Expresiones en expansión

Esta calculadora de expansión le permitirá expandir una expresión que proporcione, mostrando todos los pasos relevantes. Puede ser una expresión relativamente simple como 2(x-1)^2, o podría ser algo más complejo que involucre algunos funciones compuestas .

Una vez que se proporciona una expresión válida, todo lo que queda por hacer es hacer clic en "Calcular" para obtener los resultados, con todos los pasos relevantes mostrados, mostrando cómo llegar a la respuesta final.

El álgebra de fracciones implica la conversión de fracciones, como el uso del denominador común y el uso de reglas aritméticas básicas. Con todo, el proceso de cálculo puede resultar laborioso, aunque se puede realizar de forma sistemática, sin mayor problema.

¿qué significa expandir una expresión?

En gran medida, expandir una expresión es algo así como lo opuesto a simplificando una expresión , pero hay más, ya que los términos están entrelazados entre sí.

Por ejemplo, si tienes la expresión:

\[\displaystyle 2(x+1)-3 \]

¿Cómo lo ampliarías? Por el significado de la palabra, se podría pensar que estás intentando que la expresión sea lo más grande posible, lo más "ampliada" posible. Bajo esa luz, se podría decir, tenemos la siguiente expansión:

\[\displaystyle 2(x+1)-3 = 2x + 2 - 3 \]

No sé ustedes, pero a mí eso me parece un poco incompleto: ¿le gustaría dejar la parte "2 - 3" sin procesar? Yo no lo haría, más bien lo haría

\[\displaystyle 2(x+1)-3 = 2x + 2 - 3 = 2x - 1\]

Como puede ver, hay un poco de simplificación en este proceso de expansión. Por tanto, no es del todo cierto que expandir sea lo opuesto a simplificar. Expandir una expresión consiste en seguir reglas PEMDAS distribuir términos, y luego implica una simplificación de expresiones parte.

¿cómo amplío una expresión o una ecuación?

El proceso de expansión, como mencionamos antes, no se trata sólo de hacer que el término sea “lo más expandido posible”, sino que es una mezcla de distribución y simplificación de términos. Pero también hay un nivel de granularidad que debes decidir, porque las distribuciones no son las únicas expansiones posibles a realizar.

Por ejemplo, podemos pensar en operaciones con expresiones radicales . Supongamos que se trata de una expresión simple como

\[\displaystyle \sqrt{xy}\]

¿Cómo ampliarías eso? ¿Harías esta expansión?

\[\displaystyle \sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}\]

Aunque se trata de una operación válida, algunas personas cuestionarían su sentido diciendo "¿por qué expandirías una expresión que ya está perfectamente simplificada". Pero hay algunos usos válidos, por ejemplo, puedes tener un \(\sqrt y\) en el denominador, en cuyo caso tendrías

\[\displaystyle \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}} = \displaystyle \frac{\sqrt{x} \sqrt{y}}{\sqrt{y}} = \sqrt{x}\]

lo que también lleva a la siguiente pregunta, ¿cuál es la expansión "correcta": \(\displaystyle \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}} = \displaystyle \frac{\sqrt{x} \sqrt{y}}{\sqrt{y}}\) o \(\displaystyle \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}} = \sqrt{x}\)?

Espero que estos puntos te hayan ayudado a darte cuenta de que no existe una forma única de expandir una expresión. Debe seguir los siguientes pasos cuando necesite ampliar un término:

• Paso 1: Identifique la granularidad de su proceso de expansión: ¿se expandirá distribuyendo únicamente, o expandirá términos como radicales usando las reglas de los radicales, expresiones trigonométricas (usando identidades trigonométricas), expresiones exponenciales (usando la regla de la potencia), expresiones logarítmicas , etc.
• Paso 2: Una vez que haya decidido la granularidad de la expansión de expresión a la que se comprometerá, deberá seguir las reglas PEMDAS correspondientes que regirán dicha expansión, prestando atención a las reglas de prioridad establecidas por PEMDAS
• Paso 3: Una vez que su expresión se haya expandido de acuerdo con los pasos anteriores, deberá agrupar los términos semejantes si es necesario, realizando una "simplificación de la expansión".
• Paso 4 : Listo. ¿Ya has encontrado la expresión ampliada?

La mayoría de los sistemas de álgebra informática que existen (CAS), como Mathematica, Sage, Octave, etc., utilizan diferentes criterios al expandir y simplificar, lo que muchas veces conduce a diferentes resultados finales.

¿cómo se expanden las exponenciales?

Como mencionamos antes, todo depende de la granularidad de la expansión: es decir, qué tipo de expresión desea expandir, solo distribución de multiplicaciones y sumas, o incluirá otros tipos.

Para el caso de exponenciales, por ejemplo, se sigue directamente la regla de la potencia que establece que

\[\displaystyle a^{x+y}= \displaystyle a^x a^y \]

lo que te brinda ahí mismo la expansión que buscas.

¿cómo se expande un polinomio?

Los polinomios normalmente se expanden utilizando la propiedad de distribución. Por ejemplo, es posible que desees expandir este producto de polinomios:

\[\displaystyle 2x^2(x^3+1)-4 \]

Aplicando la propiedad distributiva encontramos que

\[\displaystyle 2x^2(x^3+1)-4 = 2x^2 \cdot x^3 + 2x^2 - 4 = 2x^{2+3} + 2x^2 - 4 = 2x^5 + 2x^2 - 4 \]

Como puede ver, la expansión de polinomios implica un uso relativamente simple de la regla de distributividad. Definitivamente las cosas pueden volverse más complejas al mezclar diferentes tipos de expresiones, pero esto ampliar calculadora de expresión Se tratará no sólo de polinomios sino también de la combinación de diferentes tipos de expresión, con reglas específicas que se ampliarán.

Otro tipo común de expansión de polinomios se basa en la teorema de expansión binomial , que te dice cómo expandir un poder como \((x+y)^n\). Como puede ver, la trama se complica y las cosas pueden volverse realmente complejas.

¿por qué querrías expandir una expresión?

Hay muchas razones, incluida la de cancelar términos, pero no solo eso, ya que muchas veces podemos ampliar la expresión para comprender un poco mejor su estructura y propiedades.

La pregunta de cómo simplificar una expresión y cómo expandir una expresión A primera vista podrían parecer opuestos, pero hemos visto que en realidad van de la mano y se entrelazan.

Ejemplo de una expresión en forma expandida

Ponga la siguiente expresión en forma desarrollada \(\frac{x^2}{y} ( \ln(xy)) \)

Solución: Supongamos que hemos decidido ampliar todo tipo de expresiones, incluidas las ecuaciones logarítmicas. En este caso, la expresión que estamos tratando tiene un término fraccionario que no se puede expandir de ninguna manera significativa, pero la parte logarítmica se puede expandir como \(\ln(xy) = \ln(x)+\ln(y)\). Entonces obtenemos

\[\frac{x^2}{y} ( \ln(xy)) = \frac{x^2}{y} (\ln(x)+\ln(y)) = \frac{x^2}{y} \ln(x)+ \frac{x^2}{y} \ln(y) \] \[ = \frac{x^2 \ln x}{y}+ \frac{x^2 \ln y}{y} \]

lo que lleva a la expresión en forma expandida.

Otras calculadoras de álgebra útiles

Simplificar y expandir expresiones son dos operaciones complementarias y no opuestas. Los necesitas a ambos para realizar Álgebra a un nivel eficiente. Por ejemplo, es posible que desee utilizar un Simplificación de ecuaciones simplificar ecuaciones, lo que a priori implica hacer que las ecuaciones sean más fáciles de resolver, una habilidad práctica que hay que tener.

En Efecto, Resolver ecuaciones es una de las habilidades más cruciales en Álgebra, y es necesario tener total fluidez en el proceso de expandir y simplificar, así como de reducir y aumentar. Todas esas habilidades te serán útiles.

La expansión puede ser crucial en otros contextos, por ejemplo, cuando se utiliza el teorema del binomio , por lo que para desglosar qué componentes tiene un término, por ejemplo, hay que relacionarlos uno por uno con otra expresión.