Calcolatore del teorema del resto

Questa calcolatrice può aiutarti a utilizzare in modo efficiente e semplice il teorema del resto. Per usarlo, devi fornire un polinomio valido (ad esempio, qualcosa come 3x^4 - 3x^2 + 6) e un'espressione numerica valida (come 2 o 3/4) dove vuoi valutare il polinomio a.

Il polinomio fornito può avere qualsiasi laurea che desideri , purché sia un polinomio valido. Può avere coefficienti interi o frazionari, oppure qualsiasi espressione numerica valida può essere un coefficiente (come sqrt(2)). Il polinomio che fornisci può essere semplificato o meno, non importa, come farà il calcolatore semplificare il polinomio prima, se necessario.

Una volta fornito un polinomio valido, con un'espressione numerica valida per valutarlo, è necessario premere il pulsante "Calcola" e verranno forniti tutti i passaggi del processo.

Il Teorema Del Resto è della massima importanza in Algebra, quindi ti sarà utile avere questa calcolatrice, per rendere il processo molto più semplice.

Qual è il teorema del resto

Il teorema del resto è un importante teorema che afferma semplicemente che quando dividi due polinomi, troverai un quoziente e un resto, entrambi polinomi.

Questo porta ricordi della divisione dei numeri: quando si dividono due numeri, si trovano un quoziente e un resto, con la fantastica proprietà che il resto è minore del divisore. Esattamente lo stesso accade con i polinomi, solo che in quel caso il grado del resto è inferiore al grado del divisore.

Dobbiamo dirlo matematicamente: supponi di avere un polinomio \(p(x)\) e di volerlo dividere per \(s(x)\). Il teorema del resto afferma che esistono un quoziente \(q(x)\) e un resto \(r(x\) con proprietà che

\[\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = q(x) + \frac{r(x)}{s(x)} \]

dove il grado del resto \(r(x)\) è minore del grado del divisore \(s(x)\). Questi quoziente e resto possono essere trovati con l'aiuto di divisione lunga di polinomi .

L'altro aspetto del teorema del resto è che l'espressione precedente può essere riscritta come

\[\displaystyle p(x) = q(x)s(x) + r(x)\]

Ora, se il divisore ha ordine 1, diciamo \(s(x) = x-a\), il teorema del resto diventa

\[\displaystyle p(x) = q(x)(x-a) + r\]

Ora, \(r(x)\) diventa una costante \(r(x) = r\), perché il divisore ha grado 1, e quindi il resto deve avere grado zero, il che significa che il resto è costante.

Quindi, collegare x = a nella formula precedente porta a

\[\displaystyle p(a) = q(a)(a-a) + r = q(a)\cdot 0 + r = r\]

La conclusione e la linea di fondo del Teorema del Resto è che p(a) è il resto della divisione di p(x) per (x-a), che può essere fatto usando Divisione sintetica . Viene chiamato questo processo di valutazione indiretta del polinomio a un valore Sostituzione sintetica .

Passi per l'utilizzo del teorema del resto

• Fase 1: Identificare il polinomio p(x) e il divisore s(x)
• Passo 2: Se vuoi trovare il quoziente e il resto, in generale puoi usare il metodo della divisione lunga
• Smusso 3: Se vuoi valutare p(x) in un punto x = a, dividi semplicemente p(x) per x-a usando il metodo della divisione sintetica

Come puoi vedere, il teorema del resto, la divisione dei polinomi, la divisione sintetica e la divisione lunga sono strettamente correlati tra loro e sono lati diversi dello stesso oggetto.

In che modo trai vantaggio dall'uso del teorema del resto?

Il teorema del resto è usato in molti modi. Più tipicamente, è abituato a valutare un polinomio ad un dato valore x = a, e nello specifico determinare se è o meno una radice del polinomio (se p(a) = 0).

Nel complesso, il teorema del resto ti offre la flessibilità di rilevare le radici, che è un'abilità cruciale al momento della fattorizzazione dei polinomi.

Suggerimenti per il successo

In genere, quando si lavora con i polinomi, è più conveniente utilizzare la sostituzione sintetica rispetto alla valutazione diretta, soprattutto quando si lavora a mano.

Evitare errori con i segni e fare attenzione Regole PEMDAS può aumentare le possibilità di applicare correttamente il teorema.

Esempio: teorema del resto e sostituzione sintetica

Usando la sostituzione sintetica, trova \(p\left(\frac{1}{2}\right)\) per il polinomio \(p(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 3\)

Soluzione: Abbiamo \(\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3\), e abbiamo bisogno che sia valutato a \(\displaystyle x = \frac{1}{2}\), e per questo scopo useremo il teorema del resto.

Quindi dividiamo : \(\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3\), per il divisore \(\displaystyle s = x-\frac{1}{2}\), e poi troviamo il resto.

Fase 1: Risolvendo \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2} = 0\) troviamo direttamente che il numero da inserire nella casella di divisione è: \(\displaystyle \frac{1}{2}\).

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

Passo 2: Ora passiamo direttamente il termine principale \(\displaystyle 2\) alla riga del risultato:

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 2&&& \end{array}\]

Smusso 3: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 1: \(\frac{1}{2} \cdot \left(2\right) = 1\) e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna1.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 2&&&\end{array}\]

Passaggio 4: Ora aggiungendo i valori nella colonna 2: \( \displaystyle -3+1 = -2\) e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna2.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & \\[0.6em]\hline& 2 & -2 & \end{array}\]

Passaggio 5: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 2: \(\frac{1}{2} \cdot \left(-2\right) = -1\) e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna2.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & \end{array}\]

Passaggio 6: Ora aggiungendo i valori nella colonna 3: \( \displaystyle 2-1 = 1\) e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna3.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1\end{array}\]

Passaggio 7: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 3: \(\frac{1}{2} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{2}\) e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna3.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1 & \frac{1}{2}\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1\end{array}\]

Passaggio 8: Ora aggiungendo i valori nella colonna 4: \( \displaystyle -3+\frac{1}{2} = -2\) e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna4.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1 & \frac{1}{2}\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1 & -2\end{array}\]

Conclusione: Pertanto e usando il teorema del resto, concludiamo che per il dividendo dato \(\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3\) e il divisore \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2}\), otteniamo che il resto è \(\displaystyle r(x) = -2\), quindi concludiamo che \(\displaystyle p\left(\frac{1}{2}\right) = -2\).

Esempio: utilizzo del teorema del resto

Si consideri il seguente polinomio di grado 4: \(p(x) = x^4 - 3x^2 + 2x - 1\). Usa il teorema del resto per calcolare \(p(-1)\).

Soluzione: E' stato fornito il seguente polinomio: \(\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1\), che deve essere valutato nel punto \(\displaystyle x = -1\) utilizzando il Teorema del Resto.

Per utilizzare il teorema del resto, dobbiamo eseguire la sostituzione sintetica, per la quale dobbiamo fare una divisione sintetica di: \(\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1\), e il divisore \(\displaystyle s = x+1\), e quindi trovare il resto.

Si osservi che il grado del dividendo è \(\displaystyle deg(p) = 4\), mentre il grado del divisore è \(\displaystyle deg(s)) = 1\).

Fase 1: Poiché il divisore ha grado 1, possiamo utilizzare il metodo della divisione sintetica. Risolvendo \(\displaystyle s(x) = x+1 = 0\) troviamo direttamente che il numero da inserire nella casella di divisione è: \(\displaystyle -1\).

\[\begin{array}{c|cccc} -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}\]

Passo 2: Ora passiamo direttamente il termine principale \(\displaystyle 1\) alla riga del risultato:

\[\begin{array}{c|cccc} -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 1&&&& \end{array}\]

Smusso 3: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 1: \(-1 \cdot \left(1\right) = -1\) e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna1.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 1&&&&\end{array}\]

Passaggio 4: Ora aggiungendo i valori nella colonna 2: \( \displaystyle 0-1 = -1\) e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna2.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & & \end{array}\]

Passaggio 5: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 2: \(-1 \cdot \left(-1\right) = 1\) e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna2.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & & \end{array}\]

Passaggio 6: Ora aggiungendo i valori nella colonna 3: \( \displaystyle -3+1 = -2\) e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna3.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & \end{array}\]

Passaggio 7: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 3: \(-1 \cdot \left(-2\right) = 2\) e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna3.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & \end{array}\]

Passaggio 8: Ora aggiungendo i valori nella colonna 4: \( \displaystyle 2+2 = 4\) e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna4.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4\end{array}\]

Passaggio 9: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 4: \(-1 \cdot \left(4\right) = -4\) e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna4.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2 & -4\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4\end{array}\]

Passaggio 10: Ora aggiungendo i valori nella colonna 5: \( \displaystyle -1-4 = -5\) e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna5.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2 & -4\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4 & -5\end{array}\]

che conclude questo calcolo, poiché siamo arrivati al risultato nella colonna finale, che contiene il resto.

Conclusione: Pertanto e usando il teorema del resto, concludiamo che per il dividendo dato \(\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1\) e il divisore \(\displaystyle s(x) = x+1\), otteniamo che il resto è \(\displaystyle r(x) = -5\), quindi concludiamo che \(\displaystyle p\left(-1\right) = -5\).

Esempio: un'altra applicazione del teorema del resto

x = 3 è una radice del polinomio \( p(x) = x^3 - x^2 + x - 2\)?

Soluzione: Abbiamo \(\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2\), e valuteremo questo polinomio nel punto \(\displaystyle x = 3\) per vedere se è una radice.

Quindi usiamo il dividendo \(\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2\), e il divisore \(\displaystyle s = x-3\), e poi dobbiamo trovare il resto.

Fase 1: Poiché il divisore ha grado 1, possiamo utilizzare il metodo della divisione sintetica. Risolvendo \(\displaystyle s(x) = x-3 = 0\) troviamo direttamente che il numero da inserire nella casella di divisione è: \(\displaystyle 3\).

\[\begin{array}{c|ccc} 3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

Passo 2: Ora passiamo direttamente il termine principale \(\displaystyle 1\) alla riga del risultato:

\[\begin{array}{c|ccc} 3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 1&&& \end{array}\]

Smusso 3: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 1: \(3 \cdot \left(1\right) = 3\) e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna1.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 1&&&\end{array}\]

Passaggio 4: Ora aggiungendo i valori nella colonna 2: \( \displaystyle -1+3 = 2\) e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna2.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline& 1 & 2 & \end{array}\]

Passaggio 5: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 2: \(3 \cdot \left(2\right) = 6\) e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna2.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & \end{array}\]

Passaggio 6: Ora aggiungendo i valori nella colonna 3: \( \displaystyle 1+6 = 7\) e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna3.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7\end{array}\]

Passaggio 7: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 3: \(3 \cdot \left(7\right) = 21\) e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna3.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6 & 21\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7\end{array}\]

Passaggio 8: Ora aggiungendo i valori nella colonna 4: \( \displaystyle -2+21 = 19\) e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna4.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6 & 21\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7 & 19\end{array}\]

Conclusione: Pertanto e usando il teorema del resto, concludiamo che per il dividendo dato \(\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2\) e il divisore \(\displaystyle s(x) = x-3\), otteniamo che il resto è \(\displaystyle r(x) = 19\), quindi concludiamo che \(\displaystyle p\left(3\right) = 19\). Poiché \(\displaystyle p\left(3\right) = 19 \ne 0\), concludiamo che \(x = 3\) non è una radice del polinomio.

Altri calcolatori di algebra

L'algebra è incentrata sullo studio e calcolo dei polinomi . Questo può essere visto chiaramente quando ci rendiamo conto che il teorema fondamentale del calcolo riguarda le radici di un generale polinomio di grado n

Si noti come il teorema del resto può essere utilizzato mediante l'uso diretto del metodo di sostituzione sintetica , che a sua volta viene emanato utilizzando divisione sintetica di polinomi . Quindi chiaramente il teorema del resto così come la divisione dei polinomi sono intimamente legati trovare le radici dei polinomi .