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Die Idee hinter dem Konzept der Halbwertszeit ist es herauszufinden, wie lange es dauert, bis eine Funktion ihren Wert um die Hälfte verringert.

Dieses Konzept ist stark motiviert von Radioaktiver Zerfall , in dem radioaktives Material exponentiell zerfällt, und es gibt die Eigenschaft, dass für jedes spezifische radioaktive Material sein Gehalt alle bestimmte Jahre um die Hälfte reduziert wird. Die Zeitspanne ist die Halbwertszeit

Wenn wir eine exponentielle Abklingfunktion betrachten:

$$f(t) = A_0 b^{-kt}$$

wir wollen sehen, dass $f(0) = A_0$, und wir wollen $h$ finden, so dass $f(h) = A_0/2$. Zu diesem Zweck bemerken wir das

$$\displaystyle \frac{A_0}{2}= f(h) = A_0 b^{-kh}$$ $$\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{2}= b^{-kh}$$ \[\Rightarrow \displaystyle \ln\left(\frac{1}{2} = \ln\left(b^{-kh}\right)\] $$\Rightarrow \displaystyle -\ln 2 = -kh \ln b$$\ $$\Rightarrow \displaystyle h = \frac{\ln 2}{k\ln b}$$

Was ist, wenn Sie die Exponentialfunktion an zwei Punkten finden müssen, durch die sie verläuft?

In diesem Fall müssten wir lösen:

$$y_1 = A_0 b^{-kt_1}$$ $$y_2 = A_0 b^{-kt_2}$$

und nach $A$ und $k$ zu lösen und dann direkt die obige Formel anzuwenden, um die Halbwertszeit $h$ zu finden.

Wie berechnet man die Halbwertszeit?

Die Halbwertszeit wird berechnet, indem algebraisch ermittelt wird, wie lange es dauert, bis eine Funktion um die Hälfte abnimmt, wie im obigen Abschnitt gezeigt wurde. Bei den meisten Funktionen hängt die Zeit, die erforderlich ist, um die Funktion um die Hälfte zu verringern, vom Startpunkt ab.

Bei Funktionen mit exponentiellem Abfall ist die Zeit, die die Funktion benötigt, um ihren Wert um die Hälfte zu reduzieren, unabhängig vom Startpunkt.

Wie berechnet man den Zerfall anhand der Halbwertszeit?

Natürlich hängen die Abklingrate und eine exponentielle Abklingfunktion selbst eng mit der Halbwertszeit zusammen. Nehmen Sie in der Tat an, dass die Halbwertszeit $h$ bekannt ist und $A_0$ der Anfangsbetrag ist (bei $t = 0$). Dann kann die exponentielle Abklingfunktion wie folgt geschrieben werden:

$$f(t) = A_0 \cdot 2^{-t/h}$$