Factorización de polinomios

Este tipo de calculadora de polinomios es un tipo de calculadora de polinomios que te permitirá poner una expresión como multiplicación de factores irreducibles.

Todo lo que necesitas hacer es proporcionar un polinomio que quieras factorizar. Puede ser un polinomio de grado inferior que ya viene simplificado, como x^2 - 2x + 3, o puedes proporcionar polinomios de orden superior que requieran simplificación, como x^4 - x + 2x^4 - x^3 + 1.

Una vez que proporcione una expresión polinomial , lo que debe hacer a continuación es hacer clic en el botón "Calcular" y luego se le mostrarán todos los pasos del proceso.

Aunque se encuentran entre las expresiones más simples para factorizar, los polinomios siguen siendo difíciles de manejar en general, especialmente con polinomios de grado superior a 5.

Cómo factorizar polinomios

Existe una única forma sistemática de factorizar polinomios es encontrar sus raíces o ceros. Conociendo sus raíces podrás encontrar sus factores, debido al Teorema Fundamental del Álgebra.

Por ejemplo, para un polinomio de grado 3, si hay tres raíces \(x_1\), \(x_2\) y \(x_3\), el Teorema Fundamental del Álgebra dice que el polinomio se puede escribir como:

\[\displaystyle p(x) = a (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) \]

para una constante \(a\), y lo mismo sucedería para un polinomio de grado \(n\), con \(n\) raíces \(x_1\), \(x_2\), ...., \(x_{n-1}\) y \(x_n\), que pueden ser Escrito como:

\[\displaystyle p(x) = a (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)....(x-x_n) \]

¿cuáles son los pasos para factorizar polinomios?

• Paso 1: Identifica el polinomio que necesitas factorizar y hazlo obvio simplificaciones de expresiones Si alguna
• Paso 2: Encuentra el raíces polinómicas , utilizando un método adecuado, dependiendo del grado del polinomio
• Paso 3: Si el polinomio tiene grado 2, use la Fórmula cuadrática , de lo contrario, utilice el Teorema del cero racional
• Etapa 4: Una vez que hayas encontrado todas las raíces, puedes expresar la factorización final como \(\displaystyle p(x) = a (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)....(x-x_n) \)

Lo bueno de encontrar raíces de polinomios es que puedes ir encontrando una raíz a la vez y simplificando progresivamente el problema. Déjame mostrarte cómo:

Supongamos que tienes un polinomio \(P(x)\) y quieres encontrar todas sus raíces. Digamos que el polinomio tiene grado 5, por lo que esperas 5 raíces, algunas de ellas no reales (complejas).

Digamos que por pura suerte encontró una raíz, digamos que la llamamos \(x_1\). Entonces, por el Teorema Fundamental del Álgebra sabes que \(x-x_1\) divide a \(P(x)\), entonces \(P(x) = Q(x)(x-x_1)\), donde \(Q(x)\) es un polinomio de grado 4.

Quizás se pregunte "¿Cómo obtengo Q(x)?". \(Q(x)\) simple se obtiene usando División larga para dividir \(P(x)\) por \(x-x_1\). Sabemos que el el resto es cero porque \(x_1\) es una raíz.

No olvides que estás intentando resolver \(P(x) = 0\), así que ahora tenemos que resolver \(Q(x)(x-x_1)\), que se reduce a resolver \(Q(x) = 0\). Así que ahora tienes otro Ecuación polinómica , sólo que más simple que el original. Y luego continúas con este tratando de encontrar una solución y repitiendo el proceso.

¿existe una forma más sencilla de factorizar completamente polinomios?

No precisamente. Como anécdota, puedes factorizar explotando algunas estructuras específicas, puedes factorizar agrupando si es posible, o puedes explotar algunas oportunidades factoriales obvias, como por ejemplo una expresión como \(x^4 + x^2\) obviamente se presta para factorizar \(x^2\).

Pero todos estos trucos dependen de la estructura, lo que significa que necesitan una estructura simplificada específica para funcionar, y de ninguna manera son formas generales de abordar el problema.

Para los polinomios, la ecuación factorizada y las raíces reales proporcionan la misma información, excepto por una constante, que es la constante que va con el término principal (el término con el exponente más alto).

Por qué factorizar polinomios

Muy sencillo, porque es la forma de resolver ecuaciones. No podemos omitir el proceso de factorización de polinomios porque está estrechamente relacionado con el proceso de resolución de ecuaciones polinomiales.

Lo mismo ocurre con las ecuaciones más generales, donde la factorización puede ayudar a descomponer una ecuación complicada en otras más simples. Resolver ecuaciones se divide en problemas más simples si puede factorizar y reducir expresiones de manera efectiva.

Ejemplo: uso de factorización polinomial para resolver ecuaciones

Resuelve la siguiente ecuación: \(x^5 = -x^3\)

Solución: El enfoque habitual consiste en poner todo en un lado de la ecuación. Si su primer reflejo es cancelar x^2 de ambos lados de la ecuación, absténgase porque perderá soluciones al hacerlo. Verás por qué. Entonces empezamos así

\[x^5 = -x^3 \Rightarrow x^5 + x^3 = 0\]

y ahora podemos factorizar \(x^2\):

\[x^5 = -x^3 \Rightarrow x^5 + x^3 = 0 \Rightarrow x^2(x^3 + 1)\]

Ahora usamos el viejo truco que nos dice que \(x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)\), lo que significa que

\[x^2(x^3+1) = x^2 (x+1)(x^2-x+1)\]

Ahora que tienes el lado izquierdo de la ecuación completamente factorizado, vemos que necesitamos resolver

\[x^5 = -x^3 \Rightarrow x^2(x^3+1) = x^2 (x+1)(x^2-x+1) = 0\]

entonces necesitamos resolver:

\[x^2 (x+1)(x^2-x+1) = 0\]

Ahora usamos sus factores para encontrar las soluciones, todo lo que tenemos que hacer es igualar los factores a cero. Las soluciones de la ecuación son \(x = 0\), \(x = -1\) y \(x = \frac{-1 \pm i\sqrt 3}{2}\).

Más calculadoras de polinomios

Los polinomios son objetos muy útiles en Álgebra, Cálculo en Física, y son lo suficientemente simples como para tener algunos teoremas muy generales y útiles, como el Teorema Fundamental del Álgebra (que establece que todos ecuaciones polinómicas tiene muchas soluciones complejas como su grado).

Sin embargo, los polinomios son lo suficientemente difíciles como para proporcionarnos algunos ecuaciones polinómicas y desigualdades polinomiales que no se puede resolver con métodos elementales, y tendrás que intentar reducir el grado del polinomio usando el División de polinomios y el Teorema Del Resto .

Entonces, cuando se trata de objetos que son más complejos que los polinomios, es razonable pensar que necesitará un Calculadora de factores que pueden detectar estructuras complejas y aplicar identidades diversas para llegar a una factorización adecuada, y en última instancia, no siempre es posible.