Ausgedehnte ausdrücke

Mit diesem Expansionsrechner können Sie einen von Ihnen angegebenen Ausdruck expandieren, wobei alle relevanten Schritte angezeigt werden. Dabei kann es sich um einen relativ einfachen Ausdruck wie 2(x-1)^2 oder um etwas Komplexeres handeln, das einige zusammengesetzte Funktionen .

Sobald ein gültiger Ausdruck eingegeben wurde, muss man nur noch auf "Berechnen" klicken, um die Ergebnisse zu erhalten, wobei alle relevanten Schritte angezeigt werden, die zeigen, wie man zur endgültigen Antwort kommt.

Die Fraktionenalgebra beinhaltet Fraktionsumwandlung wie die Verwendung des gemeinsamen Nenners und die Verwendung grundlegender arithmetischer Regeln.Alles in allem kann der Prozess der Berechnung mühsam sein, obwohl er systematisch ohne viel Problem erfolgen kann.

Was bedeutet es, einen ausdruck zu erweitern?

Das Erweitern eines Ausdrucks ist im Großen und Ganzen das Gegenteil von vereinfachung eines Ausdrucks aber es steckt mehr dahinter, denn die Begriffe sind miteinander verwoben.

Zum Beispiel, wenn Sie den Ausdruck:

\[\displaystyle 2(x+1)-3 \]

wie würden Sie ihn erweitern? Von der Bedeutung des Wortes her könnte man meinen, dass man versucht, den Ausdruck so groß wie möglich zu machen, so "erweitert" wie möglich. Unter diesem Gesichtspunkt könnte man sagen, wir haben die folgende Erweiterung:

\[\displaystyle 2(x+1)-3 = 2x + 2 - 3 \]

Ich weiß nicht, wie es Ihnen geht, aber mir kommt das ein bisschen unvollständig vor: Würden Sie den Teil "2 - 3" ohne Bearbeitung lassen wollen? Ich würde nicht, ich würde stattdessen tun

\[\displaystyle 2(x+1)-3 = 2x + 2 - 3 = 2x - 1\]

Sie sehen also, dass dieser Expansionsprozess auch eine gewisse Vereinfachung mit sich bringt. Es ist also nicht ganz richtig, dass die Erweiterung das Gegenteil der Vereinfachung ist. Das Expandieren eines Ausdrucks besteht aus Folgendem Pemdas Regeln begriffe zu verteilen, und dann geht es um eine Vereinfachung der Ausdrücke teil.

Wie kann ich einen ausdruck oder eine gleichung erweitern?

Bei der Erweiterung geht es, wie bereits erwähnt, nicht nur darum, den Begriff "so weit wie möglich auszudehnen", sondern es handelt sich um eine Mischung aus Verteilung und Vereinfachung von Begriffen. Aber es gibt auch eine Ebene der Granularität, über die Sie entscheiden müssen, denn Verteilungen sind nicht die einzigen möglichen Erweiterungen, die Sie vornehmen können.

Wir können uns zum Beispiel Operationen mit radikale Ausdrücke . Angenommen, Sie haben es mit einem einfachen Ausdruck zu tun wie

\[\displaystyle \sqrt{xy}\]

Wie würden Sie das erweitern? Würden Sie diese Erweiterung vornehmen?

\[\displaystyle \sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}\]

Obwohl dies eine gültige Operation ist, würden einige Leute ihren Sinn in Frage stellen und sagen, "warum sollte man einen Ausdruck erweitern, der bereits perfekt vereinfacht ist". Es gibt jedoch einige sinnvolle Anwendungen, z. B. kann man ein \(\sqrt y\) im Nenner haben, in diesem Fall würde man

\[\displaystyle \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}} = \displaystyle \frac{\sqrt{x} \sqrt{y}}{\sqrt{y}} = \sqrt{x}\]

was auch zu der folgenden Frage führt: Welches ist die "richtige" Erweiterung? \(\displaystyle \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}} = \displaystyle \frac{\sqrt{x} \sqrt{y}}{\sqrt{y}}\) oder \(\displaystyle \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}} = \sqrt{x}\)?

Ich hoffe, diese Punkte haben Ihnen geholfen zu erkennen, dass es nicht nur einen einzigen Weg gibt, einen Ausdruck zu erweitern. Sie sollten die folgenden Schritte befolgen, wenn Sie einen Begriff erweitern müssen:

• Schritt 1: Bestimmen Sie die Granularität Ihres Expansionsprozesses: Expandieren Sie nur durch Verteilen, oder expandieren Sie Begriffe wie Radikale unter Verwendung der Radikalregeln, trigonometrische Ausdrücke (unter Verwendung trigonometrischer Identitäten), exponentielle Ausdrücke (unter Verwendung der Potenzregel), logarithmische Ausdrücke usw.
• Schritt 2: Sobald Sie sich für die Granularität der Ausdruckserweiterung entschieden haben, müssen Sie die entsprechenden PEMDAS-Regeln befolgen, die diese Erweiterung regeln, wobei Sie die von PEMDAS festgelegten Prioritätsregeln beachten müssen
• Schritt 3: Sobald Ihr Ausdruck gemäß den vorangegangenen Schritten erweitert ist, müssen Sie bei Bedarf gleichartige Terme gruppieren und eine "Vereinfachung der Erweiterung" durchführen.
• Schritt 4 : Fertig. Sie haben nun den erweiterten Ausdruck gefunden?

Die meisten der gängigen Computeralgebrasysteme (CAS) wie Mathematica, Sage, Octave usw. verwenden beim Erweitern und Vereinfachen unterschiedliche Kriterien, was oft zu unterschiedlichen Endergebnissen führt.

Wie expandiert man exponentiale?

Wie wir bereits erwähnt haben, hängt alles von der Granularität der Expansion ab: Das heißt, welche Art von Ausdruck wollen Sie expandieren, nur die Verteilung von Multiplikationen und Additionen oder wollen Sie auch andere Typen einbeziehen.

Für den Fall der Exponentiale ergibt sich zum Beispiel direkt die Potenzregel, die besagt, dass

\[\displaystyle a^{x+y}= \displaystyle a^x a^y \]

die Ihnen genau die Erweiterung bietet, nach der Sie suchen.

Wie kann man ein polynom erweitern?

Polynome werden normalerweise mit Hilfe der Verteilungseigenschaft erweitert. Sie könnten zum Beispiel dieses Produkt von Polynomen erweitern wollen:

\[\displaystyle 2x^2(x^3+1)-4 \]

Durch Anwendung der Distributiv-Eigenschaft ergibt sich, dass

\[\displaystyle 2x^2(x^3+1)-4 = 2x^2 \cdot x^3 + 2x^2 - 4 = 2x^{2+3} + 2x^2 - 4 = 2x^5 + 2x^2 - 4 \]

Wie Sie sehen können, ist die Erweiterung von Polynomen eine relativ einfache Anwendung der Distributivitätsregel. Die Dinge können durchaus komplexer werden, wenn man verschiedene Arten von Ausdrücken mischt, aber das ausdrucksrechner erweitern wird sich nicht nur mit Polynomen befassen, sondern auch mit der Kombination verschiedener Arten von Ausdrücken, mit spezifischen Regeln, die erweitert werden müssen.

Eine andere gängige Art der Expansion für Polynome basiert auf der satz der binomischen Entwicklung die Ihnen erklärt, wie Sie eine Potenz wie \((x+y)^n\) erweitern können. Wie Sie sehen, wird die Sache immer komplizierter, und die Dinge können sehr komplex werden.

Warum sollten sie einen ausdruck erweitern?

Dafür gibt es viele Gründe, u. a. um Terme zu streichen, aber nicht nur das, denn oft können wir einen Ausdruck erweitern, um seine Struktur und Eigenschaften besser zu verstehen.

Die Frage nach wie man einen Ausdruck vereinfacht und wie man einen Ausdruck erweitert könnten auf den ersten Blick als Gegensätze erscheinen, aber wir haben gesehen, dass sie tatsächlich Hand in Hand gehen und ineinander greifen.

Beispiel für einen ausdruck in erweiterter form

Bringen Sie den folgenden Ausdruck in die erweiterte Form \(\frac{x^2}{y} ( \ln(xy)) \)

Lösung: Nehmen wir an, dass wir beschlossen haben, alle Arten von Ausdrücken zu erweitern, einschließlich logarithmischer Gleichungen. In diesem Fall hat der Ausdruck, mit dem wir es zu tun haben, einen Bruchteil, der nicht sinnvoll erweitert werden kann, aber der logarithmische Teil kann als \(\ln(xy) = \ln(x)+\ln(y)\) erweitert werden. Wir erhalten also

\[\frac{x^2}{y} ( \ln(xy)) = \frac{x^2}{y} (\ln(x)+\ln(y)) = \frac{x^2}{y} \ln(x)+ \frac{x^2}{y} \ln(y) \] \[ = \frac{x^2 \ln x}{y}+ \frac{x^2 \ln y}{y} \]

was zu dem Ausdruck in erweiterter Form führt.

Andere nützliche algebra-rechner

Das Vereinfachen und das Erweitern von Ausdrücken sind zwei komplementäre Operationen und keine entgegengesetzten Operationen. Man braucht sie beide, um Algebra auf einem effizienten Niveau zu betreiben. Zum Beispiel können Sie eine Gleichung Vereinfachen die Gleichung zu vereinfachen, was a priori bedeutet, dass die Gleichungen leichter zu lösen sind, was eine praktische Fähigkeit ist.

In Der Tat, Lösen von Gleichungen ist eine der wichtigsten Fähigkeiten in der Algebra, und Sie müssen den Prozess des Erweiterns und Vereinfachens sowie des Reduzierens und Vergrößerns vollständig beherrschen. Alle diese Fähigkeiten werden sich als nützlich erweisen.

Das Erweitern kann in anderen Zusammenhängen entscheidend sein, zum Beispiel bei der Verwendung der binomialtheorem um aufzuschlüsseln, welche Bestandteile ein Begriff hat, muss man sie zum Beispiel einzeln mit einem anderen Ausdruck abgleichen.