Polynom factoring

Dieser Polynom-Rechner ist eine Art Polynom-Rechner, mit dem Sie einen Ausdruck als Multiplikation nicht reduzierbarer Faktoren darstellen können.

Sie müssen lediglich ein Polynom angeben, das Sie faktorisieren möchten. Dabei kann es sich um ein Polynom niedrigeren Grades handeln, das bereits vereinfacht ist, wie x^2 - 2x + 3, oder um ein Polynom höherer Ordnung, das vereinfacht werden muss, wie x^4 - x + 2x^4 - x^3 + 1.

Sobald Sie eine gültige bereitstellen Polynomausdruck klicken Sie auf die Schaltfläche "Berechnen", dann werden Ihnen alle Schritte des Prozesses angezeigt.

Obwohl sie zu den einfachsten zu faktorisierenden Ausdrücken gehören, sind Polynome im Allgemeinen immer noch schwer zu handhaben, insbesondere Polynome höheren Grades als 5.

Wie man polynome faktorisiert

Der einzige systematische Weg, Polynome zu faktorisieren, besteht darin, ihre Wurzeln oder Nullstellen zu finden. Wenn man die Wurzeln kennt, kann man aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra auch die Faktoren finden.

Wenn es zum Beispiel für ein Polynom vom Grad 3 drei Wurzeln \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) gibt, besagt der Fundamentalsatz der Algebra, dass das Polynom wie folgt geschrieben werden kann:

\[\displaystyle p(x) = a (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) \]

für eine Konstante \(a\), und dasselbe gilt für ein Polynom vom Grad \(n\) mit den \(n\)-Wurzeln \(x_1\), \(x_2\), ...., \(x_{n-1}\) und \(x_n\), das wie folgt geschrieben werden kann:

\[\displaystyle p(x) = a (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)....(x-x_n) \]

Was sind die schritte für die faktorisierung von polynomen?

• Schritt 1: Identifizieren Sie das zu faktorisierende Polynom, und machen Sie alle offensichtlichen ausdrucksvereinfachungen wenn überhaupt
• Schritt 2: Finden Sie die Polynomwurzeln mit Hilfe einer geeigneten Methode, die vom Grad des Polynoms abhängt
• Schritt 3: Wenn das Polynom den Grad 2 hat, verwenden Sie die quadratische Formel , andernfalls verwenden Sie die Satz von der rationalen Null
• Schritt 4: Wenn Sie alle Wurzeln gefunden haben, können Sie die endgültige Faktorisierung als \(\displaystyle p(x) = a (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)....(x-x_n) \) ausdrücken

Das Gute an der Suche nach Wurzeln von Polynomen ist, dass man eine Wurzel nach der anderen finden kann und so das Problem immer einfacher wird. Ich zeige Ihnen, wie das geht:

Nehmen wir an, Sie haben ein Polynom \(P(x)\) und wollen alle seine Wurzeln finden. Angenommen, das Polynom hat den Grad 5, so dass Sie 5 Wurzeln erwarten, von denen einige nicht real (komplex) sind.

Nehmen wir an, Sie haben durch reines Glück eine Wurzel gefunden, nennen wir sie \(x_1\). Dann wissen Sie durch den Fundamentalsatz der Algebra, dass \(x-x_1\) durch \(P(x)\) geteilt wird, also \(P(x) = Q(x)(x-x_1)\), wobei \(Q(x)\) ein Polynom vom Grad 4 ist.

Sie fragen sich vielleicht: "Wie erhalte ich Q(x)?". Einfach \(Q(x)\) erhält man durch die Verwendung von Lange Division um \(P(x)\) durch \(x-x_1\) zu teilen. Wir wissen, dass die der Rest ist Null denn \(x_1\) ist eine Wurzel.

Vergessen Sie nicht, dass Sie versuchen, \(P(x) = 0\) zu lösen, also müssen wir jetzt \(Q(x)(x-x_1)\) lösen, was wiederum reduziert wird, um \(Q(x) = 0\) zu lösen. Jetzt haben Sie also eine weitere Polynomielle Gleichung nur dass es einfacher ist als das Original. Und dann fährt man mit diesem fort und versucht, eine Lösung zu finden und wiederholt dann den Prozess.

Gibt es einen einfacheren weg, polynome vollständig zu faktorisieren?

Nicht wirklich. Anekdotisch gesehen kann man faktorisieren, indem man bestimmte Strukturen auflöst, man kann faktorisieren, indem man gruppiert, wenn das möglich ist, oder man kann einige offensichtliche Faktorisierungsmöglichkeiten ausnutzen, wie zum Beispiel einen Ausdruck wie \(x^4 + x^2\), der sich offensichtlich dazu eignet, \(x^2\) zu faktorisieren.

Aber alle diese Tricks sind strukturabhängig, d.h. sie benötigen eine bestimmte vereinfachte Struktur, um zu funktionieren, und sie sind keineswegs allgemeine Wege, um das Problem anzugehen.

Bei Polynomen liefern die faktorisierte Gleichung und die tatsächlichen Wurzeln dieselben Informationen, mit Ausnahme einer Konstante, die zum führenden Term gehört (der Term mit dem höchsten Exponenten).

Warum polynome faktorisieren

Ganz einfach, weil es der Weg ist, Gleichungen zu lösen. Wir können den Prozess der Faktorisierung von Polynomen nicht überspringen, weil er eng mit dem Lösen von Polynomgleichungen verbunden ist.

Das Gleiche gilt für allgemeinere Gleichungen, bei denen das Faktorisieren helfen kann, eine komplizierte Gleichung in einfachere Gleichungen zu zerlegen. Lösen von Gleichungen wird in einfachere Probleme zerlegt, wenn man in der Lage ist, Ausdrücke effektiv zu faktorisieren und zu reduzieren.

Beispiel: lösen von gleichungen durch faktorisierung von polynomen

Lösen Sie die folgende Gleichung: \(x^5 = -x^3\)

Lösung: Der übliche Ansatz besteht darin, alles auf eine Seite der Gleichung zu setzen. Wenn Ihr erster Reflex darin besteht, x^2 von beiden Seiten der Gleichung zu streichen, lassen Sie es bitte sein, denn Sie werden dabei Lösungen verlieren. Sie werden sehen, warum. Wir beginnen also wie folgt

\[x^5 = -x^3 \Rightarrow x^5 + x^3 = 0\]

und jetzt können wir \(x^2\) herausrechnen:

\[x^5 = -x^3 \Rightarrow x^5 + x^3 = 0 \Rightarrow x^2(x^3 + 1)\]

Nun wenden wir den alten Trick an, der uns sagt, dass \(x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)\), was bedeutet, dass

\[x^2(x^3+1) = x^2 (x+1)(x^2-x+1)\]

Nun, da die linke Seite der Gleichung vollständig ausgewertet ist, müssen wir folgende Aufgabe lösen

\[x^5 = -x^3 \Rightarrow x^2(x^3+1) = x^2 (x+1)(x^2-x+1) = 0\]

wir müssen also eine Lösung finden:

\[x^2 (x+1)(x^2-x+1) = 0\]

Jetzt verwenden wir die Faktoren, um die Lösungen zu finden. Alles, was wir tun müssen, ist, die Faktoren gleich Null zu setzen. Die Lösungen der Gleichung sind \(x = 0\), \(x = -1\) und \(x = \frac{-1 \pm i\sqrt 3}{2}\).

Mehr polynomrechner

Polynome sind sehr nützliche Objekte in der Algebra, der Kalkulation in der Physik, und sie sind einfach genug, um einige sehr allgemeine und nützliche Theoreme zu haben, wie den Fundamentalsatz der Algebra (der besagt, dass alle Polynomgleichungen hat viele komplexe Lösungen als seinen Grad).

Polynome sind jedoch schwer genug, um uns einige Polynomgleichungen und polynomielle Ungleichungen die mit elementaren Methoden nicht gelöst werden können, und Sie müssen versuchen, den Grad des Polynoms zu verringern, indem Sie die Polynomabteilung und die Restsatz .

Wenn man also mit Objekten zu tun hat, die komplexer als Polynome sind, ist es nur vernünftig zu denken, dass man eine Faktorrechner die komplexe Strukturen erkennen und verschiedene Identitäten anwenden können, um eine korrekte Faktorisierung zu erreichen, und letztendlich ist dies nicht immer möglich.