Calcolatore del teorema del resto

Questa calcolatrice può aiutarti a utilizzare in modo efficiente e semplice il teorema del resto. Per usarlo, devi fornire un polinomio valido (ad esempio, qualcosa come 3x^4 - 3x^2 + 6) e un'espressione numerica valida (come 2 o 3/4) dove vuoi valutare il polinomio a.

Il polinomio fornito può avere qualsiasi laurea che desideri , purché sia un polinomio valido. Può avere coefficienti interi o frazionari, oppure qualsiasi espressione numerica valida può essere un coefficiente (come sqrt(2)). Il polinomio che fornisci può essere semplificato o meno, non importa, come farà il calcolatore semplificare il polinomio prima, se necessario.

Una volta fornito un polinomio valido, con un'espressione numerica valida per valutarlo, è necessario premere il pulsante "Calcola" e verranno forniti tutti i passaggi del processo.

Il Teorema Del Resto è della massima importanza in Algebra, quindi ti sarà utile avere questa calcolatrice, per rendere il processo molto più semplice.

Qual è il teorema del resto

Il teorema del resto è un importante teorema che afferma semplicemente che quando dividi due polinomi, troverai un quoziente e un resto, entrambi polinomi.

Questo porta ricordi della divisione dei numeri: quando si dividono due numeri, si trovano un quoziente e un resto, con la fantastica proprietà che il resto è minore del divisore. Esattamente lo stesso accade con i polinomi, solo che in quel caso il grado del resto è inferiore al grado del divisore.

Dobbiamo dirlo matematicamente: supponi di avere un polinomio $p(x)$ e di volerlo dividere per $s(x)$. Il teorema del resto afferma che esistono un quoziente $q(x)$ e un resto $r(x$ con proprietà che

$$\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = q(x) + \frac{r(x)}{s(x)}$$

dove il grado del resto $r(x)$ è minore del grado del divisore $s(x)$. Questi quoziente e resto possono essere trovati con l'aiuto di divisione lunga di polinomi .

L'altro aspetto del teorema del resto è che l'espressione precedente può essere riscritta come

$$\displaystyle p(x) = q(x)s(x) + r(x)$$

Ora, se il divisore ha ordine 1, diciamo $s(x) = x-a$, il teorema del resto diventa

$$\displaystyle p(x) = q(x)(x-a) + r$$

Ora, $r(x)$ diventa una costante $r(x) = r$, perché il divisore ha grado 1, e quindi il resto deve avere grado zero, il che significa che il resto è costante.

Quindi, collegare x = a nella formula precedente porta a

$$\displaystyle p(a) = q(a)(a-a) + r = q(a)\cdot 0 + r = r$$

La conclusione e la linea di fondo del Teorema del Resto è che p(a) è il resto della divisione di p(x) per (x-a), che può essere fatto usando Divisione sintetica . Viene chiamato questo processo di valutazione indiretta del polinomio a un valore Sostituzione sintetica .

Passi per l'utilizzo del teorema del resto

• Fase 1: Identificare il polinomio p(x) e il divisore s(x)
• Passo 2: Se vuoi trovare il quoziente e il resto, in generale puoi usare il metodo della divisione lunga
• Smusso 3: Se vuoi valutare p(x) in un punto x = a, dividi semplicemente p(x) per x-a usando il metodo della divisione sintetica

Come puoi vedere, il teorema del resto, la divisione dei polinomi, la divisione sintetica e la divisione lunga sono strettamente correlati tra loro e sono lati diversi dello stesso oggetto.

In che modo trai vantaggio dall'uso del teorema del resto?

Il teorema del resto è usato in molti modi. Più tipicamente, è abituato a valutare un polinomio ad un dato valore x = a, e nello specifico determinare se è o meno una radice del polinomio (se p(a) = 0).

Nel complesso, il teorema del resto ti offre la flessibilità di rilevare le radici, che è un'abilità cruciale al momento della fattorizzazione dei polinomi.

Suggerimenti per il successo

In genere, quando si lavora con i polinomi, è più conveniente utilizzare la sostituzione sintetica rispetto alla valutazione diretta, soprattutto quando si lavora a mano.

Evitare errori con i segni e fare attenzione Regole PEMDAS può aumentare le possibilità di applicare correttamente il teorema.

Esempio: teorema del resto e sostituzione sintetica

Usando la sostituzione sintetica, trova $p\left(\frac{1}{2}\right)$ per il polinomio $p(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 3$

Soluzione: Abbiamo $\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3$, e abbiamo bisogno che sia valutato a $\displaystyle x = \frac{1}{2}$, e per questo scopo useremo il teorema del resto.

Quindi dividiamo : $\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3$, per il divisore $\displaystyle s = x-\frac{1}{2}$, e poi troviamo il resto.

Fase 1: Risolvendo $\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2} = 0$ troviamo direttamente che il numero da inserire nella casella di divisione è: $\displaystyle \frac{1}{2}$.

$$\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}$$

Passo 2: Ora passiamo direttamente il termine principale $\displaystyle 2$ alla riga del risultato:

$$\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 2&&& \end{array}$$

Smusso 3: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 1: $\frac{1}{2} \cdot \left(2\right) = 1$ e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna1.

$$\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 2&&&\end{array}$$

Passaggio 4: Ora aggiungendo i valori nella colonna 2: $\displaystyle -3+1 = -2$ e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna2.

$$\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & \\[0.6em]\hline& 2 & -2 & \end{array}$$

Passaggio 5: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 2: $\frac{1}{2} \cdot \left(-2\right) = -1$ e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna2.

$$\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & \end{array}$$

Passaggio 6: Ora aggiungendo i valori nella colonna 3: $\displaystyle 2-1 = 1$ e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna3.

$$\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1\end{array}$$

Passaggio 7: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 3: $\frac{1}{2} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{2}$ e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna3.

$$\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1 & \frac{1}{2}\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1\end{array}$$

Passaggio 8: Ora aggiungendo i valori nella colonna 4: $\displaystyle -3+\frac{1}{2} = -2$ e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna4.

$$\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1 & \frac{1}{2}\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1 & -2\end{array}$$

Conclusione: Pertanto e usando il teorema del resto, concludiamo che per il dividendo dato $\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3$ e il divisore $\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2}$, otteniamo che il resto è $\displaystyle r(x) = -2$, quindi concludiamo che $\displaystyle p\left(\frac{1}{2}\right) = -2$.

Esempio: utilizzo del teorema del resto

Si consideri il seguente polinomio di grado 4: $p(x) = x^4 - 3x^2 + 2x - 1$. Usa il teorema del resto per calcolare $p(-1)$.

Soluzione: E' stato fornito il seguente polinomio: $\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1$, che deve essere valutato nel punto $\displaystyle x = -1$ utilizzando il Teorema del Resto.

Per utilizzare il teorema del resto, dobbiamo eseguire la sostituzione sintetica, per la quale dobbiamo fare una divisione sintetica di: $\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1$, e il divisore $\displaystyle s = x+1$, e quindi trovare il resto.

Si osservi che il grado del dividendo è $\displaystyle deg(p) = 4$, mentre il grado del divisore è $\displaystyle deg(s)) = 1$.

Fase 1: Poiché il divisore ha grado 1, possiamo utilizzare il metodo della divisione sintetica. Risolvendo $\displaystyle s(x) = x+1 = 0$ troviamo direttamente che il numero da inserire nella casella di divisione è: $\displaystyle -1$.

$$\begin{array}{c|cccc} -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}$$

Passo 2: Ora passiamo direttamente il termine principale $\displaystyle 1$ alla riga del risultato:

$$\begin{array}{c|cccc} -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 1&&&& \end{array}$$

Smusso 3: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 1: $-1 \cdot \left(1\right) = -1$ e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna1.

$$\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 1&&&&\end{array}$$

Passaggio 4: Ora aggiungendo i valori nella colonna 2: $\displaystyle 0-1 = -1$ e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna2.

$$\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & & \end{array}$$

Passaggio 5: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 2: $-1 \cdot \left(-1\right) = 1$ e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna2.

$$\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & & \end{array}$$

Passaggio 6: Ora aggiungendo i valori nella colonna 3: $\displaystyle -3+1 = -2$ e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna3.

$$\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & \end{array}$$

Passaggio 7: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 3: $-1 \cdot \left(-2\right) = 2$ e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna3.

$$\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & \end{array}$$

Passaggio 8: Ora aggiungendo i valori nella colonna 4: $\displaystyle 2+2 = 4$ e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna4.

$$\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4\end{array}$$

Passaggio 9: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 4: $-1 \cdot \left(4\right) = -4$ e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna4.

$$\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2 & -4\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4\end{array}$$

Passaggio 10: Ora aggiungendo i valori nella colonna 5: $\displaystyle -1-4 = -5$ e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna5.

$$\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2 & -4\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4 & -5\end{array}$$

che conclude questo calcolo, poiché siamo arrivati al risultato nella colonna finale, che contiene il resto.

Conclusione: Pertanto e usando il teorema del resto, concludiamo che per il dividendo dato $\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1$ e il divisore $\displaystyle s(x) = x+1$, otteniamo che il resto è $\displaystyle r(x) = -5$, quindi concludiamo che $\displaystyle p\left(-1\right) = -5$.

Esempio: un'altra applicazione del teorema del resto

x = 3 è una radice del polinomio $p(x) = x^3 - x^2 + x - 2$?

Soluzione: Abbiamo $\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2$, e valuteremo questo polinomio nel punto $\displaystyle x = 3$ per vedere se è una radice.

Quindi usiamo il dividendo $\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2$, e il divisore $\displaystyle s = x-3$, e poi dobbiamo trovare il resto.

Fase 1: Poiché il divisore ha grado 1, possiamo utilizzare il metodo della divisione sintetica. Risolvendo $\displaystyle s(x) = x-3 = 0$ troviamo direttamente che il numero da inserire nella casella di divisione è: $\displaystyle 3$.

$$\begin{array}{c|ccc} 3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}$$

Passo 2: Ora passiamo direttamente il termine principale $\displaystyle 1$ alla riga del risultato:

$$\begin{array}{c|ccc} 3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 1&&& \end{array}$$

Smusso 3: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 1: $3 \cdot \left(1\right) = 3$ e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna1.

$$\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 1&&&\end{array}$$

Passaggio 4: Ora aggiungendo i valori nella colonna 2: $\displaystyle -1+3 = 2$ e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna2.

$$\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline& 1 & 2 & \end{array}$$

Passaggio 5: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 2: $3 \cdot \left(2\right) = 6$ e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna2.

$$\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & \end{array}$$

Passaggio 6: Ora aggiungendo i valori nella colonna 3: $\displaystyle 1+6 = 7$ e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna3.

$$\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7\end{array}$$

Passaggio 7: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 3: $3 \cdot \left(7\right) = 21$ e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna3.

$$\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6 & 21\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7\end{array}$$

Passaggio 8: Ora aggiungendo i valori nella colonna 4: $\displaystyle -2+21 = 19$ e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna4.

$$\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6 & 21\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7 & 19\end{array}$$

Conclusione: Pertanto e usando il teorema del resto, concludiamo che per il dividendo dato $\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2$ e il divisore $\displaystyle s(x) = x-3$, otteniamo che il resto è $\displaystyle r(x) = 19$, quindi concludiamo che $\displaystyle p\left(3\right) = 19$. Poiché $\displaystyle p\left(3\right) = 19 \ne 0$, concludiamo che $x = 3$ non è una radice del polinomio.

Altri calcolatori di algebra

L'algebra è incentrata sullo studio e calcolo dei polinomi . Questo può essere visto chiaramente quando ci rendiamo conto che il teorema fondamentale del calcolo riguarda le radici di un generale polinomio di grado n

Si noti come il teorema del resto può essere utilizzato mediante l'uso diretto del metodo di sostituzione sintetica , che a sua volta viene emanato utilizzando divisione sintetica di polinomi . Quindi chiaramente il teorema del resto così come la divisione dei polinomi sono intimamente legati trovare le radici dei polinomi .