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Facteur par regroupement

Le facteur par regroupement est un excellent moyen de factoriser une expression, sans avoir besoin de résoudre une équation polynomiale, ce qui pourrait être difficile à résoudre.

Le seul problème de l'affacturage par regroupement est qu'il n'y a pas une recette ou une stratégie qui vous donnera le bon regroupement dont vous avez besoin. Ou pire encore, il peut ne pas y avoir de méthode claire de regroupement pour effectuer une factorisation.

Dans ce didacticiel, nous nous concentrerons sur les cas particuliers dans lesquels le regroupement aidera à factoriser une expression algébrique, même si la vérité est que ce n'est pas toujours possible. Pour un traitement plus général, consultez ce tutoriel sur factoriseur de commentaire .

Les conditions requises pour l'affacturage par groupement

Voici comment fonctionne l'affacturage par regroupement:

Nous devons rechercher certains indices afin d'utiliser ce type d'affacturage. Pour commencer, nous nous attendons à avoir une expression algébrique avec un nombre pair de termes supérieur à 2 (donc 4, 6, etc.), puis essayons de regrouper.

Comme nous l'avons dit, il n'y a pas de règles fixes, et vous devez y jouer à l'oreille, en suivant ces deux étapes.

Étape 1: Regroupez les premier et deuxième mandats, les troisième et quatrième mandats, etc.

Étape 2: Maintenant, essayez de factoriser toutes les paires que vous avez regroupées à l'étape 1. Observez qu'il peut y avoir plus d'une façon de factoriser.

Étape 3: Vérifiez si les facteurs que vous avez obtenus à l'étape 2 sont tous les mêmes, auquel cas vous pouvez le factoriser.

Étape 4: Si les étapes précédentes ne fonctionnent pas, essayez l'astuce de "l'ajout de zéro": Parfois, les choses s'arrangeront si vous ajoutez quelque chose et que vous le soustrayez également de l'expression.

En ajoutant et en soustrayant le même terme, l'effet net est le même que l'ajout (c'est-à-dire en laissant l'expression telle qu'elle était)

EXEMPLE 1

Factoriser en utilisant la méthode du facteur en regroupant le polynôme suivant

6x^3 + 3x^2 - 4x -2

RÉPONDRE:

Nous devons utiliser les étapes que nous avons définies ci-dessus. Notez que ces étapes ne sont pas gravées dans le marbre, mais elles sont des conseils utiles à suivre:

Étape 1: Nous regroupons le premier et le deuxième quadrimestre, ainsi que le troisième et le quatrième mandat afin d'obtenir

6x^3 + 3x^2 - 4x -2 = (6x^3 + 3x^2) - (4x + 2)

Étape 2: Le terme $6x^3 + 3x^2$ est factorisé comme $6x^3 + 3x^2 = 3x^2(2x+1)$ , et le terme $4x + 2$ est factorisé comme $4x + 2 = 2(2x+1)$ , donc nous obtenons:

6x^3 + 3x^2 - 4x -2 = (6x^3 + 3x^2) - (4x + 2) = 3x^2(2x+1) - 2(2x+1)

Étape 3: Nous pouvons maintenant voir comment les deux groupes que nous avons factorisés ont un facteur commun, qui est $2x+1$ , qui peut être factorisé par la propriété distributive. Par conséquent, ce qui suit est obtenu:

6x^3 + 3x^2 - 4x -2 = (3x^2-2)(2x+1)

ce qui conclut le processus d'affacturage.

EXEMPLE 2

Résolvez l'équation suivante: $x^3 -6x^2 + 11x - 6 = 0$ :

RÉPONDRE:

Puisque nous ne savons pas vraiment (bien que cela soit possible) comment trouver la solution de cette équation cubique, nous devons à nouveau utiliser les étapes pour trouver la factorisation par regroupement de $x^3 -6x^2 + 11x - 6$ si possible:

Étape 1: Nous regroupons le premier et le deuxième quadrimestre, ainsi que le troisième et le quatrième mandat afin d'obtenir

x^3 -6x^2 + 11x - 6 = (x^3 -6x^2) + (11x - 6)

Étape 2: Le terme $x^3 -6x^2$ est factorisé comme $x^3 -6x^2 = x^2(x-6)$ , et le terme $11x - 6$ est factorisé comme $11x - 6= 11(x - 6/11)$ , donc nous obtenons:

x^3 -6x^2 + 11x - 6 = (x^3 -6x^2) + (11x - 6) = x^2(x-6) + 11(x - 6/11)

Étape 3: Dans ce cas, il n'y a pas de facteur commun, donc la méthode n'a pas fonctionné jusqu'à présent.

Étape 4: Nous ajoutons $0 = 2x - 2x$ et ajoutons $0 = 3x^2 - 3x^2$ qui n'affectera pas l'expression (nous ajoutons des zéros), donc nous obtenons:

x^3 -6x^2 + 11x - 6 = x^3 -6x^2 + 11x - 6 + 2x - 2x + 3x^2 - 3x^2

= x^3 - 3x^2 -3x^2 + 9x +2x- 6

= (x^3 - 3x^2) -(3x^2 - 9x) +(2x- 6)

= x^2(x - 3) -3x(x-3) +2(x- 3)

et maintenant nous avons le facteur commun, $x-3$ que nous recherchions. Enfin, en factorisant $x-3$ , nous obtenons

\Large x^3 -6x^2 + 11x - 6 = (x^2-3x +2)(x- 3)

Donc, afin de résoudre l'équation d'origine, nous pouvons également résoudre $(x^2-3x +2)(x- 3) = 0$ ce qui signifie que $x^2-3x +2 = 0$ ou $x - 3$ = 0.

De la deuxième équation, nous avons la solution unique est $x = 3$ . À partir de la première équation, nous devons résoudre:

x^2-3x +2 = 0 \Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

\Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(2)}}{2(1)}

\Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2}

\Rightarrow x = \frac{3 \pm 1}{2}

ce qui implique que les autres solutions sont $x = (3-1)/2 = 1$ et $x = (3+1)/2 = 2$ .

Pourquoi l'affacturage par regroupement?

Rappelons que la factorisation est toujours une bonne chose pour résoudre l'équation, car lorsqu'une multiplication de plusieurs facteurs est égale à zéro, alors les solutions de l'équation sont trouvées en fixant chaque facteur égal à zéro.

Par exemple, disons que vous souhaitez résoudre l'équation $x^3 + x^2 + 2x + 2 = 0$ . Je vous parie que vous n'auriez aucune idée si vous aviez besoin de le résoudre en utilisant des moyens algébriques.

Pourquoi? Parce qu'il s'agit d'une équation cubique, et la résolution d'une équation cubique est difficile. Il existe une formule, mais ce n’est pas facile. Quelles alternatives avons-nous?

Eh bien, nous pouvons factoriser en regroupant, si possible. Nous verrons que c'est effectivement possible dans ce cas. Nous suivrons les étapes décrites ci-dessus:

Étape 1: Regrouper le premier et le deuxième terme, ainsi que le troisième et le quatrième terme conduit à:

(x^3 + x^2) + (2x + 2) = 0

Étape 2: Le terme $x^3 + x^2$ est factorisé comme $x^3 + x^2 = x^2(x+1)$ , et le terme $2x + 2$ est factorisé comme $2x + 2 = 2(x+1)$ , donc nous obtenons:

x^2(x + 1) + 2(x + 1) = 0

Étape 3: Maintenant, nous voyons que les deux groupes que nous avons factorisés ont un facteur commun, qui est $x+1$ , qui peut être factorisé par la propriété distributive, donc nous obtenons:

(x^2+2)(x + 1)= 0

Par conséquent, ce que nous avons trouvé, c'est que l'expression cubique originale a été factorisée comme suit:

x^3 + x^2 + 2x + 2 = (x^2+2)(x + 1) = 0

De cette façon, nous pouvons résoudre l'équation facilement, en définissant $x^2 + 2 = 0$ ou $x + 1 = 0$ . Notez que puisque $x^2$ est toujours non négatif, nous obtenons que $x^2 + 2 \ge 2$ et il ne peut jamais être nul (au moins pour $x$ réel).

Par conséquent, la seule solution est $x = -1$ .

Cela est donc venu gratuitement, en utilisant le facteur par regroupement. Sinon, nous aurions dû utiliser une formule de racine cubique encombrante, ou vous auriez utilisé la méthode de "deviner les racines", ce qui, soyons honnêtes, ce n'est pas vraiment une méthode.