Usando la regla de los signos de descartes

Esta calculadora te ayudará con la aplicación de la regla de los signos de Descartes, para cualquier polinomio dado que proporciones. El único requisito para ello es que el polinomio sea válido.

Por ejemplo, puede proporcionar un polinomio cúbico simple como x^3 - 2x + 1, pero también puede proporcionar uno más complicado, como x^5 - 3/4 x^4 - 1/7 x^3 + 2 x^ 2 + 2x + 1, etc

Una vez que proporcione una función polinómica , haga clic en el botón "Calcular" para obtener todos los pasos del proceso que se muestran.

Encontrar ceros polinómicos es una de las tareas más importantes en Álgebra, pero no es una tarea fácil en general. No existen fórmulas generales para todos los polinomios de todos los grados, por lo que generalmente tenemos que seguir un procedimiento sistemático para encontrar tantas raíces como podamos.

En este contexto, siempre es útil tener la mayor cantidad de información disponible sobre el tipo de raíces, y ese es uno de los objetivos de la Regla de los signos de Descartes.

¿qué establece la regla de los signos de descartes?

En términos simples, la regla de los signos de Descartes te dice algo sobre el número de raíces positivas y negativas de un polinomio, simplemente observando los signos de los coeficientes del polinomio dado.

Más precisamente, empiezas con el coeficiente principal, ignoras los coeficientes cero y vas contando los cambios de signo. El número total de cambios en el signo de coeficientes consecutivos es un límite superior para el número de raíces positivas de \(p(x)\), y el número de raíces positivas tiene la misma paridad que el número total de cambios en los signos.

Luego, haces el mismo ejercicio, pero para los coeficientes de \(p(-x)\), y lo que obtienes en ese caso es que el número total de cambios en el signo de los coeficientes consecutivos es un límite superior para el número de raíces negativas de < >, y el número de raíces negativas tiene la misma paridad que el número total de cambios de signo.

Pasos para aplicar la regla de los signos de descartes

• Paso 1: Identifica el polinomio p(x) que necesitas analizar. Asegúrate de que sea un polinomio (de lo contrario, el método no funciona) y simplificalo lo más posible
• Paso 2: Coloque los coeficientes de p(x) en una fila, comenzando por el coeficiente principal, en orden descendente y omitiendo los coeficientes cero
• Paso 3: A partir del coeficiente principal, cuente los cambios de signo entre coeficientes consecutivos, tome nota del número total de cambios de signo y llámelo T
• Paso 4: El número de ceros positivos de p(x) es como máximo T y tiene la misma paridad que T (si T es par, entonces el número de ceros positivos de p(x) es un número par, y si T es impar, entonces el número de ceros positivos de p(x) es un número impar)
• Paso 4: Repita el mismo proceso ahora para los coeficientes de p(-x), para obtener información sobre el número de ceros negativos de p(x)

Este método puede brindarle potencialmente un rango de valores posibles para la cantidad de ceros positivos (y negativos), pero también puede decirle EXACTAMENTE cuántos ceros positivos (o negativos) tiene un polinomio dado, dependiendo solo de cuántos cambios de signo tú cuentas.

¿puedo calcular los ceros reales con este método?

No, la regla de los signos de Descartes no pretende darte información sobre cuáles son las raíces reales, solo te dice algo sobre el NÚMERO de raíces positivas (y negativas).

Ahora, combinando esta información, con la teorema de la raíz racional y otras herramientas elementales, incluyendo División sintética y el teorema del factor , estará mejor equipado para observar el valor real de las raíces.

Consejos y trucos

Siempre simplificar el polinomio primero. Por ejemplo, si tiene \(p(x) = x^5 - x^3\), querrá primero \(p(x) = x^5 - x^3 = x^3(x^2 - 1)\), así sabrá que 0 es una raíz (con multiplicidad 3) y aplicará la regla de Descartes a \(x^2 - 1\) en cambio.

Ejemplo: regla de los signos de descartes

Indique el número posible de raíces positivas y negativas de \(x^4 - x^3 + x^2 + 1\)

Solución: Nos proporciona la siguiente función polinomial: \(\displaystyle x^4 - x^3 + x^2 + 1\), para lo cual debemos aplicar la Regla de los signos de Descartes.

Raíces Positivas : Los coeficientes polinómicos (de mayor a menor potencia) son:

\[\,\,+1\,\, \,\,-1\,\, \,\,+1\,\, \,\,+1\,\,\]

Encontramos que el número de cambios de signo en coeficientes consecutivos es: \(2\), y los cambios son: \(\,\,+1\,\,\) y\(\,\,-1\,\,\), \(\,\,-1\,\,\) y\(\,\,+1\,\,\).

Raíces Negativas : Los coeficientes polinómicos para \(p(-x) = x^4+x^3+x^2+1\) son:

\[\,\,+1\,\, \,\,+1\,\, \,\,+1\,\, \,\,+1\,\,\]

No se encuentran cambios de signo para los coeficientes de \(p(-x)\).

Conclusión: Con base en el número de cambios de signo encontrados, que es \(2\), concluimos que \(p(x)\) puede tener 0 o 2 raíces positivas para \(p(x) = x^4-x^3+x^2+1\).

Ahora, dado que no se encontraron cambios de signo para los coeficientes de \(p(-x)\), concluimos que NO hay ceros negativos para \(p(x) = x^4-x^3+x^2+1\).

Ejemplo: más de la regla de signos de descartes

Indique el número posible de raíces positivas y negativas de \(x^4 + x^3 + x^2 - 1\)

Solución: Ahora tenemos que analizar \(\displaystyle x^4 + x^3 + x^2 - 1\), con la regla de los signos de Descartes.

La expresión proporcionada ya está simplificada, por lo que no hay nada más que simplificar.

Raíces Positivas : Los coeficientes son:

\[\,\,+1\,\, \,\,+1\,\, \,\,+1\,\, \,\,-1\,\,\]

Observe que el número de cambios de signo en coeficientes consecutivos en este caso es igual a \(1\), y los cambios son: \(\,\,+1\,\,\) y\(\,\,-1\,\,\).

Raíces Negativas : Los coeficientes polinómicos asociados a \(p(-x) = x^4-x^3+x^2-1\) son:

\[\,\,+1\,\, \,\,-1\,\, \,\,+1\,\, \,\,-1\,\,\]

Entonces, el número de cambios de signo en coeficientes consecutivos es igual a \(3\), y los cambios son: \(\,\,+1\,\,\) y \(\,\,-1\,\,\), \(\,\,-1\,\,\) y \(\,\,+1\,\,\), \(\,\,+1\,\,\) y \(\,\,-1\,\,\)

Conclusión: Como hay un cambio de signo entre los coeficientes de \(p(x)\), concluimos que hay exactamente UN cero positivo para \(p(x) = x^4+x^3+x^2-1\).

Con base en el número de cambios de signo encontrados, que es \(3\), concluimos que \(p(x) = x^4+x^3+x^2-1\) puede tener 1 o 3 raíces negativas.

Ejemplo: signos positivos y negativos

Indica el número posible de raíces positivas y negativas de \(x^4 + 1\). ¿Puedes decir algo el número exacto de raíces positivas y negativas?

Solución: En este caso no hay cambios de signo por lo que no hay raíces positivas. Ahora, \(p(-x) = (-x)^4 + 1 = x^4 + 1\), que no tiene cambios de signo, entonces tampoco hay raíces negativas. La conclusión es que el polinomio no tiene raíces reales (ya que 0 tampoco es raíz).

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Raíces polinomiales de Hallar es uno de los puntos centrales para la mayoría de los problemas de aplicación en Cálculo y Álgebra, y es una habilidad que vale la pena dominar.

Hay muchas habilidades involucradas en el cálculo de ceros de un polinomio, y Regla De Los Signos De Descartes le brinda mucha información que se puede inferir simplemente mirando los coeficientes del polinomio.