La formula quadratica: come risolvere un'equazione quadratica?

L'equazione quadratica è una delle equazioni più popolari e diffuse in matematica. In termini di definizione, l'equazione quadratica è un'equazione della forma:

\[a x^2 + b x + c = 0\]

dove \(a\), \(b\) e \(c\) sono costanti, con \( a \ne 0\). Questo è il modo in cui un Equazione quadrata è definito, dove il suo termine principale \(a\) deve essere diverso da zero.

La buona notizia è che l'equazione di cui sopra non è poi così difficile da risolvere, il che è fantastico se si considera che l'equazione quadratica compare letteralmente ovunque in Algebra, Calcolo e praticamente ovunque negli argomenti di Matematica e Scienze.

La soluzione dell'equazione quadratica

Ora, la domanda è come risolvere questa equazione quadratica formulata sopra. Fortunatamente, la risposta è semplice e ben nota: l'equazione quadratica ottiene le sue soluzioni utilizzando la seguente formula quadratica

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

I valori ottenuti con questa equazione sono noti come radici dell'equazione quadratica (noto anche come soluzioni dell'equazione). Per analizzare la natura della soluzione, il discriminante è definito come:

\[D = b^2 - 4ac\]

Tipi di soluzioni alla formula quadratica

In base al valore del discriminante si definisce la natura delle soluzioni. Infatti, quando \(D \ge 0\), allora ci sono due diverse soluzioni reali, quando \(D = 0\), c'è una soluzione reale ripetuta, e quando \(D \le 0\), ci sono due diverse soluzioni immaginarie. Questo Risolutore di equazioni quadratiche ti aiuta a fare questi calcoli automaticamente.

Ciò può essere riassunto come segue:

• Per \(b^2 - 4ac > 0\): L'equazione ha due radici reali
• Per \(b^2 - 4ac = 0\): L'equazione ha una radice reale (ripetuta)
• Per \(b^2 - 4ac < 0\): L'equazione ha due radici complesse

Una delle cose belle di questo risolutore di equazioni quadratiche è che mostrerà i passaggi per calcolare l'intercetta y, le coordinate del vertice e traccerà la funzione quadratica

.

Passaggi della formula quadratica

Ci sono diversi passaggi che devi seguire per risolvere con successo un'equazione di secondo grado:

Passaggio 1: identificare i coefficienti. Esaminare l'equazione data della forma \(ax^2+bx+c\) e determinare i coefficienti \(a\), \(b\) e \(c\). Il coefficiente \(a\) è il coefficiente che appare moltiplicando il termine quadratico \(x^2\).

Il coefficiente \(b\) è il coefficiente che appare moltiplicando il termine lineare \(x\), mentre il coefficiente \(c\) è la costante.

Esempio: supponiamo di avere la seguente espressione: \(x^2+3x+1\). Quali sono i coefficienti? In questo caso \(a = 1\) (il coefficiente che moltiplica il termine quadratico \(x^2\)), \(b = 3\) (il coefficiente che moltiplica il termine lineare \(x\)) e \(c = 1\) (la costante).

Esempio: che ne dici Supponiamo di avere la seguente espressione: \(\frac{5}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{1}{2} x^2\). Quali sono i coefficienti ora? In questo caso \(a = \frac{1}{2}\) (il coefficiente che moltiplica il termine quadratico \(x^2\)), \(b = \frac{3}{4}\) (il coefficiente che moltiplica il termine lineare \(x\)) e \(c = \frac{5}{4}\) (la costante).

Esempio: Cosa succede con la seguente espressione: \(-3 + \frac{1}{2} x\). In questo caso, abbiamo quel \(a = 0\), perché l'espressione non contiene un termine quadratico \(x^2\), quindi in questo caso, questa non è un'espressione quadratica.

Passaggio 2: collega i coefficienti che hai trovato nella formula. La formula è la formula quadratica

\[x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

quindi è necessario sostituire il valore dei coefficienti \(a\), \(b\) e \(c\).

Esempio: Se hai l'equazione: \(-3x^2 + 2x-1 = 0\), trovi che \(a = -3\), \(b = 2\) e \(c = -1\). Quindi, inserendo questi valori nella formula otteniamo:

\[x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(-3)(-1)}}{2(-3)}\]

Passo 3: Semplifica i valori nell'equazione, dopo aver collegato i valori di \(a\), \(b\) e \(c\) . Nell'esempio precedente, avremmo

\[x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{-6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{-6}\]

Passaggio 4: guarda all'interno della radice quadrata. Se il valore è positivo, allora il Equazione quadrata ha due vere radici. Se il valore è 0, allora c'è una radice reale, e se il valore all'interno della radice quadrata è negativo, allora ci sono due radici complesse. Nell'esempio precedente, abbiamo un -8 all'interno della radice quadrata, quindi abbiamo due soluzioni complesse, come mostrato di seguito:

\[x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{-6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{-6}= \frac{-2 \pm i \sqrt{8}}{-6}\]

A cosa serve la formula quadratica

Il formula quadratica è una delle formule più diffuse in matematica. Appare quando si risolvono tutti i tipi di problemi geometrici, ad esempio quando si massimizza un'area, dato un perimetro fisso o in numerosi problemi di parole.

Molte persone si chiedono se esiste una relazione tra questa formula di equazione quadratica e il metodo di Completare la Piazza . La risposta è semplice: si arriva alla formula quadratica con risolvere l'equazione quadratica tramite il completamento della piazza. È esattamente la stessa idea, che deriva dalla formula quadratica che tutti conosciamo.

Osserva che le soluzioni dell'equazione quadratica hanno una proprietà geometrica molto interessante: quando calcoli la media delle soluzioni trovate, ottieni la coordinata x del vertice della parabola, che ti aiuta a trovare la Forma del vertice di una parabola, detta anche forma standard, utilizzata in molte applicazioni, esempio di forma a sezioni coniche.

Esempi di formule quadratiche

Calcola le radici della seguente equazione quadratica: \(3x^2 - 2x + 4 = 0\)

Soluzione:

La seguente equazione deve essere risolta:

\[ 3 x^2 -2 x + 4 = 0\]

Ciò corrisponde a un'equazione quadratica. La seguente formula viene utilizzata per trovare le soluzioni:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Usando la formula sopra, otteniamo che:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{ (-2)^2 - 4(3)(4)}}{2(3)}\]\[= \frac{ 2 \pm \sqrt{ -44}}{ 6}\]

Quindi le soluzioni sono:

\[x_1 = 0.333 - 1.106 i \] \[x_2 = 0.333 + 1.106 i \]

Esistono quindi due soluzioni immaginarie \(x_1 = 0.333 - 1.106 i \) e \(x_2 = 0.333 + 1.106 i \).

Inoltre, l'intercetta sull'y si verifica in \(y = 4\), il che significa che le coordinate dell'intercetta sull'y sono \((0, 4)\).

Infine, le coordinate del vertice sono:

\[x_V = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2\cdot 3} = 0.3333\] \[y_V = f(x_V) = 3 (0.3333)^2 -2 (0.3333) + 4 = 3.6667\]