Creatore di grafici di funzioni esponenziali

Questo strumento grafico consente di rappresentare graficamente una funzione esponenziale o confrontare il grafico di due funzioni esponenziali. Queste funzioni esponenziali avranno la forma:

\[f(t) = A_0 e^{kt}\]

Per ottenere il grafico, è sufficiente specificare i parametri \(A_0\) e \(k\) per una o due funzioni (a seconda che si desideri rappresentare graficamente una funzione o se si desidera confrontare due funzioni).

Ma come trovi una funzione esponenziale dai punti?

Tecnicamente, per trovare i parametri è necessario risolvere il seguente sistema di equazioni:

\[y_1 = A_0 e^{k t_1}\] \[y_2 = A_0 e^{k t_2}\]

Risolvere questo sistema per \(A_0\) e \(k\) porterà a una soluzione unica, a condizione che \(t_1 = \not t_2\).

Infatti, dividendo entrambi i lati delle equazioni:

\[\displaystyle \frac{y_1}{y_2} = \frac{e^{k t_1}}{e^{k t_2}}\] \[\displaystyle \Rightarrow \, \frac{y_1}{y_2} = e^{k (t_1-t_2)}\] \[\displaystyle \Rightarrow \, \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right) = k (t_1-t_2)\] \[\displaystyle \Rightarrow \, k = \frac{1}{t_1-t_2} \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right)\]

Per risolvere per \(A_0\) notiamo dalla prima equazione che:

\[A_0 = y_1 e^{-k t_1} = y_1 \frac{y_2}{y_1 e^{k t_2}} =\frac{y_2}{e^{k t_2}} \]

Come rappresentare graficamente una funzione esponenziale

Una funzione esponenziale della forma specificata sopra avrà una forma esponenziale caratteristica e la sua forma generale dipenderà dal fatto che il tasso \(r\) sia positivo o negativo.

Per un tasso positivo \(r\) avremo crescita esponenziale e per un tasso negativo \(r\) avremo decadimento esponenziale .

Quali sono le principali caratteristiche dei grafici esponenziali?

Hanno forme molto specifiche, poiché crescono o decadono (a seconda del segno di \(r\)) molto rapidamente. Non ci sono molti tipi di grafici in questo caso. Solo decadimento rapido (esponenziale) o crescita rapida (esponenziale).