Informazioni sulle equazioni polinomiali

Usa questa calcolatrice per aiutarti a risolvere equazioni polinomiali, mostrando tutti i passaggi del processo. L'equazione che fornisci può avere termini polinomiali a sinistra ea destra dell'equazione.

Ad esempio, puoi fornire un'equazione come 3x^3 - 2x = 1 + x, che potrebbe essere derivata cercando di trovare l'intersezione dei grafici di una funzione cubica e di una lineare. Va bene qualsiasi equazione polinomiale, con coefficienti interi o frazionari, o qualsiasi espressione numerica valida.

Una volta digitata un'equazione polinomiale nella casella del modulo, è necessario fare clic su "Calcola", che mostrerà tutti i passaggi del processo e le soluzioni.

Un disclaimer, non tutte le equazioni polinomiali possono essere risolte con strumenti di base. Non esiste una formula sistematica per trattare l'equazione polinomiale di grado 5 o superiore. Inoltre, affrontiamo la difficoltà aggiuntiva che le soluzioni di un'equazione polinomiale possono essere numeri complessi.

Che cos'è un'equazione polinomiale

Un'equazione polinomiale, in termini semplici, è un'equazione in cui entrambi i lati contengono polinomi. Matematicamente, un'equazione polinomiale è della forma:

\[\displaystyle p(x) = q(x) \]

dove \(p(x)\) e \(q(x)\) sono polinomi. Ad esempio, \(3x+1 = x^2-2\) è un'equazione polinomiale, ma \(\sin(3x+1) = x^2-2\) non lo è.

Quali sono i passaggi per risolvere le equazioni polinomiali?

• Passo 1: Identifica l'equazione con cui vuoi lavorare, indicando chiaramente i termini sul lato sinistro e destro e assicurati che siano polinomi
• Passo 2: Semplifica ogni lato il più possibile. Passa tutti i termini su uno dei lati all'altro (se entrambi i lati hanno termini)
• Passaggio 3: Ora hai un'equazione polinomiale impostata per essere uguale a zero, quindi dobbiamo trovare le radici del polinomio
• Passaggio 4: Proviamo con possibili radici razionali, divisione polinomiale per riduzione e formula quadratica, come mostrato nella calcolatrice zero polinomiale per trovare le soluzioni, se possibile

Scoprirai che risolvere equazioni polinomiali, poiché trovare le radici di un polinomio è tutt'altro che banale per tutti i casi. Sicuramente alcuni esempi specifici possono essere molto semplici, ma quando l'esponente dei polinomi coinvolti è grande, il processo può essere molto difficile o semplicemente impossibile.

Le equazioni quadratiche sono anche equazioni polinomiali?

Si Certamente! Un'equazione quadratica è un'equazione con un polinomio di grado 2 sul lato sinistro e 0 (che è anche un polinomio) sul lato destro, quindi si adatta alla definizione.

Infatti, equazioni quadratiche sono circa il meglio che possiamo risolvere con strumenti semplici. Sebbene esistano formule per equazioni cubiche e quartiche, non esiste una formula generale per il grado 5 o superiore. Quindi ci affidiamo spesso ai computer per trovare approssimazioni numeriche.

Inoltre, non solo l'esponente del polinomio può rendere un'equazione difficile da risolvere, ma anche ingombranti coefficienti polinomiali possono certamente rendere le cose più difficili.

In che modo il grafico dei polinomi è correlato alle equazioni polinomiali?

Esistono diversi modi di vederlo, ma un modo è notare che cercando di trovare l'intersezione di diversi polinomi, stiamo effettivamente risolvendo un'equazione polinomiale. Quindi ci sono problemi strettamente correlati.

Esempio: risoluzione di equazioni polinomiali

Calcola la seguente equazione polinomiale: \(x^2 = x^3\)

Soluzione: Dobbiamo risolvere \(x^2 = x^3\), quindi passiamo \(x^3\) dall'altra parte, quindi otteniamo

\[ x^2 - x^3 = 0\]

e il factoring porta a:

\[ x^2(1 - x) = 0\]

Quindi ci sono due soluzioni: \(x_1 = 0\) (che ha molteplicità 2) e \(x_2 = 1\).

Esempio: risoluzione di equazioni polinomiali

Quali sono le soluzioni della seguente equazione: \(\frac{2}{3} x^2 + \frac{5}{4} x = \frac{1}{3} x^2 - \frac{5}{6}\)

Soluzione: Dobbiamo risolvere la seguente equazione:

\[\displaystyle \frac{2}{3}x^2+\frac{5}{4}x=\frac{1}{3}x^2-\frac{5}{6}\]

Passaggio Iniziale: In questo caso, dobbiamo prima semplificare l'equazione data \(\displaystyle \frac{2}{3}x^2+\frac{5}{4}x=\frac{1}{3}x^2-\frac{5}{6} \), mettendo tutti i termini su un lato dell'equazione, così otteniamo:

Quindi, dopo aver semplificato, dobbiamo risolvere la seguente equazione polinomiale di ordine \(2\):

\[\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = 0\]

Osserva che il grado del polinomio dato è \(\displaystyle deg(p) = 2\), il suo coefficiente principale è \(\displaystyle a_{2} = \frac{1}{3}\) e il suo coefficiente costante è \(\displaystyle a_0 = \frac{5}{6}\).

Dobbiamo risolvere la seguente equazione quadratica \(\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6}=0\).

Per un'equazione quadratica della forma \(a x^2 + bx + c = 0\), le radici vengono calcolate utilizzando la seguente formula:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

In questo caso, abbiamo che l'equazione da risolvere è \(\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = 0\), il che implica che i coefficienti corrispondenti sono:

\[a = \frac{1}{3}\] \[b = \frac{5}{4}\] \[c = \frac{5}{6}\]

Innanzitutto, calcoleremo il discriminante per valutare la natura delle radici. La discriminante è calcolata come:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( \frac{5}{4}\right)^2 - 4 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)\cdot \left(\frac{5}{6}\right) = \frac{65}{144}\]

Poiché in questo caso otteniamo che il discriminante è \(\Delta = \displaystyle \frac{65}{144} > 0\), che è positivo, sappiamo che l'equazione ha due radici reali diverse.

Ora, inserendo questi valori nella formula per le radici otteniamo:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\left(\frac{5}{4}\right)^2-4\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{5}{6}\right)}}{2\cdot \frac{1}{3}} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\frac{65}{144}}}{\frac{2}{3}}\]

allora, troviamo che:

\[ x_1 = -\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}-\frac{1}{\frac{2}{3}}\sqrt{\frac{65}{144}}=-\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}-\frac{1}{\frac{2}{3}}\cdot\frac{1}{12}\sqrt{65}=-\frac{5}{4}\cdot \frac{3}{2}-\frac{\frac{1\cdot 3}{2}\cdot 1}{12}\sqrt{65}=-\frac{15}{8}+1\cdot \left(-\frac{1}{8}\right)\sqrt{65}=-\frac{15}{8}-\frac{1}{8}\sqrt{65} \] \[x_2 = -\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}+\frac{1}{\frac{2}{3}}\sqrt{\frac{65}{144}}=-\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}+\frac{1}{\frac{2}{3}}\cdot\frac{1}{12}\sqrt{65}=-\frac{15}{8}+1\cdot \frac{1}{8}\sqrt{65}=-\frac{15}{8}+\frac{1}{8}\sqrt{65}\]

In questo caso, l'equazione quadratica \( \displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = 0 \), ha due radici reali, quindi:

\[\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = \frac{1}{3} \left(x+\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right)\left(x-\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right)\]

quindi il polinomio originale viene scomposto come \(\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = \frac{1}{3} \left(x+\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right)\left(x-\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right) \), che completa la fattorizzazione.

Conclusione : Le soluzioni dell'equazione polinomiale trovata utilizzando il processo di fattorizzazione sono \(-\frac{1}{8}\sqrt{65}-\frac{15}{8}\) e \(\frac{1}{8}\sqrt{65}-\frac{15}{8}\) .

Altri calcolatori polinomiali

Le equazioni dei polinomi appaiono così naturalmente in Algebra, che sono uno degli argomenti più importanti in Algebra. Quando stai cercando l'intersezione di due parabola , avrai bisogno di risolvere un'equazione polinomiale , solo per citare una situazione tra tante.

Il caso più semplice di un'equazione polinomiale è il caso in cui risolvi a equazione lineare , che in effetti è un caso banale. Tutto ciò che non è lineare richiederà molto più lavoro.

Risolvere l'equazione polinomiale non è semplice, soprattutto per i più alti gradi polinomiali . In effetti, c'è la possibilità certa che non sarai in grado di trovare manualmente tutte le soluzioni di una data equazione (o qualsiasi soluzione per quella materia).

La migliore alternativa manuale prevede il raggruppamento di tutti i termini polinomiali su un lato per ridurlo a trovare gli zeri di un polinomio . Quindi, quando possibile, usiamo la formula quadratica e proviamo a ridurre l'ordine del polinomio di Divisione polinomiale e il teorema dei fattori .