Résolution d'équations quadratiques par factorisation

Cette calculatrice vous permet de factoriser une équation quadratique que vous fournissez, en montrant toutes les étapes du processus. Tout ce que vous devez faire est de fournir une équation quadratique valide.

Un exemple d'équation quadratique valide est 2x² + 5x + 1 = 0. Vous pouvez également fournir une équation quadratique qui n'est pas complètement simplifiée, comme par exemple, x² - 3/4 x + 2 = 3x - 2x², et cette calculatrice la simplifiera pour vous.

Une fois que vous avez fourni une équation quadratique valide, vous devez cliquer sur "Calculer", et toutes les étapes du processus vous seront montrées.

La factorisation des équations quadratiques est l'une des méthodes permettant de trouver les racines, mais elle est considérée comme une méthode plutôt "naïve", puisqu'il s'agit d'une méthode "d'essai", qui ne fonctionne bien que pour les racines entières et fractionnaires.

Comment faire la factorisation d'équations quadratiques ?

Le processus est simple, mais ses résultats potentiels sont limités, car il ne fonctionne potentiellement bien que lorsque l'équation quadratique a des racines très simples :

Quelles sont les étapes de la résolution des équations quadratiques par factorisation ?

• Étape 1 : Identifiez l'équation quadratique que vous voulez résoudre et simplifiez-la sous la forme ax² + bx + c = 0
• Étape 2 : Examinez les coefficients a et c. S'ils ne sont pas entiers, vos chances de "deviner" les facteurs sont nulles
• Étape 3 : Si les coefficients a et c sont entiers, trouvez leurs diviseurs entiers a ₁ , a ₂ , ...., et c ₁ , c ₂ ... etc. Vous allez essayer de deviner une solution de l'équation en testant les fractions de la forme c _i /a _k
• Étape 4 : Trouver les racines r₁ et r₂ avec cette méthode conduira à une factorisation de la forme ax² + bx + c = a(x - r₁)(x - r₂) = 0

La limite de cette méthode est que vous ne pourrez peut-être pas deviner les solutions, car celles-ci ne sont pas forcément rationnelles. En d'autres termes, il n'existe pas de solution simple formule de factorisation vous préférez suivre un processus de devinette.

Indépendamment de ses limites, la résolution d'équations quadratiques à l'aide de la factorisation est une bonne et rapide alternative lorsque les racines de l'équation sont très simples.

Pourquoi s'intéresser à la factorisation des fractions quadratiques ?

La factorisation joue un rôle très important dans différents contextes. Au final, la résolution d'une équation quadratique générale repose sur un processus de factorisation sophistiqué et élégant.

Souvent, vous utiliserez la factorisation dans une équation, pas nécessairement pour résoudre l'équation, mais plutôt pour regrouper les termes...

Exemple : factorisation d'équations quadratiques

Résolvez l'équation suivante en factorisant \(4x^2 + 4x + 1 = 0\)

Solution:

Nous devons essayer de résoudre l'équation quadratique suivante \(\displaystyle 4x^2+4x+1=0\) par factorisation.

Dans ce cas, nous avons que l'équation que nous devons essayer de factoriser est \(\displaystyle 4x^2+4x+1 = 0\), ce qui implique que les coefficients correspondants sont :

\[a = 4\] \[b = 4\] \[c = 1\]

Maintenant, nous devons trouver les nombres entiers qui divisent \(a\) et \(c\), qui seront utilisés pour construire nos candidats facteurs.

Les diviseurs de \(a = 4\) sont : \(\pm 1,\pm 2,\pm 4\).

Les diviseurs de \(c = 1\) sont : \(\pm 1\).

Par conséquent, en divisant chaque diviseur de \(c = 1\) par chaque diviseur de \(a = 4\), nous trouvons la liste suivante de candidats aux facteurs :

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 2},\pm \frac{ 1}{ 4}\]

Maintenant, tous les candidats doivent être testés pour voir s'ils constituent une solution. Les résultats suivants sont obtenus en testant chaque candidat :

\[\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 4 \left(-1\right)^2+4 \left(-1\right)+1 & = & \displaystyle 1 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 4 \left(1\right)^2+4 \left(1\right)+1 & = & \displaystyle 9 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{2} &:&    & \displaystyle 4 \left(-\frac{1}{2}\right)^2+4 \left(-\frac{1}{2}\right)+1 & = & \displaystyle 0 = 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{2} &:&    & \displaystyle 4 \left(\frac{1}{2}\right)^2+4 \left(\frac{1}{2}\right)+1 & = & \displaystyle 4 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{4} &:&    & \displaystyle 4 \left(-\frac{1}{4}\right)^2+4 \left(-\frac{1}{4}\right)+1 & = & \displaystyle \frac{1}{4} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{4} &:&    & \displaystyle 4 \left(\frac{1}{4}\right)^2+4 \left(\frac{1}{4}\right)+1 & = & \displaystyle \frac{9}{4} \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Ainsi, un seul des candidats, \(x = \displaystyle -\frac{1}{2}\) s'avère être une racine, donc le nous avons que l'équation quadratique donnée peut être factorisée comme \( 4 \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 = 0\).

Exemple : résolution d'équations quadratiques par factorisation

Résolvez l'équation quadratique suivante en factorisant \(x^2 + 5x + 6 = 0\)

Solution: Nous devons essayer de factoriser \(\displaystyle x^2+5x+6 = 0\), alors les coefficients correspondants sont :

\[a = 1\] \[b = 5\] \[c = 6\]

Maintenant, nous devons trouver les nombres entiers qui divisent \(a\) et \(c\), qui seront utilisés pour construire nos candidats facteurs.

Les diviseurs de \(a = 1\) sont : \(\pm 1\).

Les diviseurs de \(c = 6\) sont : \(\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\).

Par conséquent, en divisant chaque diviseur de \(c = 6\) par chaque diviseur de \(a = 1\), nous trouvons la liste suivante de candidats aux facteurs :

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 3}{ 1},\pm \frac{ 6}{ 1}\]

Maintenant, tous les candidats doivent être testés pour voir s'ils constituent une solution. Les résultats suivants sont obtenus en testant chaque candidat :

\[\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 1 \left(-1\right)^2+5 \left(-1\right)+6 & = & \displaystyle 2 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1 \left(1\right)^2+5 \left(1\right)+6 & = & \displaystyle 12 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle 1 \left(-2\right)^2+5 \left(-2\right)+6 & = & \displaystyle 0 = 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 1 \left(2\right)^2+5 \left(2\right)+6 & = & \displaystyle 20 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -3 &:&    & \displaystyle 1 \left(-3\right)^2+5 \left(-3\right)+6 & = & \displaystyle 0 = 0 \\\\ x & = & \displaystyle 3 &:&    & \displaystyle 1 \left(3\right)^2+5 \left(3\right)+6 & = & \displaystyle 30 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -6 &:&    & \displaystyle 1 \left(-6\right)^2+5 \left(-6\right)+6 & = & \displaystyle 12 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 6 &:&    & \displaystyle 1 \left(6\right)^2+5 \left(6\right)+6 & = & \displaystyle 72 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Ainsi, deux des candidats s'avèrent être des racines, \(x_1 = \displaystyle -2\) et \(x = \displaystyle -3\), donc le nous avons trouvé nos solutions, et nous pouvons factoriser l'équation donnée comme \( \displaystyle \left(x+2\right)\left(x+3\right) = 0\).

Autres calculatrices quadratiques utiles

La formule quadratique est vraiment l'une des plus importantes de l'algèbre de base, et elle a des applications dans de nombreux contextes. Vous voudrez peut-être calculer une équation quadratique vous pouvez l'exprimer en Forme du vertex il y a beaucoup de possibilités.

Il peut y avoir des éléments qui sont tous liés entre eux, comme les discriminant d'une équation quadratique , ou la axe de symétrie d'une parabole . Tous ces éléments sont étroitement liés et jouent ensemble un rôle important.