Completar la calculadora cuadrada

¿Cuál es el significado de completar el cuadrado? Bueno, la idea es tener el cuadrado de algo. Siempre que tenga una expresión cuadrática de la forma \(ax^2 + bx + c\), querrá tenerla como el "cuadrado de algo".

Analizando la expresión, el único cuadrado que ves es la parte \(a x^2\), que contiene el cuadrado de \(x\), pero luego tienes otras cosas aparte del cuadrado. Matemáticamente, siempre es posible poner una expresión cuadrática de la forma \(ax^2 + bx + c\) como el "cuadrado de algo", pero potencialmente necesitaríamos agregar una constante.

A veces, si esa constante es cero, obtendríamos lo que se llama un cuadrado perfecto .

¿Cómo completar el cuadrado? Completando los cuadrados, o perfeccionando el cuadrado como también se le conoce, es simplemente el proceso de poner una expresión cuadrática \(ax^2 + bx + c\) en la forma del cuadrado de una expresión simple, más posiblemente una constante. El procedimiento es sencillo y consta de varios pasos.

¿cómo se completa el cuadrado?

Paso 1: Asegúrese de que la expresión pasada sea cuadrática, con un coeficiente distinto de cero que multiplique el término \(x^2\). Si ese no es el caso, no puede hacer este procedimiento.

Paso 2: Ahora que tiene un término cuadrático adecuado \(ax^2 + bx + c\), debe factorizar \(a\) (el término que multiplica a \(x^2\)). Si \(a = 1\), lo dejas como está.

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) \]

Paso 3: Ahora necesitaremos mirar el término que está dentro de los paréntesis (o el término original si es \(a = 1\)). Observa que para una constante \(d\), tenemos que \((x+d)^2 = x^2 + 2dx + d^2\). Entonces, observamos que

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = \displaystyle a\left(x^2 + 2 \left(\frac{b}{2a}\right)x + \frac{c}{a}\right) \]

Entonces, el término \(2 \left(\frac{b}{2a}\right)x \) en la expresión anterior es terriblemente similar al \(d\) en \((x+d)^2 = x^2 + 2dx + d^2\). De hecho, podemos hacer

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = \displaystyle a\left(x^2 + 2 \left(\frac{b}{2a}\right)x + \frac{c}{a}\right) \] \[ = \displaystyle a\left(x^2 + 2 \left(\frac{b}{2a}\right)x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}\right) \] \[ = \displaystyle a \left( \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{c}{a} \right) \] \[ = \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c \]

Este proceso se llama resolver completando el cuadrado o perfeccionando el cuadrado .

Ejemplos de completar los cuadrados

Considere la expresión: \(2x^2 + 2x + 1\). Primero, factorizamos 2:

\[ 2x^2 + 2x + 1 = \displaystyle 2\left(x^2 + x + \frac{1}{2}\right)\]

Podemos memorizar la fórmula dada arriba, o puedes seguir el procedimiento de "forzar" el cuadrado". Creo que esta última es la mejor opción, porque definitivamente puedes olvidar la fórmula, pero no olvidarás el procedimiento una vez. lo aprendes. Entonces, miramos el término \(x\) y forzamos el 2 delante de él. Entonces obtenemos

\[ 2x^2 + 2x + 1 = \displaystyle 2\left(x^2 + x + \frac{1}{2}\right)= \displaystyle 2\left(x^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)x + \frac{1}{2}\right)\]

Ahora, observe el término entre paréntesis a la izquierda de \(x\). Elevamos al cuadrado el término y lo sumamos y lo restamos: \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \), por lo que esencialmente estamos sumando 0, por lo que la expresión no cambia:

\[ 2x^2 + 2x + 1 = \displaystyle 2\left(x^2 + x + \frac{1}{2}\right)= \displaystyle 2\left(x^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)x + \frac{1}{2}\right)\] \[ = \displaystyle 2\left(x^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)x + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\right) \]

Entonces ahora podemos identificar los tres primeros términos como un cuadrado perfecto, por lo que obtenemos:

\[ = \displaystyle 2\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\right) \] \[ = \displaystyle 2\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\right) \] \[ = \displaystyle 2\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} \right) \] \[ = \displaystyle 2 \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} \]

¿por qué se llama el por qué es?

Quizás se pregunte por qué el procedimiento de completar el cuadrado se llama completar el cuadrado. Bueno, lo mencioné al principio, lo que estamos tratando de hacer es obtener una expresión cuadrática y reescribirla como el "cuadrado de algo", y eso se hace agregando la constante correcta para que literalmente "completamos el cuadrado". Sumando (y restando) esta constante, obtenemos un cuadrado perfecto, más una constante, que permite encontrar ese "cuadrado de algo" que buscábamos

Resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado

Curiosamente, completar el cuadrado es equivalente a resolver una ecuación cuadrática. De hecho, si queremos resolver

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

ahora sabemos que podemos completar el cuadrado para obtener:

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c \]

obtenemos que resolver la ecuación cuadrática es lo mismo que resolver

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = 0\]

por lo que entonces

\[ \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = 0 \] \[ \Rightarrow a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2}{4a} - c\] \[ \Rightarrow \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}\] \[ \Rightarrow x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } \] \[ \Rightarrow x = - \frac{b}{2a} \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } \] \[ \Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

Entonces, como puede usar, si completa el cuadrado para resolver una ecuación cuadrática es exactamente lo mismo que usar la fórmula cuadrática tradicional.

Otras calculadoras relacionadas

Usted puede estar interesado en nuestro calculadora de ecuaciones cuadráticas , si desea calcular raíces utilizando la fórmula de ecuación cuadrática tradicional.