possivelmente termos de ordem inferior. A fórmula quadrática é:

\[f(x) = a x^2 + b x + c \]

onde \(a\), \(b\) e \(c\) são constantes e \(x\) é a variável da função.

Graficamente, todas as funções quadráticas são parábolas, que abrem para cima para a > 0, e abrem para baixo para a < 0. A parábola descrita pela função \(f(x) = a x^2 + b x + c \) será simétrica em torno da reta vertical \(x_V = \displaystyle -\frac{b}{2a}\), que é Chamou o Eixo de simetria .

Passos para resolver uma função quadrática

• Etapa 1: Identifique a função quadrática com a qual deseja trabalhar e simplifique-a, se necessário, até obter a forma \(f(x) = a x^2 + b x + c \)
• Passo 2: O Equação quadrática associado à função quadrática dada é \(f(x) = a x^2 + b x + c = 0\)
• Passo 3: Esta equação tem 2 raízes em geral. Podem ser raízes complexas reais ou conjugadas. Existe um caso especial com apenas uma raiz real, caso em que dizemos que as raízes são repetido
• Etapa 4: você pode tentar encontrar as raízes adivinhando, testando possíveis candidatos racionais
• Etapa 5: Se as raízes não puderem ser facilmente encontradas por adivinhação, você sempre poderá usar o método geral Fórmula quadrática : \(x = \displaystyle \frac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)

Os tipos de raízes que você obterá dependem muito do cálculo do discriminante , que é \(\Delta = b^2 - 4ac\).

De fato, para um discriminante positivo \(\Delta = b^2 - 4ac > 0\), haverá duas raízes reais. Graficamente, isso indica que a parábola cruza o eixo x em dois pontos diferentes

Quando o discriminante for zero, \(\Delta = b^2 - 4ac = 0\), haverá uma raiz real. Graficamente, isso indica que a parábola toca o eixo x em apenas um ponto

Para um discriminante negativo \(\Delta = b^2 - 4ac < 0\), haverá duas raízes complexas. Graficamente, isso indica que a parábola não cruza o eixo x

Função quadrática na forma padrão

Embora a forma quadrática geral seja \(f(x) = a x^2 + b x + c \), e geralmente seja suficiente para saber tudo o que precisamos sobre as propriedades da função quadrática, existem outras formas que são comuns.

Temos a função quadrática na forma padrão, também conhecida como Vertex Form , quando se escreve assim

\[f(x) = a(x-h)^2 + k \]

Isso é particularmente útil porque o ponto (h, k) corresponde ao vértice.

Quais são as etapas para obter a forma padrão de uma função quadrática?

• Passo 1: Identifique claramente a função quadrática que lhe é fornecida
• Etapa 2: Se ainda não foi fornecido na forma padrão, simplifique-a e coloque-a na forma geral primeiro \(f(x) = a x^2 + b x + c \)
• Passo 3: Depois de tê-lo na forma geral, basta complete o quadrado para chegar à forma padrão da função quadrática

O processo de completar os quadrados pode ser trabalhoso, mas o levará sistematicamente à forma padrão da quadrática.

Por que as funções quadráticas são tão importantes?

As funções quadráticas são realmente cruciais, pois desempenham um papel super importante em uma miríade de problemas de aplicação, incluindo maximização e minimização.

O centro de todas as calculadoras algébricas começa com o poder dos números básicos das frações.

Exemplo: forma padrão quadrática

Encontre a forma padrão para a seguinte função quadrática: \(f(x) = 2x^2 + 2x - 1\)

Solução:

que conclui o cálculo.

Exemplo: eixo de simetria

Encontre o eixo de simetria para: \(f(x) = \frac{1}{3} x^2 + \frac{5}{4}x - \frac{5}{6}\)

Solução:

que conclui o cálculo.

Exemplo: forma quadrática e o vértice

Encontre o vértice da função quadrática \( f(x) = \left(\frac{2}{3}(x - 2)^2 + \frac{2}{5} \).

Solução:

que conclui o cálculo.

Mais calculadoras quadráticas

Há tanta coisa que você pode fazer com funções quadráticas. você pode encontrar o raízes de uma equação quadrática , você pode encontre o vértice , e encontre o eixo de simetria. Uma das coisas que tornam as funções quadráticas tão atraentes são suas propriedades geométricas altamente intuitivas.

Por representando graficamente uma função quadrática você pode dizer muito sobre suas raízes, vértice e eixo de simetria também.