Factorización cuadrática
Instrucciones: Utilice esta calculadora de factorización cuadrática para factorizar y expresar una función cuadrática como producto de dos monomios, mostrando todos los pasos. Escriba la función cuadrática que necesita tener en cuenta en el cuadro de formulario a continuación.
Factorización de ecuaciones cuadráticas
Esta calculadora le permite calcular una descomposición en factores de una ecuación cuadrática que proporcione. Debe proporcionar una función cuadrática válida, por ejemplo, 5/4 x^2 +3x +1, pero también puede proporcionar una función cuadrática que no esté completamente simplificada, como 2x^2 + 2x + 1/3 + 1/ 5 + 1/4 x, por ejemplo, siempre que la ecuación cuadrática sea válida.
Naturalmente, factorizar funciones cuadráticas está estrechamente relacionado con resolver ecuaciones cuadráticas , y veremos que los factores contienen fácilmente las raíces de la ecuación cuadrática.
En realidad, encontrar las raíces de una ecuación cuadrática suele ser la forma más común de factorizar una función cuadrática. El otro método es usando el método del cero racional.
¿cómo hacer una factorización cuadrática?
Hay al menos dos enfoques sistemáticos para factorizar ecuaciones cuadráticas. Una de las formas más comunes es el método de encontrar primero las raíces de la ecuación cuadrática:
- Paso 1: Identifique la función cuadrática dada y simplifique completamente si es necesario
- Paso 2: Asegúrate de que la función tenga la forma f(x) = ax² + bx + c
- Paso 3: Usa la fórmula cuadrática: \(x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) para encontrar las raíces \(x_1\) y \(x_2\)
- Paso 4: La factorización es Use la fórmula cuadrática: f(x) = ax² + bx + c = a(x - x₁)(x-x₂)
- Paso 5: El método anterior funciona tanto si las raíces son reales como si no.
Entonces, en otras palabras, las raíces de las ecuaciones cuadráticas aparecen allí mismo en los términos monomiales.
¿cómo hacer factorización cuadrática con el cero racional?
El cero racional es un teorema que nos permite encontrar una lista de posibles candidatos racionales que podrían ser raíces de la ecuación cuadrática y, por lo tanto, podrían usarse para factorizar la ecuación.
¿cuáles son los pasos del teorema del cero racional?
- Paso 1: Identifique la función cuadrática dada y simplifique completamente si es necesario
- Paso 2: Asegúrate de que la función tenga la forma f(x) = ax² + bx + c
- Paso 3: Encuentra los divisores enteros (positivo y negativo) de c y a. Luego toma cada divisor de c y divídelo por cada divisor de a. Esto crea su lista de candidatos racionales
- Paso 4: Revise cada uno de los elementos de la lista anterior y verifique si son raíces de la ecuación cuadrática dada o no.
Este método funciona para la mayoría de los casos, pero sólo cuando el correspondiente Ecuación cuadrática tiene raíces racionales.
Resolver cuadrático por factorización
Como hemos visto anteriormente, resolver cuadráticas mediante factorización está estrechamente relacionado con factorizar la cuadrática y, de hecho, son procesos equivalentes.
De hecho, si hemos logrado factorizar una función cuadrática, entonces simplemente tenemos que mirar los términos del monomio y obtener las raíces de inmediato. .
Y a la inversa, si hemos encontrado las raíces, sabemos que la factorización es simplemente a(x - x₁)(x-x₂).
Ejemplo: ejemplo de método de factorización
Factorizar: \(f(x) = x^2 - 3x - 5\)
Solución:
Se nos proporciona la siguiente expresión cuadrática: \(\displaystyle x^2-3x-5\).
En este caso, tenemos que la ecuación que debemos tratar de factorizar es \(\displaystyle x^2-3x-5 = 0\), lo que implica que los coeficientes correspondientes son:
\[a = 1\] \[b = -3\] \[c = -5\]Ahora, necesitamos encontrar los números enteros que dividen \(a\) y \(c\), que se utilizarán para construir nuestros candidatos a factores.
Los divisores de \(a = 1\) son: \(\pm 1\).
Los divisores de \(c = -5\) son: \(\pm 1,\pm 5\).
Por tanto, dividiendo cada divisor de \(c = -5\) por cada divisor de \(a = 1\), encontramos la siguiente lista de candidatos a factores:
\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 5}{ 1}\]Ahora, todos los candidatos necesitan ser probados para ver si son una solución. De la prueba de cada candidato se obtiene lo siguiente:
\[\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:& & \displaystyle 1 \left(-1\right)^2-3 \left(-1\right)-5 & = & \displaystyle -1 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:& & \displaystyle 1 \left(1\right)^2-3 \left(1\right)-5 & = & \displaystyle -7 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -5 &:& & \displaystyle 1 \left(-5\right)^2-3 \left(-5\right)-5 & = & \displaystyle 35 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 5 &:& & \displaystyle 1 \left(5\right)^2-3 \left(5\right)-5 & = & \displaystyle 5 \ne 0 \\\\ \end{array}\]Entonces, ninguno de los candidatos es raíz, y por lo tanto, este método no nos permite encontrar los factores.
Usando la fórmula cuadrática
Como no pudimos encontrar las raíces usando los posibles candidatos racionales, solo usamos la fórmula cuadrática. Se obtiene lo siguiente:
Para una ecuación cuadrática de la forma \(a x^2 + bx + c = 0\), las raíces se calculan usando la siguiente fórmula:
\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]En este caso, tenemos que la ecuación que debemos resolver es \(\displaystyle x^2-3x-5 = 0\), lo que implica que los coeficientes correspondientes son:
\[a = 1\] \[b = -3\] \[c = -5\]Primero, calcularemos el discriminante para evaluar la naturaleza de las raíces. La discriminación se calcula como:
Como en este caso tenemos el discriminante \(\Delta = \displaystyle 29 > 0\), que es positivo, sabemos que la ecuación tiene dos raíces reales diferentes.
Ahora, reemplazando estos valores en la fórmula de las raíces obtenemos:
\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{3 \pm \sqrt{\left(-3\right)^2-4\left(1\right)\left(-5\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}\]entonces, encontramos que:
\[ x_1 = -\frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2} \] \[x_2 = \frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2}\]Por lo tanto, la ecuación dada \(\displaystyle x^2-3x-5=0\) tiene dos raíces reales diferentes, que son \(x_1 = \displaystyle -\frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2}\) y \(x_2 = \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2}\).
Por lo tanto, dado que hay dos raíces reales, la función cuadrática dada se puede factorizar como
\[ \displaystyle x^2-3x-5 = \displaystyle \left(x+\frac{1}{2}\sqrt{29}-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{29}-\frac{3}{2}\right)\]Ejemplo: factorización de expresiones cuadráticas
Calcule la factorización de: \( 3x^2 - 2x + 15\). ¿Es real la factorización?
Solución:
Se nos proporciona la siguiente expresión cuadrática: \(\displaystyle 3x^2-2x+15\).
En este caso, tenemos que la ecuación que debemos tratar de factorizar es \(\displaystyle 3x^2-2x+15 = 0\), lo que implica que los coeficientes correspondientes son:
\[a = 3\] \[b = -2\] \[c = 15\]Ahora, necesitamos encontrar los números enteros que dividen \(a\) y \(c\), que se utilizarán para construir nuestros candidatos a factores.
Los divisores de \(a = 3\) son: \(\pm 1,\pm 3\).
Los divisores de \(c = 15\) son: \(\pm 1,\pm 3,\pm 5,\pm 15\).
Por tanto, dividiendo cada divisor de \(c = 15\) por cada divisor de \(a = 3\), encontramos la siguiente lista de candidatos a factores:
\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 3}{ 1},\pm \frac{ 3}{ 3},\pm \frac{ 5}{ 1},\pm \frac{ 5}{ 3},\pm \frac{ 15}{ 1},\pm \frac{ 15}{ 3}\]Ahora, todos los candidatos necesitan ser probados para ver si son una solución. De la prueba de cada candidato se obtiene lo siguiente:
\[\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:& & \displaystyle 3 \left(-1\right)^2-2 \left(-1\right)+15 & = & \displaystyle 20 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:& & \displaystyle 3 \left(1\right)^2-2 \left(1\right)+15 & = & \displaystyle 16 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{3} &:& & \displaystyle 3 \left(-\frac{1}{3}\right)^2-2 \left(-\frac{1}{3}\right)+15 & = & \displaystyle 16 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{3} &:& & \displaystyle 3 \left(\frac{1}{3}\right)^2-2 \left(\frac{1}{3}\right)+15 & = & \displaystyle \frac{44}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -3 &:& & \displaystyle 3 \left(-3\right)^2-2 \left(-3\right)+15 & = & \displaystyle 48 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 3 &:& & \displaystyle 3 \left(3\right)^2-2 \left(3\right)+15 & = & \displaystyle 36 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -5 &:& & \displaystyle 3 \left(-5\right)^2-2 \left(-5\right)+15 & = & \displaystyle 100 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 5 &:& & \displaystyle 3 \left(5\right)^2-2 \left(5\right)+15 & = & \displaystyle 80 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{5}{3} &:& & \displaystyle 3 \left(-\frac{5}{3}\right)^2-2 \left(-\frac{5}{3}\right)+15 & = & \displaystyle \frac{80}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{5}{3} &:& & \displaystyle 3 \left(\frac{5}{3}\right)^2-2 \left(\frac{5}{3}\right)+15 & = & \displaystyle 20 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -15 &:& & \displaystyle 3 \left(-15\right)^2-2 \left(-15\right)+15 & = & \displaystyle 720 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 15 &:& & \displaystyle 3 \left(15\right)^2-2 \left(15\right)+15 & = & \displaystyle 660 \ne 0 \\\\ \end{array}\]Entonces, ninguno de los candidatos es raíz, y por lo tanto, este método no nos permite encontrar los factores.
Usando la fórmula cuadrática
Como no pudimos encontrar las raíces usando los posibles candidatos racionales, solo usamos la fórmula cuadrática. Se obtiene lo siguiente:
Para una ecuación cuadrática de la forma \(a x^2 + bx + c = 0\), las raíces se calculan usando la siguiente fórmula:
\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]En este caso, tenemos que la ecuación que debemos resolver es \(\displaystyle 3x^2-2x+15 = 0\), lo que implica que los coeficientes correspondientes son:
\[a = 3\] \[b = -2\] \[c = 15\]Primero, calcularemos el discriminante para evaluar la naturaleza de las raíces. La discriminación se calcula como:
Dado que en este caso obtenemos que el discriminante es \(\Delta = \displaystyle -176 < 0\), que es negativo, sabemos que la ecuación dada tiene dos raíces complejas conjugadas diferentes.
Ahora, reemplazando estos valores en la fórmula de las raíces obtenemos:
\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{\left(-2\right)^2-4\left(3\right)\left(15\right)}}{2\cdot 3} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{-176}}{6}\]entonces, encontramos que:
\[\displaystyle x_1 = \frac{2 - i \sqrt{176}}{6} = \frac{1}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{11}\] \[\displaystyle x_2 = \frac{2 + i \sqrt{176}}{6} = \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{11}\]Por lo tanto, la ecuación dada \(\displaystyle 3x^2-2x+15=0\) tiene dos raíces complejas conjugadas diferentes, que son \(x_1 = \displaystyle \frac{1}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{11}\) y \(x_2 = \displaystyle \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{11}\).
Por lo tanto, dado que hay dos raíces complejas, la función cuadrática dada tiene la siguiente factorización compleja:
\[ \displaystyle 3x^2-2x+15 = \displaystyle 3 \left(x-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{11}\right)\left(x-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{11}\right)\]Ejemplo: cómo resolver ecuaciones cuadráticas
Resuelve la siguiente ecuación cuadrática por factorización: \( x^2 +3x +\frac{9}{4} = 0 \).
Solución:
Se nos proporciona la siguiente expresión cuadrática: \(\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4}\).
En este caso, tenemos que la ecuación que debemos tratar de factorizar es \(\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4} = 0\), lo que implica que los coeficientes correspondientes son:
\[a = 1\] \[b = 3\] \[c = \frac{9}{4}\]Ahora, necesitamos encontrar los números enteros que dividen \(a\) y \(c\), que se utilizarán para construir nuestros candidatos a factores.
Los divisores de \(a = 1\) son: \(\pm 1\).
El coeficiente \(c = \frac{9}{4}\) no tiene divisores enteros.
Por lo tanto, no podemos usar este método para encontrar factores.
Usando la fórmula cuadrática
Como no pudimos encontrar las raíces usando los posibles candidatos racionales, solo usamos la fórmula cuadrática. Se obtiene lo siguiente:
Para una ecuación cuadrática de la forma \(a x^2 + bx + c = 0\), las raíces se calculan usando la siguiente fórmula:
\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]En este caso, tenemos que la ecuación que debemos resolver es \(\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4} = 0\), lo que implica que los coeficientes correspondientes son:
\[a = 1\] \[b = 3\] \[c = \frac{9}{4}\]Primero, calcularemos el discriminante para evaluar la naturaleza de las raíces. La discriminación se calcula como:
Como en este caso obtenemos que el discriminante es \(\Delta = \displaystyle 0 = 0\), que es cero, sabemos que la ecuación tiene una sola raíz real.
Ahora, reemplazando estos valores en la fórmula de las raíces obtenemos:
\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{-3 \pm \sqrt{\left(3\right)^2-4\left(1\right)\left(\frac{9}{4}\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{-3 \pm \sqrt{0}}{2}\]entonces, encontramos que:
\[x = -\frac{3}{2}\]Por lo tanto, la ecuación dada \(\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4}=0\) tiene solo una raíz real, que es \(x = \displaystyle -\frac{3}{2}\).
Por lo tanto, dado que solo hay una raíz real, la función cuadrática dada se puede factorizar como
\[ \displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4} = \displaystyle \left(x+\frac{3}{2}\right)^2\]Más calculadoras cuadráticas
La importancia de expresiones cuadráticas no puede ser exagerado. resolver ecuaciones cuadráticas será una de tus herramientas más poderosas cuando trabajes en Álgebra en todo tipo de aplicaciones. .
El gráfica de la función cuadrática tiene la forma de una parábola, que tiene todo tipo de simetrías notables, con una vértice que representa un punto notable en la parábola que la "soporta", y una orientación que se define según se abra hacia arriba o hacia abajo.
