Zeri polinomiali

Questa calcolatrice ti consentirà di calcolare le radici polinomiali di qualsiasi polinomio valido che fornisci. Questo polinomio può essere qualsiasi polinomio di grado 1 o superiore.

Ad esempio, puoi fornire un polinomio cubico, come p(x) = x^3 + 2x^2 - x + 1, oppure puoi fornire un polinomio con coefficienti non interi, come p(x) = x^ 3 - 13/12 x^2 + 3/8 x - 1/24.

Dopo aver fornito alla calcolatrice un polinomio valido per il quale si desidera calcolare le sue radici, è possibile fare clic sul pulsante "Calcola" e si vedrà un'esecuzione passo dopo passo del processo.

Va detto che il processo coinvolge solo metodi elementari utilizzati per trovare le radici, che include il Teorema zero razionale e Divisione polinomiale , così come l'utilizzo di formula quadratica quando appropriato.

Non esiste un metodo generale per trovare TUTTE le radici di TUTTI i possibili polinomi di livello superiore a 5, quindi questa calcolatrice troverà solo le radici che possono essere ottenute con questi metodi elementari menzionati.

Qual è la radice di un polinomio?

Dato un funzione polinomiale $p(x)$, diciamo che $x$ è una radice del polinomio se:

$$\displaystyle p(x) = 0$$

In parole povere le radici di un polinomio sono i punti in cui la funzione polinomiale $p(x)$ attraversa l'asse x. Questa è una buona rappresentazione per farsi un'idea, ma non è del tutto precisa perché alcune radici potrebbero essere numeri complessi. Quindi, una vera radice sarà un punto in cui $p(x)$.

Si osservi che le radici del polinomio sono anche chiamate zeri polinomiali.

Quali sono i passaggi per trovare gli zeri di un polinomio?

• Fase 1: Identifica l'espressione con cui vuoi lavorare. Assicurati che sia un polinomio e semplifica il più possibile
• Passo 2: Useremo il fattorizzazione polinomiale approccio per trovare la sua radice
• Smusso 3: Inizia a cercare di trovare radici elementari (razionali) con il Teorema zero razionale , e usa Divisione polinomiale per ridurre il polinomio originale, se possibile
• Passaggio 4: Se il passaggio 3 ha funzionato ed è possibile ridurre il polinomio originale, ripetere i passaggi precedenti per provare a fattorizzare il polinomio ridotto

Di solito non è facile, e può essere computazionalmente intenso, e non è garantito che funzioni, ma è il miglior approccio possibile se ci limitiamo a usare metodi elementari.

Il factoring è l'unico modo per trovare radici

Non proprio, ma le cose vanno mano nella mano. Il teorema dei fattori afferma che $x - a$ è un fattore di un polinomio $p(x)$ se e solo se $p(a) = 0$. Quindi, in altre parole, radici e fattori sono intimamente legati.

Ora, per polinomi di grado 2 (questo è, polinomi quadratici ) possiamo usare una formula esplicita, che è la ben nota formula quadratica .

Lo stesso accade per i gradi 3 e 4, anche se le formule sono tutt'altro che elementari. Ma per il grado 5 e superiore, non esiste una formula del genere, un risultato chiave dimostrato da Galois e Abel. Quindi non c'è speranza di trovare una "formula generale", ed è per questo che l'uso è più lassista fattorizzazione polinomiale approccio.

Errori comuni da evitare

Spesso gli studenti si sentono frustrati perché non riescono a trovare le radici di un dato funzione polinomiale , dicono $p(x) = x^3+2 x^2-x+1$, ma devono affrontare il fatto che non tutti i polinomi potranno essere risolti utilizzando strumenti elementari.

Certo, c'è una formula per risolvere $x^3+2 x^2-x+1 = 0$, ma non è elementare, e non ci si aspetta che gli studenti la conoscano.

Suggerimenti per il successo

Cerca sempre di fare una mappa mentale di quale sarà la tua strategia: prendi nota del polinomio che hai, il suo grado, il suo coefficiente principale e il coefficiente costante.

Traccia il polinomio se puoi, per avere un'idea del suo comportamento. Ci sono fattorizzazioni ovvie che puoi usare? Usali. Ricorda sempre fattori = radici.

Esempio: zeri di un polinomio

Quali sono gli zeri di : $x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1$?

Soluzione: Per questo esempio ci viene fornito il seguente polinomio: $\displaystyle p(x) = x^5+x^4-x^3+x^2-x+1$. Useremo l'approccio del factoring per trovare le radici.

Semplificazione non necessaria: L'espressione polinomiale fornita è già semplificata, quindi non c'è niente per semplificarla ulteriormente.

Si può notare che il grado del polinomio fornito è $\displaystyle deg(p) = 5$. Inoltre, il suo coefficiente principale è $\displaystyle a_{5} = 1$ e il suo coefficiente costante è uguale a$\displaystyle a_0 = 1$.

Ora cerchiamo i numeri interi che dividono il coefficiente principale $a_{5}$ e il coefficiente costante $a_0$, che viene utilizzato per trovare candidati razionali .

▹ I divisori di $a_{5} = 1$ sono: $\pm 1$.

▹ I divisori di $a_0 = 1$ sono: $\pm 1$.

Pertanto, dividendo tutti i fattori del termine costante $a_0 = 1$ per tutti i divisori di $a_{5} = 1$, otteniamo il seguente elenco di potenziali radici:

$$\pm \frac{ 1}{ 1}$$

Ora, tutte le potenziali soluzioni devono essere valutate. I risultati ottenuti dal test di ciascun candidato sono i seguenti:

$$\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^5+\left(-1\right)^4-\left(-1\right)^3+\left(-1\right)^2-\left(-1\right)+1 & = & \displaystyle 4 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^5+1^4-1^3+1^2-1+1 & = & \displaystyle 2 \ne 0 \\\\ \end{array}$$

Poiché non sono state identificate radici razionali attraverso l'ispezione manuale, non è possibile un'ulteriore semplificazione utilizzando tecniche di base e il processo termina con questo passaggio.

Conclusione : Di conseguenza, non è stata ottenuta alcuna semplificazione e nessuna radice del polinomio è stata identificata attraverso tecniche di base

Esempio: calcolo delle radici di una funzione quadratica

Calcolare le soluzioni di: $3x^2 - 2x - 4 = 0$.

Soluzione: Dobbiamo risolvere l'equazione quadratica data $\displaystyle 3x^2-2x-4=0$.

Le radici per un'equazione quadratica della forma $a x^2 + bx + c = 0$ vengono calcolate utilizzando la seguente equazione:

$$x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

In questo contesto, l'equazione che deve essere risolta è $\displaystyle 3x^2-2x-4 = 0$, indicando che i coefficienti corrispondenti sono:

$$a = 3$$ $$b = -2$$ $$c = -4$$

Innanzitutto, determineremo la natura delle radici calcolando il discriminante. Il discriminante è calcolato come segue:

$$\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( -2\right)^2 - 4 \cdot \left(3\right)\cdot \left(-4\right) = 52$$

Poiché in questo caso otteniamo che il discriminante è $\Delta = \displaystyle 52 > 0$, che è positivo, allora l'equazione ha due radici reali diverse.

Da questo otteniamo:

$$x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{\left(-2\right)^2-4\left(3\right)\left(-4\right)}}{2\cdot 3} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{52}}{6}$$

allora, troviamo che:

$$x_1 = \frac{2}{6}-\frac{1}{6}\sqrt{52}=\frac{2}{6}-\frac{1}{6}\cdot 2\sqrt{13}=\frac{2}{6}-\frac{1}{3}\sqrt{13}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\sqrt{13}$$ $$x_2 = \frac{2}{6}+\frac{1}{6}\sqrt{52}=\frac{2}{6}+\frac{1}{6}\cdot 2\sqrt{13}=\frac{2}{6}+\frac{1}{3}\sqrt{13}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{13}$$

Troviamo che l'equazione $\displaystyle 3x^2-2x-4 = 0$, ha due radici reali, quindi:

$$\displaystyle 3x^2-2x-4 = 3 \left(x+\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)$$

quindi il polinomio originale viene scomposto come $\displaystyle p(x) = 3x^2-2x-4 = 3 \left(x+\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)$, che completa la fattorizzazione.

Conclusione : Pertanto, la fattorizzazione che cerchiamo è data da:

$$\displaystyle p(x) = 3x^2-2x-4 = 3 \left(x+\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)$$

Le radici trovate sono $-\frac{1}{3}\sqrt{13}+\frac{1}{3}$ e $\frac{1}{3}\sqrt{13}+\frac{1}{3}$ .

Esempio: zeri polinomiali

Calcola gli zeri del seguente polinomio: $p(x)= x^3 - \frac{13}{12} x^2 + \frac{3}{8} x - \frac{1}{24}$.

Soluzione: Infine, in questo esempio abbiamo: $\displaystyle p(x) = x^3-\frac{13}{12}x^2+\frac{3}{8}x-\frac{1}{24}$.

Primo Passo: L'espressione polinomiale fornita è irriducibile, quindi non c'è nulla da semplificare. Possiamo procedere a fattorizzarlo.

Si osservi che il grado del polinomio dato è $\displaystyle deg(p) = 3$, il suo coefficiente principale è $\displaystyle a_{3} = 1$ e il suo coefficiente costante è $\displaystyle a_0 = -\frac{1}{24}$.

Radici Razionali : Cercheremo prima di trovare radici razionali semplici, con il teorema dello zero razionale.

Il compito successivo è trovare i numeri interi che dividono il coefficiente principale $a_{3}$ e il coefficiente costante $a_0$, che verranno utilizzati per costruire i nostri candidati come zeri dell'equazione polinomiale.

Uso: In questo caso, osserviamo che per avere sia il coefficiente costante che quello principale dobbiamo amplificare entrambi i lati dell'equazione con $24$. L'equazione equivalente è:

$$24x^3-26x^2+9x-1 = 0$$

▹ I divisori di $a_{3} = 24$ sono: $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 8,\pm 12,\pm 24$.

▹ I divisori di $a_0 = -1$ sono: $\pm 1$.

Pertanto, dividendo ogni divisore del coefficiente costante $a_0 = -1$ per ogni divisore del coefficiente principale $a_{3} = 24$, troviamo il seguente elenco di candidati radici:

$$\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 2},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 1}{ 4},\pm \frac{ 1}{ 6},\pm \frac{ 1}{ 8},\pm \frac{ 1}{ 12},\pm \frac{ 1}{ 24}$$

Ora, tutti i candidati devono essere testati per vedere se sono una soluzione. Quanto segue si ottiene testando ogni candidato:

$$\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 24\cdot \left(-1\right)^3-26\cdot \left(-1\right)^2+9\cdot \left(-1\right)-1 & = & \displaystyle -60 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 24\cdot 1^3-26\cdot 1^2+9\cdot 1-1 & = & \displaystyle 6 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{2} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{2}\right)^3-26\left(\frac{-1}{2}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 2}\right)-1 & = & \displaystyle -15 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{2} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{2}\right)^3-26\left(\frac{1}{2}\right)^2+9\cdot \frac{1}{2}-1 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{3}\right)^3-26\left(\frac{-1}{3}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 3}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{70}{9} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{3}\right)^3-26\left(\frac{1}{3}\right)^2+9\cdot \frac{1}{3}-1 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{4} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{4}\right)^3-26\left(\frac{-1}{4}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 4}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{21}{4} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{4} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{4}\right)^3-26\left(\frac{1}{4}\right)^2+9\cdot \frac{1}{4}-1 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{6} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{6}\right)^3-26\left(\frac{-1}{6}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 6}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{10}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{6} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{6}\right)^3-26\left(\frac{1}{6}\right)^2+9\cdot \frac{1}{6}-1 & = & \displaystyle -\frac{1}{9} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{8} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{8}\right)^3-26\left(\frac{-1}{8}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 8}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{165}{64} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{8} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{8}\right)^3-26\left(\frac{1}{8}\right)^2+9\cdot \frac{1}{8}-1 & = & \displaystyle -\frac{15}{64} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{12} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{12}\right)^3-26\left(\frac{-1}{12}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 12}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{35}{18} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{12} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{12}\right)^3-26\left(\frac{1}{12}\right)^2+9\cdot \frac{1}{12}-1 & = & \displaystyle -\frac{5}{12} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{24} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{24}\right)^3-26\left(\frac{-1}{24}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 24}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{91}{64} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{24} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{24}\right)^3-26\left(\frac{1}{24}\right)^2+9\cdot \frac{1}{24}-1 & = & \displaystyle -\frac{385}{576} \ne 0 \\\\ \end{array}$$

Ma poiché abbiamo trovato tutte le radici richieste tra i candidati razionali, troviamo che $\displaystyle x^3-\frac{13}{12}x^2+\frac{3}{8}x-\frac{1}{24} = \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{4}\right)$, allora:

$$\displaystyle p(x) = x^3-\frac{13}{12}x^2+\frac{3}{8}x-\frac{1}{24} = \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{4}\right)$$

che completa il processo di fattorizzazione.

Risultato : Pertanto, la fattorizzazione finale è:

$$\displaystyle p(x) = x^3-\frac{13}{12}x^2+\frac{3}{8}x-\frac{1}{24} = \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{4}\right)$$

Pertanto, le radici trovate sono $\frac{1}{2}$,$\frac{1}{3}$ e $\frac{1}{4}$ .

Altri utili calcolatori polinomiali

Trovare gli zeri di un polinomio è uno dei vertici dell'algebra, nella misura in cui il teorema fondamentale dell'algebra riguarda l'esistenza di n radici per un polinomio di grado n. Quelle radici non saranno necessariamente tutte reali e alcune di esse (o tutte) potrebbero essere numeri complessi.

In definitiva, quasi ogni singolo problema di algebra e calcolo può essere ridotto alla ricerca delle radici di un polinomio, compresa la risoluzione equazioni polinomiali , come quelli che troveresti, ad esempio, quando cerchi il file intersezione tra i grafici di $y = x^2$ e $y = x^3$.