À propos des fonctions quadratiques et de cette calculatrice

Cette calculatrice vous permettra de simplifier et de représenter graphiquement toute fonction quadratique. Il vous suffit de fournir une fonction quadratique valide en x.

Il peut s'agir de quelque chose qui est déjà simplifié, comme f(x) = 2x^2 + 3x +1, ou de quelque chose qui n'est pas entièrement simplifié, comme , à condition qu'il s'agisse d'une valeur valide fonction quadratique

Une fois qu'une fonction quadratique valide est fournie, veuillez cliquer sur "Calculer" pour voir les résultats.

Les fonctions quadratiques sont très importantes en mathématiques et font partie des fonctions les plus utilisées en algèbre de base. Ses propriétés sont vraiment intuitives d'un point de vue géométrique.

Qu'est-ce qu'une fonction quadratique ?

Une fonction quadratique univariée est une fonction où la variable apparaît avec une puissance de 2, éventuellement multipliée par un coefficient, plus éventuellement des termes d'ordre inférieur. La formule quadratique est :

\[f(x) = a x^2 + b x + c \]

où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des constantes, et \(x\) est la variable de la fonction.

Graphiquement, toutes les fonctions quadratiques sont des paraboles, qui s'ouvrent vers le haut pour a > 0, et s'ouvrent vers le bas pour a < 0. La parabole décrite par la fonction \(f(x) = a x^2 + b x + c \) sera symétrique autour de la ligne verticale \(x_V = \displaystyle -\frac{b}{2a}\), que l'on appelle le Axe de symétrie .

Étapes pour savoir comment résoudre une fonction quadratique

• Étape 1 : Identifiez la fonction quadratique avec laquelle vous voulez travailler, et simplifiez-la si nécessaire jusqu'à ce que vous l'ayez sous la forme \(f(x) = a x^2 + b x + c \)
• Étape 2 : Le Equation quadratique associée à la fonction quadratique donnée est \(f(x) = a x^2 + b x + c = 0\)
• Étape 3 : Cette équation a 2 racines en général. Il peut s'agir de racines réelles ou de racines complexes conjuguées. Il existe un cas particulier où il n'y a qu'une seule racine réelle, dans ce cas on dit que les racines sont répétées
• Étape 4 : Vous pouvez essayer de trouver les racines en devinant, en testant les candidats rationnels potentiels
• Étape 5 : Si les racines ne peuvent pas être trouvées facilement en devinant, vous pouvez toujours utiliser la méthode générale suivante formule quadratique : \(x = \displaystyle \frac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)

Les types de racines que vous obtiendrez dépendent grandement de l'endroit où vous vous trouvez calcul du discriminant qui est \(\Delta = b^2 - 4ac\).

En effet, pour un discriminant positif \(\Delta = b^2 - 4ac > 0\), il y aura deux racines réelles. Graphiquement, cela indique que la parabole croise l'axe des x en deux points différents

Lorsque le discriminant est nul, \(\Delta = b^2 - 4ac = 0\), il y aura une seule racine réelle. Graphiquement, cela indique que la parabole touche l'axe des X en un seul point

Pour un discriminant négatif \(\Delta = b^2 - 4ac < 0\), il y aura deux racines complexes. Graphiquement, cela indique que la parabole ne traverse pas l'axe des x

Fonction quadratique sous forme standard

Bien que la forme quadratique générale soit \(f(x) = a x^2 + b x + c \), et qu'elle soit généralement suffisante pour connaître tout ce dont nous avons besoin sur les propriétés de la fonction quadratique, il existe d'autres formes qui sont courantes.

Nous avons la fonction quadratique sous forme standard, également connue sous le nom de Forme du vertex quand il est écrit comme

\[f(x) = a(x-h)^2 + k \]

Ceci est particulièrement utile car le point (h, k) correspond au sommet.

Quelles sont les étapes pour obtenir la forme standard d'une fonction quadratique ?

• Étape 1 : Identifiez clairement la fonction quadratique qui vous est fournie
• Étape 2 : Si elle n'est pas déjà fournie sous forme standard, simplifiez-la et mettez-la d'abord sous forme générale \(f(x) = a x^2 + b x + c \)
• Étape 3 : Une fois que vous l'avez sous forme générale, il vous suffit de Compléter le carré pour atteindre la forme standard de la fonction quadratique

Le processus consistant à compléter les carrés peut être laborieux mais il vous conduira systématiquement à la forme standard du quadratique.

Pourquoi les fonctions quadratiques sont-elles si importantes ?

Les fonctions quadratiques sont en effet cruciales, car elles jouent un rôle super important dans une myriade de problèmes d'application, notamment la maximisation et la minimisation.

Le centre de toute calculatrice algébrique commence par la puissance des nombres de base des fractions.

Exemple : forme standard du quadratique

Trouvez la forme standard de la fonction quadratique suivante : \(f(x) = 2x^2 + 2x - 1\)

Solution:

ce qui conclut le calcul.

Exemple : axe de symétrie

Trouvez l'axe de symétrie de : \(f(x) = \frac{1}{3} x^2 + \frac{5}{4}x - \frac{5}{6}\)

Solution:

ce qui conclut le calcul.

Exemple : la forme quadratique et le sommet

Trouvez le sommet de la fonction quadratique \( f(x) = \left(\frac{2}{3}(x - 2)^2 + \frac{2}{5} \).

Solution:

ce qui conclut le calcul.

Plus de calculatrices quadratiques

Il y a tant de choses que vous pouvez faire avec les fonctions quadratiques. Vous pouvez trouver les racines d'une équation quadratique vous pouvez trouver le sommet et trouver l'axe de symétrie. L'une des choses qui rendent les fonctions quadratiques si attrayantes est leur propriété géométrique très intuitive.

Par représentation graphique d'une fonction quadratique vous pouvez en savoir beaucoup sur ses racines, son sommet et son axe de symétrie.