Synthetischer substitutionsrechner

Dieser Taschenrechner kann Ihnen bei der Bewertung eines Polynoms \(p(x)\) an einem bestimmten Punkt \(x = a\) helfen.Damit der Taschenrechner ausgeführt werden kann, müssen Sie ein gültiges Polynom jeder Bestellung und einen gültigen numerischen Ausdruck bereitstellen.

Sie möchten beispielsweise einen Punkt am Polynom x^5 + 10x^3 - 2x - 12 bewerten, und der Punkt, den Sie bewerten möchten, ist 1/3.

Das Polynom muss nicht vereinfacht werden, solange es ein gültiges Polynom ist.Zum Beispiel können Sie x^5 + 10x^3 - 2x - x + 3 - 1/3 eingeben, und der Taschenrechner wird zuerst Vereinfachen Sie das Polynom vor dem Durchführen der Synthetische Substitution .

Sobald Sie ein gültiges Polynom- und einen numerischen Ausdruck bereitgestellt haben, können Sie auf "Berechnen" klicken, um die angezeigten Schritte des angegebenen Prozesses zu erhalten Synthetische Abteilung ..

Warum synthetische substitution verwenden?

Die synthetische Substitution ist einfach eine Möglichkeit, einen Wert auf einem bestimmten Polynom zu bewerten.Dies ist, Sie haben einen Wert \(x = a\) und ein Polynom \(p(x)\) und Sie möchten das Polynom am angegebenen Wert bewerten, sodass Sie den Wert von \(p(a)\) erhalten möchten.

Die Frage ist nun, warum nicht einfach den Wert von x = a in P (x) einschalten?Zum Beispiel mit dem Polynom \(p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12\) und dem Wert \(x = \displaystyle \frac{1}{3}\) müssten wir berechnen

\[\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = \displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^5 + 10\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\cdot \left(\frac{1}{3}\right) - 12 \]

Obwohl es machbar ist, fühlt sich die obige Berechnung an, hmmmmm, nicht einladend, um es gelinde auszudrücken.Gibt es also eine bessere und einfachere Möglichkeit, \(x = \displaystyle \frac{1}{3}\) durch das Polynom zu bewerten \(p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12\) ??Sie wetten, dass es gibt?

Es stellt sich heraus, dass aufgrund der Restsatz Wenn Sie ein Polynom haben \(p(x)\), und Sie es durch << x b >> trennen, dann ist der Rest gleich << xyz >>.

Magie, richtig?Sie müssen also nur das Polynom \(p(x)\) nehmen und eine Polynomabteilung mit \(x-a\) verwenden Synthetische Abteilung (du kannst Verwenden Sie Lange Division Auch, aber es ist etwas umständlicher)

Schritte zur verwendung synthetischer substitution

• Schritt 1: Identifizieren Sie das Polynom -P (x), mit dem Sie arbeiten, und den Wert x = a möchten das Polynom bei bewerten
• Schritt 2: Wenn der Grad des Polynoms Null ist, dann ist das Polynom konstant und P (a) ist auch die Konstante
• Schritt 3: Angenommen, das Polynom hat Grad 1 oder höher.Wenden Sie synthetische Aufteilung auf die Dividende P (x) und Divisor x - a an
• Schritt 4: Sobald Sie fertig sind, schauen Sie sich die letzte Spalte an und Sie werden den numerischen Rest finden.Sie werden dann haben, dass P (a) diesem Wert gleich ist

Also die, wir können das sehen Bewertung einpolynoms ist eng mit der Polynomabteilung verwandt, und genau das gibt der Rest -Theorem.

Anwendungen der synthetischen substitution

Wie bereits erwähnt, ist klar, dass wir einen Taschenrechner verwenden können, um \(\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^5 + 10\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\cdot \left(\frac{1}{3}\right) - 12\) explizit zu berechnen, aber es ist offensichtlich rechenintensiv.

In Engineering und anderen Anwendungen ist es klar, dass wir so effizient wie möglich wie möglich verwenden möchten, und der Prozess der synthetischen Substitution wird auf eine Handvoll einfacher Multiplikationen und Ergänzungen reduziert, die viel "billiger" sind als die Exponentiationen, die es wären,sonst erforderlich

Wie kann man wissen, wann man eine synthetische bewertung verwendet oder einfach in das polynom anschließen?

• Schritt 1: Bestimmen Sie das Polynom -P (x), mit dem Sie zusammenarbeiten, und den Wert von x = a, bei dem Sie das Polynom bewerten möchten
• Schritt 2: Schauen Sie sich den Grad von P (x) an. Für Grad von 0 oder 1 vereinfachen Sie den Stecker den Wert
• Schritt 3: Für Grad von 2 und darüber hinaus ist es bequemer, eine synthetische Bewertung zu verwenden

Die Bequemlichkeit der Verwendung synthetischer Substitution wird klar wie die Polynomgrad Erhöht sich, insbesondere bei Grad 4 und höher ..

Tipps für den erfolg

Versuchen Sie, einen systematischen Ansatz zu verfolgen, indem Sie die übliche tabellarische Methode verwenden, um ihn zu beherrschen.Das Vermeiden von Fehlern mit Zeichen und wenn Sie die Zeilen hinzufügen, ist entscheidend, um den letzten Rest ohne Fehler zu erreichen.

Beispiel: verwenden sie synthetische substitution

Betrachten Sie das Polynom: \(p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12\), bewerten Sie es am Punkt \(x = \frac{1}{3}\)

Lösung: Das folgende Polynom wurde bereitgestellt: \(\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12\), das am Punkt \(\displaystyle x = \frac{1}{3}\) unter Verwendung der synthetischen Substitution bewertet werden muss.

Um die synthetische Substitution durchzuführen, müssen wir eine synthetische Aufteilung von: \(\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12\) und den Divisor \(\displaystyle s = x-\frac{1}{3}\) durchführen und den Rest finden.

Beachten Sie, dass der Grad der Dividende \(\displaystyle deg(p) = 5\) ist, während der Grad des Divisors \(\displaystyle deg(s)) = 1\) ist.

Schritt 1: Da der Divisor einen Abschluss 1 hat, können wir die synthetische Teilungsmethode verwenden.Durch die Lösung \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3} = 0\) finden wir direkt, dass die Nummer, die in das Divisionsfeld eingebracht werden soll,: \(\displaystyle \frac{1}{3}\).

\[\begin{array}{c|ccccc} \frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12 \\[0.6em] & & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & & \end{array}\]

Schritt 2: Jetzt übergeben wir direkt den führenden Begriff \(1\) an die Ergebniszeile:

\[\begin{array}{c|ccccc} \frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12 \\[0.6em] & & & & & & & \\[0.6em] \hline &1&&&&& \end{array}\]

Schritt 3: Multiplizieren Sie den Begriff im Divisionsfeld mit dem Ergebnis in Spalte 1: \(\frac{1}{3} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{3}\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile, Spalte 1, eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & & & \\[0.6em]\hline&1&&&&&\end{array}\]

Schritt 4: Wenn Sie nun die Werte in Spalte 2 hinzufügen, erhalten wir: \( 0+\frac{1}{3} = \frac{1}{3}\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile, Spalte 2, eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & & & \end{array}\]

Schritt 5: Multiplizieren Sie den Begriff im Divisionsfeld mit dem Ergebnis in Spalte 2: \(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{9}\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile, Spalte 2, eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & & & \end{array}\]

Schritt 6: Wenn Sie nun die Werte in Spalte 3 hinzufügen, erhalten wir: \( 10+\frac{1}{9} = \frac{91}{9}\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile, Spalte 3, eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & & \end{array}\]

Schritt 7: Multiplizieren Sie den Begriff im Divisionsfeld mit dem Ergebnis in Spalte 3: \(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{91}{9}\right) = \frac{91}{27}\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile, Spalte 3, eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & & \end{array}\]

Schritt 8: Wenn Sie nun die Werte in Spalte 4 hinzufügen, erhalten wir: \( 0+\frac{91}{27} = \frac{91}{27}\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile, Spalte 4, eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & \end{array}\]

Schritt 9: Multiplizieren Sie den Begriff im Divisionsfeld mit dem Ergebnis in Spalte 4: \(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{91}{27}\right) = \frac{91}{81}\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile, Spalte 4, eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & \end{array}\]

Schritt 10: Wenn Sie nun die Werte in Spalte 5 hinzufügen, erhalten wir: \( -2+\frac{91}{81} = -\frac{71}{81}\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile, Spalte 5, eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & -\frac{71}{81}\end{array}\]

Schritt 11: Multiplizieren Sie den Begriff im Divisionsfeld mit dem Ergebnis in Spalte 5, wir erhalten: \(\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{71}{81}\right) = -\frac{71}{243}\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile, Spalte 5, eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81} & -\frac{71}{243}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & -\frac{71}{81}\end{array}\]

Schritt 12: Wenn Sie nun die Werte in Spalte 6 hinzufügen, erhalten wir: \( -12-\frac{71}{243} = -\frac{2987}{243}\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile, Spalte 6, eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81} & -\frac{71}{243}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & -\frac{71}{81} & -\frac{2987}{243}\end{array}\]

Dies schließt diese Berechnung ab, da wir in der letzten Spalte, die den Rest enthält, zum Ergebnis angekommen sind.

Fazit: Daher kommen wir zu dem Schluss, dass für die gegebene Dividende \(\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12\) und Divisor \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3}\) wir bekommen, dass der Rest \(\displaystyle r(x) = -\frac{2987}{243}\) ist, also schließen wir, dass \(\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{2987}{243}\).

Beispiel: anwendung synthetischer substitution

Ist der Wert x = 1 eine Wurzel des Polynoms: \(p(x) = x^4 - x^3 + 4x + 3\)?

Lösung: Die synthetische Substitution kann wie im vorherigen Beispiel angewendet werden, aber bei einem einfachen Wert wie x = 1 können wir einfach X = 1 in und die Berechnung sehr einfach anschließen:

\[p(1) = 1^4 - 1^3 + 4\cdot 1 + 3 = 1 - 1 + 4 + 3 = 7 \ne 0\]

Dann ist x = 1 keine Wurzel.

Beispiel: mehr synthetische substitutionen

Bewerten Sie P (1/2) für \(p(x) = x^4 - 2x^3 + 4x + 3\).

Lösung: Jetzt müssen wir \(\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3\) am Punkt \(\displaystyle x = \frac{1}{2}\) unter Verwendung der synthetischen Substitution bewertet werden.

Wir verwenden also eine synthetische Aufteilung von: \(\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3\) und den Divisor \(\displaystyle s = x-\frac{1}{2}\), und das Ziel ist es, den Rest zu finden.

Schritt 1: Da der Divisor einen Abschluss 1 hat, können wir die synthetische Teilungsmethode verwenden.Durch die Lösung \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2} = 0\) finden wir direkt, dass die Nummer, die in das Divisionsfeld eingebracht werden soll,: \(\displaystyle \frac{1}{2}\).

\[\begin{array}{c|cccc} \frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}\]

Schritt 2: Jetzt übergeben wir direkt den führenden Begriff \(1\) an die Ergebniszeile:

\[\begin{array}{c|cccc} \frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &1&&&& \end{array}\]

Schritt 3: Multiplizieren Sie den Begriff im Divisionsfeld mit dem Ergebnis in Spalte 1: \(\frac{1}{2} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{2}\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile, Spalte 1, eingefügt.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & & \\[0.6em]\hline&1&&&&\end{array}\]

Schritt 4: Wenn Sie nun die Werte in Spalte 2 hinzufügen, finden wir: \( -2+\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile, Spalte 2, eingefügt.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & & \end{array}\]

Schritt 5: Multiplizieren Sie den Begriff im Divisionsfeld mit dem Ergebnis in Spalte 2: \(\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{3}{4}\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile, Spalte 2, eingefügt.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & & \end{array}\]

Schritt 6: Wenn Sie nun die Werte in Spalte 3 hinzufügen, finden wir: \( 0-\frac{3}{4} = -\frac{3}{4}\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile, Spalte 3, eingefügt.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \end{array}\]

Schritt 7: Multiplizieren Sie den Begriff im Divisionsfeld mit dem Ergebnis in Spalte 3: \(\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{3}{8}\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile, Spalte 3, eingefügt.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \end{array}\]

Schritt 8: Wenn Sie nun die Werte in Spalte 4 hinzufügen, finden wir: \( 4-\frac{3}{8} = \frac{29}{8}\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile, Spalte 4, eingefügt.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{29}{8}\end{array}\]

Schritt 9: Multiplizieren Sie den Begriff im Divisionsfeld mit dem Ergebnis in Spalte 4: \(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{29}{8}\right) = \frac{29}{16}\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile, Spalte 4, eingefügt.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8} & \frac{29}{16}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{29}{8}\end{array}\]

Schritt 10: Wenn Sie nun die Werte in Spalte 5 hinzufügen, finden wir: \( 3+\frac{29}{16} = \frac{77}{16}\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile, Spalte 5, eingefügt.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8} & \frac{29}{16}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{29}{8} & \frac{77}{16}\end{array}\]

Fazit: Daher schließen wir, dass für die gegebene Dividende \(\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3\) und Divisor \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2}\) und wir bekommen, dass der Rest gleich \(\displaystyle r(x) = \frac{77}{16}\) ist, also schließen wir, dass \(\displaystyle p\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{77}{16}\).

Mehr polynomrechner

Die Bedeutung der Bedeutung der Polynombewertungen und Berechnungen können nicht untertrieben werden. Polynomwurzeln sind unglaublich vielseitig und erscheinen in so vielen Anwendungen in Physik und Ingenieurwesen..

In diesem Artikel haben wir die klare Verbindung mit synthetischer Substitution mit beiden gesehen Synthetische Abteilung und Lange Division , was den Kreis schließt, der von dem überspannt wird Restsatz , was ohne Zweifel ein direkter Vorgänger des Grundsatzes der Algebra ist.