Mehr über diesen exponentialgleichungs-rechner

Der Hauptzweck dieses Rechners besteht darin, von Ihnen eingegebene Exponentialgleichungen zu lösen und Ihnen die Lösung mit allen Schritten anzuzeigen. Sie können zum Beispiel eine Gleichung wie "9^x + 3^x = 4" eingeben.

Wenn Sie mit der von Ihnen eingegebenen Gleichung zufrieden sind, klicken Sie auf "Lösen", so dass die Schritte der Lösung mit allen beteiligten Schritten angezeigt werden.

Exponentialgleichungen werden in der Regel mit Hilfe einiger der verschiedenen Exponentengesetze gelöst.

Was ist eine exponentialgleichung?

Eine Exponentialgleichung ist, vereinfacht ausgedrückt, eine Algebraische Gleichung in denen die Unbekannte (x) als Exponent erscheint. Zum Beispiel,

\[\displaystyle 2^x = 4 \]

ist eine einfache Exponentialgleichung, da die unbekannte Variable, die wir lösen wollen (x), als Exponent mit der Basis 2 erscheint. Nun gibt es kompliziertere Exponentialgleichungen, wie das folgende Beispiel:

\[\displaystyle \cos(2^x) + e^x = 4x \]

Was sind die schritte zum lösen von exponentialgleichungen?

• Schritt 1: Vergewissern Sie sich, dass es sich um eine Exponentialgleichung handelt, bei der Sie sehen müssen, ob x als Exponent erscheint
• Schritt 2: Es ist wichtig sicherzustellen, dass Sie mit einer Exponentialgleichung arbeiten. Wenn nicht, müssen Sie wahrscheinlich einen anderen Ansatz wählen
• Schritt 3: Seien Sie sich bewusst, dass nicht alle Exponentialgleichungen, auf die Sie stoßen, einfach zu lösen sind, oder dass sogar Sie nicht in der Lage sind, sie zu lösen
• Schritt 4: Die wichtigste Strategie besteht darin, alle exponentiellen Teile in einem exponentiellen Ausdruck zu gruppieren, wenn möglich. Wenn Sie zum Beispiel eine Gleichung wie \(2^x 2^y = 4\) haben, sollten Sie sie in \(2^{x+y} = 2^2\) umschreiben
• Schritt 5: Lege alles, was von x abhängt (und alle Unbekannten) auf die eine Seite und den Rest auf die andere Seite
• Schritt 6: Dann versucht man, alle Exponentialteile in einem zusammenzufassen, so dass man versucht, die Exponenten gleichzusetzen

Die Hauptidee ist, die Exponenten so weit wie möglich zu gruppieren, so dass wir, wie Sie sich vorstellen können, die Basis eliminieren können. Mit anderen Worten: Die Strategie zum Lösen einer Exponentialgleichung besteht darin, den exponentiellen Teil der Gleichung zu eliminieren.

Wie findet man die exponentialgleichung?

Exponentialgleichungen kommen natürlich in verschiedenen Bereichen der Algebra vor. Sie sind zum Beispiel sehr verbreitet, wenn es um Bevölkerungsmodelle und wachstumsraten oder bei der Bearbeitung von Anwendungsproblemen zum radioaktiven Zerfall und halbwertszeit .

In der Regel gibt der Kontext vor, welche Art von Basis und Exponent Sie finden oder verwenden werden, wenn Sie eine Exponentialgleichung lösen. Zum Beispiel könnte es sich um einen Mikroorganismus handeln, der anfängt, sich jede Stunde zu verdoppeln, und Sie möchten wissen, wie viele Stunden vergehen, bis die Population des Mikroorganismus 1.000.000 erreicht.

In diesem Zusammenhang ist es nicht schwer zu erkennen, dass die Bevölkerung nach \(x\) Stunden \(2^x\) ist, und dann wollen wir von der Problemstellung her die Gleichung lösen :

\[\displaystyle 2^x = 1,000,000 \]

Was sind die grundlegenden anwendungen von exponentialgleichungen?

• Verwendung 1: Modellierung des Bevölkerungswachstums auf der Grundlage von exponentiellem Wachstum
• Verwendung 2: Modellierung des exponentiellen Zerfalls und Berechnung der Halbwertszeit, z. B. bei radioaktiven Stoffen
• Use 3: Finanzielle Anwendungen für kontinuierliche Aufzinsung

Die wichtigsten Ideen in der Algebra im Zusammenhang mit Exponentialgleichungen sind das exponentielle Wachstum und der exponentielle Zerfall, die in den oben beschriebenen Beispielen beobachtet werden.

Wie findet man eine exponentialfunktion mit zwei punkten?

Exponentialfunktionen sind wichtig, weil sie die Hauptbestandteile einer Exponentialgleichung sind. Sie können dies verwenden Exponentialfunktion -Wiederaufnahme um die Funktion von zwei Punkten zu finden.

Es gibt auch andere Möglichkeiten, die Exponentialfunktion zu bestimmen, nämlich über den Ansatz des Anfangswerts und der Wachstumsrate. In diesem Fall können Sie denselben Rechner verwenden, den Sie unter dem obigen Link finden.

Es ist sicherlich nützlich, eine exponentialgleichungs-Rechner mit Stufen so kann man sich das Rätselraten ersparen, was man tun muss, um die Gleichung zu lösen, obwohl man oft feststellen wird, dass nicht alle Gleichungen mit den uns bekannten Methoden gelöst werden können.

Beispiel: berechnen einer einfachen exponentialgleichung

Lösen: \(2^{2x+1} = 4\)

Lösung: Die folgende Gleichung muss gelöst werden:

\[2^{2x+1}=4\]

Das stellen wir fest:

Setzt man \(x\) auf die linke Seite und die Konstante auf die rechte Seite, erhält man

\[\displaystyle 2x = 1\]

Löst man dann \(x\), indem man beide Seiten der Gleichung durch \(2\) dividiert, erhält man folgendes

\[\displaystyle x=\frac{1}{2}\]

Daraus ergibt sich, dass die Hilfsgleichung eine einzige reelle Lösung hat, die lautet: \(x = \frac{1}{2}\)

Das Einsetzen dieses Wertes in die ursprüngliche Gleichung bestätigt, dass es sich um eine Lösung handelt, womit die Berechnung abgeschlossen ist.

Beispiel: lösen von exponentialgleichungen durch substitution

Lösen Sie die folgenden Aufgaben: \(9^x + 3^x = 4\)

Lösung: Wir haben die folgende Gleichung:

#XYZA

Also dann:

Wenn wir diese rationale Gleichung in der Variablen \(u\) lösen und dann \(u = 3^x\) verwenden, erhalten wir die Lösungen \[x_1=\frac{2i\pi{}K_1+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)} \text{ , for } K_1 \text{ an arbitrary integer constant}\] \[ = ... \, \frac{-2i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \, \,\, \frac{\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \,\, \, \frac{2i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \, \, \, \frac{4i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)} \, ...\]
\[x_2=\frac{i\pi{}+2i\pi{}K_2+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)} \text{ , for } K_2 \text{ an arbitrary integer constant}\] \[ = ... \, \frac{-i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \, \,\, \frac{i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \,\, \, \frac{3i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}, \, \, \, \frac{5i\pi{}+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)} \, ...\]

Daher führt die Lösung von \(x\) für die gegebene Gleichung zu den Lösungen \(x=\frac{2i\pi{}K_1+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)},\,\,x=\frac{i\pi{}+2i\pi{}K_2+\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}\), für \(K_1, K_2\) zu beliebigen ganzzahligen Konstanten.

Echte lösungen

Es wurde festgestellt, dass die gegebene Gleichung sowohl komplexe als auch reelle Lösungen hat. Die ermittelte reelle Lösung ist \(x=\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{17}-\frac{1}{2}\right)}{\ln\left(3\right)}\).

Mehr gleichungsrechner

Andere verwandte Operationen, die Sie durchführen können, sind Quadratische Gleisungen Lösen , oder eine lineare Gleichung lösen die im Großen und Ganzen am einfachsten zu lösen sind und bei denen garantiert alle Lösungen gefunden werden.

Dann können Sie auch eine löser trigonometrischer Gleichungen um die oft kniffligen Trigonometriegleichungen zu lösen, die von Zeit zu Zeit auftauchen.

Durch die Verwendung eines gleichungsrechner wie die genannten werden Sie deutlich sehen, wie Sie die Gleichung lösen können, und wenn eine Gleichung nicht gelöst werden kann, wo ist der Punkt, den wir erkennen, oder warum wir es nicht tun können.