Álgebra Tutoriais

Fator por agrupamento

Fator por agrupamento é uma excelente forma de fatorar uma expressão, sem a necessidade de resolver uma equação polinomial, que pode ser difícil de resolver.

O único problema de fatorar por agrupamento é que não existe uma receita ou estratégia que lhe dê o agrupamento adequado necessário. Ou, pior ainda, pode não haver uma forma clara de agrupamento para realizar uma fatoração.

Neste tutorial, vamos nos concentrar nos casos especiais em que o agrupamento ajudará a fatorar uma expressão algébrica, embora a verdade seja que nem sempre é possível fazer isso. Para um tratamento mais geral, confira este tutorial em como fatorar .

As condições exigidas para fatoração por agrupamento

É assim que funciona a fatoração por agrupamento:

Precisamos procurar algumas dicas para usar esse tipo de fatoração. Para começar, esperaremos ter uma expressão algébrica com um número par de termos maior que 2 (então 4, 6, etc.) e, em seguida, tentar agrupar.

Como dissemos, não existem regras fixas, e você precisa jogar de ouvido, seguindo estas duas etapas.

Passo 1: Agrupe o primeiro e o segundo mandato, o terceiro e o quarto mandato e assim por diante.

Passo 2: Agora, tente fatorar todos os pares que você agrupou na Etapa 1. Observe que pode haver mais de uma maneira de fatorar.

Etapa 3: Veja se os fatores obtidos na Etapa 2 são todos iguais; nesse caso, você pode fatorá-los.

Passo 4: Se as etapas anteriores não funcionarem, tente o truque de "adicionar zero": às vezes, as coisas vão dar certo se você adicionar algo e também subtrair da expressão.

Ao adicionar e subtrair o mesmo termo, o efeito líquido é o mesmo que adicionar (ou seja, deixando a expressão como antes)

EXEMPLO 1

Fatorar usando o método de Fator por Agrupamento do seguinte polinômio

6x^3 + 3x^2 - 4x -2

RESPONDA:

Precisamos usar as etapas que definimos acima. Observe que essas etapas não são imutáveis, mas são uma orientação útil para você seguir:

Passo 1: Agrupamos o primeiro e o segundo termos e também o terceiro e o quarto termos, de modo que obtemos

6x^3 + 3x^2 - 4x -2 = (6x^3 + 3x^2) - (4x + 2)

Passo 2: O termo $6x^3 + 3x^2$ é fatorado como $6x^3 + 3x^2 = 3x^2(2x+1)$ , e o termo $4x + 2$ é fatorado como $4x + 2 = 2(2x+1)$ , então obtemos:

6x^3 + 3x^2 - 4x -2 = (6x^3 + 3x^2) - (4x + 2) = 3x^2(2x+1) - 2(2x+1)

Etapa 3: Agora podemos ver como os dois grupos que fatoramos têm um fator comum, que é $2x+1$ , que pode ser fatorado pela propriedade distributiva. Portanto, o seguinte é obtido:

6x^3 + 3x^2 - 4x -2 = (3x^2-2)(2x+1)

que conclui o processo de factoring.

EXEMPLO 2

Resolva a seguinte equação: $x^3 -6x^2 + 11x - 6 = 0$ :

RESPONDA:

Visto que não sabemos realmente (embora seja possível) como encontrar a solução dessa equação cúbica, precisamos novamente usar as etapas para encontrar a fatoração por agrupamento de $x^3 -6x^2 + 11x - 6$ , se possível:

Passo 1: Agrupamos o primeiro e o segundo termos e também o terceiro e o quarto termos, de modo que obtemos

x^3 -6x^2 + 11x - 6 = (x^3 -6x^2) + (11x - 6)

Passo 2: O termo $x^3 -6x^2$ é fatorado como $x^3 -6x^2 = x^2(x-6)$ , e o termo $11x - 6$ é fatorado como $11x - 6= 11(x - 6/11)$ , então obtemos:

x^3 -6x^2 + 11x - 6 = (x^3 -6x^2) + (11x - 6) = x^2(x-6) + 11(x - 6/11)

Etapa 3: Nesse caso, não há um fator comum, portanto o método não funcionou até agora.

Passo 4: Adicionamos $0 = 2x - 2x$ e $0 = 3x^2 - 3x^2$ que não afetará a expressão (estamos adicionando zeros), então obtemos:

x^3 -6x^2 + 11x - 6 = x^3 -6x^2 + 11x - 6 + 2x - 2x + 3x^2 - 3x^2

= x^3 - 3x^2 -3x^2 + 9x +2x- 6

= (x^3 - 3x^2) -(3x^2 - 9x) +(2x- 6)

= x^2(x - 3) -3x(x-3) +2(x- 3)

e agora temos o fator comum, $x-3$ que estávamos procurando. Finalmente, fatorando $x-3$ , obtemos

\Large x^3 -6x^2 + 11x - 6 = (x^2-3x +2)(x- 3)

Então, para resolver a equação original, também podemos resolver $(x^2-3x +2)(x- 3) = 0$ o que significa que $x^2-3x +2 = 0$ ou $x - 3$ = 0.

Da segunda equação, temos a única solução que é $x = 3$ . A partir da primeira equação, precisamos resolver:

x^2-3x +2 = 0 \Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

\Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(2)}}{2(1)}

\Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2}

\Rightarrow x = \frac{3 \pm 1}{2}

o que implica que as outras soluções são $x = (3-1)/2 = 1$ e $x = (3+1)/2 = 2$ .

Por que fatorar por agrupamento?

Lembremos que a fatoração é sempre uma boa coisa para resolver a equação, porque quando uma multiplicação de vários fatores é igual a zero, então as soluções da equação são encontradas definindo cada fator igual a zero.

Por exemplo, digamos que você queira resolver a equação $x^3 + x^2 + 2x + 2 = 0$ . Aposto que você não teria ideia se precisasse resolvê-lo usando meios algébricos.

Por quê? Porque esta é uma equação cúbica e resolvê-la é difícil. Existe uma fórmula, mas não é fácil. Que alternativas temos?

Bem, podemos fatorar por agrupamento, se possível. Veremos que de fato é possível neste caso. Seguiremos as etapas que foram delineadas acima:

Passo 1: O agrupamento do primeiro e do segundo mandato e também do terceiro e quarto termos leva a:

(x^3 + x^2) + (2x + 2) = 0

Passo 2: O termo $x^3 + x^2$ é fatorado como $x^3 + x^2 = x^2(x+1)$ , e o termo $2x + 2$ é fatorado como $2x + 2 = 2(x+1)$ , então obtemos:

x^2(x + 1) + 2(x + 1) = 0

Etapa 3: Agora vemos que os dois grupos que fatoramos têm um fator comum, que é $x+1$ , que pode ser fatorado pela propriedade distributiva, então obtemos:

(x^2+2)(x + 1)= 0

Portanto, o que descobrimos é que a expressão cúbica original foi fatorada como:

x^3 + x^2 + 2x + 2 = (x^2+2)(x + 1) = 0

Dessa forma, podemos resolver a equação facilmente, definindo $x^2 + 2 = 0$ ou $x + 1 = 0$ . Observe que, como $x^2$ é sempre não negativo, obtemos $x^2 + 2 \ge 2$ e nunca pode ser zero (pelo menos para $x$ real).

Portanto, a única solução é $x = -1$ .

Então, isso veio de graça, usando fator por agrupamento. Caso contrário, teríamos que usar uma fórmula complicada de raiz cúbica, ou você teria que usar o método de "adivinhar as raízes", que vamos ser honestos, não é realmente um método.