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Calculadora de segunda derivada

Instrucciones: Use la calculadora de segunda derivada para calcular la segunda derivada (es decir, la derivada de la derivada) de cualquier función diferenciable que proporcione, mostrando todos los pasos. Escriba la función en el cuadro de formulario a continuación.

Más sobre segundas derivadas

Esta calculadora puede ayudarlo a calcular la segunda derivada de cualquier función válida que proporcione, mostrando todos los pasos del proceso. Todo lo que necesita hacer es proporcionar una función válida y diferenciable.

Una función válida podría ser f(x) = x*tan(x), o f(x) = 3x^3 + 2x - 1, etc. Podría ser cualquier función válida, y no necesariamente tiene que venir simplificada, ya que la calculadora lo simplificará, en caso de ser necesario.

Una vez que proporcione una función válida, puede hacer clic en el botón "Calcular" para obtener todos los cálculos y pasos que se muestran.

Las segundas derivadas son tremendamente prácticas en muchas aplicaciones, especialmente en Cálculo, con la prueba de la segunda derivada de maximización y minimización, para evaluar si un punto crítico es un máximo, un mínimo o ninguno.

Cual es la segunda derivada

En términos muy simples, una segunda derivada es solo la derivada de la derivada. Entonces, el proceso de calcular una segunda derivada implica calcular una derivada una vez, y luego otra vez, usando el común Reglas Derivadas . La segunda derivada de una función $f(x)$ generalmente se escribe como $f''(x)$.

La idea de la segunda derivada también se aplica a Derivadas parciales , y corresponde a la derivada dos veces, pero en este caso se puede calcular con respecto a diferentes variables.

Pasos para calcular la segunda derivada

Paso 1: Identifique la función f(x) que desea derivar dos veces, y simplificar tanto como sea posible primero
Paso 2: Deriva una vez para obtener la derivada f'(x). Simplifica la derivada obtenida si es necesario
Paso 3: Derive ahora f'(x), para obtener la segunda derivada f''(x)

Los pasos parecen ser fáciles, pero dependiendo de la función dada, la cantidad de cálculos algebraicos podría ser grande.

Notación de segunda derivada

La notación más común para la segunda derivada es $f''(x)$, lo que refleja bien el hecho de que la operación derivada, denotada por ', se aplica dos veces a la función.

Existe otra notación para la segunda derivada, que es particularmente útil cuando la función $f(x)$ se denomina 'y = y(x)'. Entonces, usamos la siguiente notación para la segunda derivada.

\[\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = \displaystyle \frac{d}{dx} \left(\frac{dy}{dx}\right) \]

Pasos para calcular las segundas derivadas de funciones implícitas

Paso 1: Identificar la ecuación que involucra x y y
Paso 2: Deriva ambos lados de la igualdad. Cada lado podría depender potencialmente de x, y e y'. Simplificar términos obvios, pero no es estrictamente necesario
Paso 3: Deriva de nuevo ambos lados de la igualdad. Cada lado podría depender potencialmente de x, y, y' e y''. Luego, resuelve para y''

Por lo general, es mucho más fácil calcular la segunda derivada por diferenciación implícita que resolver y en términos de x primero y luego derivar, en caso de que x e y estén definidas implícitamente por una ecuación, como $x^2 + y^2 = 1$.

Segunda derivada en un punto

Al igual que la derivada, la segunda derivada es una función definida punto por punto. Observe que un error común que cometen los estudiantes es pensar, ya que quiero derivar en un punto, y la función evaluada en un punto es constante, su derivada debe ser constante. EQUIVOCADO. Tú primero Calcular la derivada , y LUEGO evalúas.

Ejemplo: cálculo de la segunda derivada

Calcular la segunda derivada de: $f(x) = \cos(x^2)$

Solución: En este ejemplo, calcularemos la segunda derivada de la función $\displaystyle f(x)=\cos\left(x^2\right)$.

$ \displaystyle \frac{d}{dx}\left(\cos\left(x^2\right)\right)$

By using the Chain Rule: $\frac{d}{dx}\left( \cos\left(x^2\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(x^2\right)\cdot \left(-\sin\left(x^2\right)\right)$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x^2\right)\cdot \left(-\sin\left(x^2\right)\right)$

We use the Power Rule for polynomial terms: $\frac{d}{dx}\left( x^2 \right) = 2x$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \left(2x\right) \left(-\sin\left(x^2\right)\right)$

which then leads to

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle 2x\cdot \left(-\sin\left(x^2\right)\right)$

Finally, the following is obtained

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle -2x\sin\left(x^2\right)$

Segunda Derivada: Ahora, diferenciamos la derivada obtenida para obtener la segunda derivada:

$ \displaystyle \frac{d^2f}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(-2x\sin\left(x^2\right)\right)$

By using the Product Rule: $\frac{d}{dx}\left( \left(-1\right)\times 2x\sin\left(x^2\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(-2x\right) \cdot \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x^2\right)\right)$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(-2x\right) \cdot \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x^2\right)\right)$

By linearity, we know $\frac{d}{dx}\left( (-1)\times 2x \right) = \left(-1 \right) \cdot \frac{d}{dx}\left(2x\right)$, so plugging that in:

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \left(\left(-1 \right) \cdot \frac{d}{dx}\left(2x\right)\right) \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x^2\right)\right)$

Using the Chain Rule: $\frac{d}{dx}\left( \sin\left(x^2\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(x^2\right)\cdot \cos\left(x^2\right)$ and directly we get: $\frac{d}{dx}\left( 2x \right) = 2$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \left(\left(-1 \right) \cdot 2\right) \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot \frac{d}{dx}\left(x^2\right)\cdot \cos\left(x^2\right)$

In this case we use the Power Rule for polynomial terms: $\frac{d}{dx}\left( x^2 \right) = 2x$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \left(\left(-1 \right) \cdot 2\right) \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot 2x\cdot \cos\left(x^2\right)$

and then we find

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle -2x\cdot 2x\cos\left(x^2\right)+\left(-2\right)\sin\left(x^2\right)$

Putting together the numerical values, reducing the ones in $-2x\cdot 2x\cos\left(x^2\right) = -4x^2\cos\left(x^2\right)$ and grouping the terms with $x$ in the term $-2x\cdot 2x\cos\left(x^2\right)$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle -2\cdot 2x^2\cos\left(x^2\right)-2\sin\left(x^2\right)$

Simplifying the integers that can be multiplied together: $\displaystyle -2\times2 = -4$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle -4x^2\cos\left(x^2\right)-2\sin\left(x^2\right)$

Conclusión Final : Encontramos que la segunda derivada que buscamos es:

\[f''(x) = -4x^2\cos\left(x^2\right)-2\sin\left(x^2\right)\]

Ejemplo: más segundas derivadas

Para la siguiente función: $f(x) = x \cos(x)$, calcule su segunda derivada

Solución: Ahora, hacemos lo mismo en tis $\displaystyle f(x)=x\cos\left(x\right)$, para lo cual necesitamos calcular su derivada.

La función ya vino simplificada, por lo que podemos proceder directamente a calcular su derivada:

$ \displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\cos\left(x\right)\right)$

Using the Product Rule: $\frac{d}{dx}\left( x\cos\left(x\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \cos\left(x\right)+x \cdot \frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)\right)$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \cos\left(x\right)+x \cdot \frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)\right)$

Directly differentiating: $\frac{d}{dx}\left( \cos\left(x\right) \right) = -\sin\left(x\right)$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \cos\left(x\right)+x \left(-\sin\left(x\right)\right)$

which then leads to

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle x\cdot \left(-\sin\left(x\right)\right)+\cos\left(x\right)$

By reorganizing/simplifying/expanding the terms that are amenable to

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle -x\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)$

Cálculo De La Segunda Derivada: El siguiente paso es derivar la derivada obtenida en los pasos anteriores:

$ \displaystyle \frac{d^2f}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(-x\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)\right)$

By linearity, we know $\frac{d}{dx}\left( (-1)x\sin(x)+\cos(x) \right) = \frac{d}{dx}\left((-1)x\sin(x)\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos(x)\right)$, so plugging that in:

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\left(-1\right)x\sin\left(x\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)\right)$

Directly differentiating: $\frac{d}{dx}\left( \cos\left(x\right) \right) = -\sin\left(x\right)$ and we can use the Product Rule: $\frac{d}{dx}\left( \left(-1\right)x\sin\left(x\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(\left(-1\right)x\right) \cdot \sin\left(x\right)+\left(-1\right)x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\left(-1\right)x\right) \cdot \sin\left(x\right)+\left(-1\right)x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)-\sin\left(x\right)$

Directly differentiating: $\frac{d}{dx}\left( \sin\left(x\right) \right) = \cos\left(x\right)$ and directly we get: $\frac{d}{dx}\left( \left(-1\right)x \right) = -1$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \left(-1\right) \sin\left(x\right)+\left(-1\right)x \cdot \cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)$

and then we get

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \left(-1\right)x\cos\left(x\right)+\left(-1\right)\sin\left(x\right)+\left(-\sin\left(x\right)\right)$

Reducing the multiplication by ones in $\left(-1\right)x\cos\left(x\right) = \left(-1\right)x\cos\left(x\right)$ and

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \left(-1\right)x\cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)+\left(-\sin\left(x\right)\right)$

Simplifying:

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle -x\cos\left(x\right)-2\sin\left(x\right)$

Conclusión De La Segunda Derivada : Concluimos que la segunda derivada de la función dada es:

\[f''(x) = -x\cos\left(x\right)-2\sin\left(x\right)\]

Ejemplo: segunda derivada y diferenciación implícita

Usando diferenciación implícita, calcule la segunda derivada de y con respecto a x, para $ x^2 + y^2 = 1$.

Solución: Aplicamos diferenciación implícita, asumiendo que y depende de x, y diferenciamos ambos lados de la igualdad:

\[ \frac{d}{dx}\left(x^2 + y^2\right) = \frac{d}{dx} (1) \] \[ \Rightarrow 2x + 2yy' = 0 \]

Ahora, aplicando de nuevo la diferenciación implícita:

\[ \frac{d}{dx}\left( 2x + 2yy' \right) = \frac{d}{dx} 0 \] \[ \Rightarrow 2 + 2y'^2+2yy'' = 0 \] \[ \Rightarrow 2y'^2 + 2yy'' = -2\] \[ \Rightarrow yy'' = -1 - y'^2 \] \[ \Rightarrow y'' = \frac{-1 - y'^2}{y} \]

con lo que se concluye el cálculo.

Más calculadoras de derivadas

Cuándo encontrar la derivada de una función, es natural pensar en hacer de nuevo el proceso, que es encontrar la derivada de la derivada, y eso es precisamente lo que esta calculadora de segunda derivada hace.

El concepto de segunda derivada es bastante útil en Cálculo, especialmente a la hora de maximizar o minimizar funciones. La segunda derivada te da información sobre la concavidad de una función, que también es crucial a la hora de entender la forma de la función. gráfico de la función .

Las segundas derivadas se pueden calcular tanto para derivadas regulares como para diferenciación implícita , en el que calcula la regla de diferenciación implícita dos veces.