Calcolatore di divisioni polinomiali lunghe

Questa calcolatrice ti aiuta nel processo di esecuzione di una lunga divisione tra due dati polinomi. A tal fine, è necessario fornire due espressioni polinomiali valide. Questi polinomi potrebbero essere già semplificati o meno, e la calcolatrice li semplificherà se ne avranno bisogno.

Quando polinomi divisori devi fornire due polinomi, uno per cui dividerai, che si chiama dividendo, e l'altro è il divisore.

Una volta forniti due validi polinomio , il passaggio successivo consiste nel fare clic sul pulsante "Calcola", che mostrerà tutti i calcoli corrispondenti richiesti per la divisione lunga desiderata tra i polinomi forniti.

Il processo di condurre una divisione di polinomi usando il Metodo Della Divisione Lunga è un metodo relativamente semplice, ma che richiede un approccio molto organizzato, per non perdersi. Di solito, funziona meglio utilizzando un approccio tabulare per mostrare i passaggi corrispondenti.

Viene utilizzato un approccio più semplice con Divisione sintetica , ma ciò si applica solo quando il divisore ha grado uno, quindi ha una portata più limitata

Cos'è un polinomio?

Un polinomio è un tipo di espressione semplice che combina con somme e sottrazioni le potenze intere di una certa variabile x (o qualsiasi nome di variabile si scelga), possibilmente moltiplicata per costanti.

Ad esempio, l'espressione $p(x) = 2x^2 + x + 1$ è una combinazione dei termini $2x^2$, $x$ e $1$ con aggiunte di potenze di x (notare che 1 è una potenza di x, poiché $x^0 = 1$.

D'altra parte, $f(x) = 2x^2 + \sin(x) + 1$ non è un polinomio, perché il termine $\sin(x)$ non è potenza di x.

Operazioni polinomiali

I polinomi, proprio come i numeri, possono essere utilizzati addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione di polinomi . Addizioni e sottrazioni sono semplici da fare, in modo molto intuitivo. Ad esempio, se si hanno due polinomi, $p(x) = 2x+1$ e $q(x) = x^3 + 2x+ 3$, l'aggiunta del polinomio si ottiene sommando letteralmente i termini come

$$p(x) + q(x) = 2x + 1 + x^3 + 2x+ 3 = x^3 + 4x + 4$$

Per le sottrazioni, sottrai anche i termini corrispondenti del polinomio che viene sottratto. Ad esempio, se hai due polinomi, $p(x) = 2x+1$ e $q(x) = x^3 + 2x+ 3$, allora la sottrazione è fatta come

$$p(x) - q(x) = 2x + 1 - (x^3 + 2x+ 3) = 2x + 1 - x^3 - 2x - 3) = -x^3 -2$$

La moltiplicazione è più complicata, perché devi moltiplicare i termini usando la proprietà distributiva:

$$p(x) \cdot q(x) = (2x + 1) \cdot (x^3 + 2x+ 3) = 2x \cdot x^3 + 2x \cdot 2x + 2x \cdot 3 + 1\cdot x^3 + 1\cdot1 2x+ 1\cdot 3 = 2x^4 +x^3+4x^2+8x+3$$

La divisione è leggermente più complicata, perché implica l'idea che un polinomio non può dividersi Esattamente un altro polinomio. Matematicamente, quando abbiamo due polinomi $p(x)$ e $s(x)$, e vogliamo dividere $p(x)$ per $s(x)$, stiamo cercando un quoziente $q(x)$ e un resto $r(x)$ (entrambi polinomi), che hanno la proprietà che $p(x)= q(x)\cdot s(x) + r(x)$, con la condizione che il grado di polinomio $r(x)$ è minore del grado di $s(x)$. Questo è solitamente chiamato il Decomposizione Di Euclide .

Il metodo della divisione lunga

Quindi, il metodo della divisione lunga è un modo sistematico di iniziare con due polinomi che vogliamo dividere $p(x)$ e $s(x)$, quindi troviamo il quoziente $q(x)$ e un resto $r(x)$ in tale un modo che

$$p(x)= q(x)\cdot s(x) + r(x)$$

Questo algoritmo è estremamente utile, e sebbene il problema appaia semplice in apparenza, non è difficile perdersi se non si utilizza un approccio sistematico, che garantisce di arrivare al quoziente e al resto richiesti.

Quali sono i passaggi per eseguire una divisione lunga?

• Fase 1: Identifica i due polinomi p(x) e s(x) che vuoi dividere e identifica p(x) come dividendo e s(x) come divisore
• Passo 2: Confronta il grado del dividendo p(x) rispetto al grado di s(x). Se il grado di s(x) è maggiore del grado di p(x), abbiamo che il resto è il dividendo p(x) stesso, e il quoziente è zero: q(x) = 0, e il gioco è fatto
• Smusso 3: In questo caso, assumiamo che il grado del dividendo p(x) sia maggiore o uguale al grado della divisione s(x), altrimenti ci saremmo fermati al passo 2
• Passaggio 4: Dobbiamo condurre un processo iterativo per trovare un resto temporaneo, finché non siamo arrivati a un resto che ha un grado inferiore al grado di s(x)
• Passaggio 5: Il resto temporaneo o intermedio viene aggiornato ogni volta trovando prima il rapporto tra il termine più alto dell'attuale residuo temporaneo e il divisore s(x). Questo rapporto (che è un termine di potenza) moltiplica quindi s(x) e il risultato di questa moltiplicazione viene sottratto dal resto temporaneo corrente, portando a un resto aggiornato
• Passaggio 6: Questo processo continua fino a quando il resto ha un grado inferiore a quello di s(x). In ogni fase dell'iterazione, il grado del resto temporaneo viene ridotto di almeno 1, quindi è garantito che il processo termini

Alla fine, il processo di dividendo due polinomi è ridotto a calcolare le moltiplicazioni sono somme di polinomi, che è praticamente ciò che accade con i numeri. Il metodo della divisione lunga per i polinomi è l'estensione del modo in cui dividiamo i numeri in polinomi.

In che modo la divisione lunga è collegata alla ricerca delle radici di un'equazione polinomiale

Supponiamo che p(x) sia il dividendo che vuoi dividere e s(x) sia il divisore. Utilizzando il metodo della divisione lunga, potrai trovare un quoziente q(x) e un resto r(x) tali che:

$$\displaystyle p(x) = q(x)s(x) + r(x)$$

Ma a volte capita che il resto sia r(x) = 0, e in tal caso diciamo che s(x) divide p(x) (o divide p(x) esattamente). Quindi, quando r(x) = 0

$$\displaystyle p(x) = q(x)s(x)$$

Ciò indica che per trovare le radici di p(x) = 0, possiamo risolvere separatamente q(x) = 0 e s(x) = 0, che sono equazioni più semplici da risolvere.

Vantaggi di questo calcolatore di divisioni lunghe

Come ho detto prima, la lunga divisione non è troppo difficile, ma richiede un approccio sistematico. Un grande vantaggio di usare a calcolatore di divisione come questo è che otterrai tutti i passaggi del processo mostrato

Potrebbe non essere essenziale sapere come condurre tu stesso i passaggi, ma questo calcolatore ti consente di vedere come è fatto, con ogni passaggio che spiega, rimuovendo il mistero di ottenere il resto e il quoziente, diciamo da un calcolatore digitale, che darà tu la risposta senza mostrare i passaggi.

Un lungo calcolatore di divisione con passaggi che mostrano tutto il lavoro ti assicura di avere un'idea chiara di cosa sta succedendo con il calcolo.

Esempio: calcolo della divisione di polinomi

Calcolare la divisione dei seguenti polinomi: $p(x) = \frac{1}{3} x^3 + \frac{5}{4}x - \frac{5}{6}$ e $s(x) = x+3$.

Soluzione: È stato fornito il seguente polinomio: $\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{5}{4}x-\frac{5}{6}$, che deve essere diviso per il polinomio $\displaystyle s(x) = x+3$.

Si osservi che il grado del dividendo è $\displaystyle deg(p) = 3$, mentre il grado del divisore è $\displaystyle deg(s)) = 1$.

Fase 1: Il termine iniziale del dividendo $\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{5}{4}x-\frac{5}{6}$ è $\displaystyle \frac{1}{3}x^3$, mentre il termine iniziale del divisore $\displaystyle s(x) = x+3$ è uguale a $\displaystyle x$.

Allora, il termine che dobbiamo moltiplicare $x$ per ottenere il termine iniziale del dividendo è $\displaystyle \frac{ \frac{1}{3}x^3}{ x} = \frac{1}{3}x^2$, quindi aggiungiamo questo termine al quoziente. Inoltre, lo moltiplichiamo per il divisore per ottenere $\displaystyle \frac{1}{3}x^2 \cdot \left(x+3\right) = \frac{1}{3}x^3+x^2$, che dobbiamo sottrarre al dividendo:

$$\begin{array}{rcccc} &\displaystyle \frac{1}{3}x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline x+3\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +\frac{5}{4}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +\frac{5}{4}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \end{array}$$

Passo 2: In questo caso, il termine principale del resto corrente $\displaystyle -x^2+\frac{5}{4}x-\frac{5}{6}$ è $\displaystyle -1x^2$, e sappiamo che il termine principale per il divisore è $\displaystyle x$.

Quindi, il termine che dobbiamo moltiplicare $x$ per ottenere il termine principale del resto corrente è $\displaystyle \frac{ -1x^2}{ x} = -x$, quindi aggiungiamo questo termine al quoziente. Inoltre, lo moltiplichiamo per il divisore per ottenere $\displaystyle -x \cdot \left(x+3\right) = -x^2-3x$, che dobbiamo sottrarre al promemoria corrente:

$$\begin{array}{rcccc} &\displaystyle \frac{1}{3}x^2 & \displaystyle -x & \displaystyle &\\[0.8em] \hline x+3\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +\frac{5}{4}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +\frac{5}{4}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{17}{4}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \end{array}$$

Smusso 3: In questo caso, il termine principale del resto corrente $\displaystyle \frac{17}{4}x-\frac{5}{6}$ è $\displaystyle \frac{17}{4}x$, e sappiamo che il termine principale per il divisore è $\displaystyle x$.

Quindi, il termine che dobbiamo moltiplicare $x$ per ottenere il termine principale del resto corrente è $\displaystyle \frac{ \frac{17}{4}x}{ x} = \frac{17}{4}$, quindi aggiungiamo questo termine al quoziente. Inoltre, lo moltiplichiamo per il divisore per ottenere $\displaystyle \frac{17}{4} \cdot \left(x+3\right) = \frac{17}{4}x+\frac{51}{4}$, che dobbiamo sottrarre al promemoria corrente:

$$\begin{array}{rcccc} &\displaystyle \frac{1}{3}x^2 & \displaystyle -x & \displaystyle +\frac{17}{4}&\\[0.8em] \hline x+3\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +\frac{5}{4}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +\frac{5}{4}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{17}{4}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{17}{4}x & \displaystyle -\frac{51}{4}\\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{163}{12}\\[0.8em] \end{array}$$

che conclude questo calcolo, poiché il grado del resto corrente $r(x) = -\frac{163}{12}$ è minore del grado del divisore $s(x) = x+3$.

Conclusione: Therefore, we conclude that for the given dividend $\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{5}{4}x-\frac{5}{6}$ and divisor $\displaystyle s(x) = x+3$, we get that the quotient is $\displaystyle q(x) = \frac{1}{3}x^2-x+\frac{17}{4}$ and the remainder is $\displaystyle r(x) = -\frac{163}{12}$, and that