La formula quadratica: come risolvere un'equazione quadratica?

L'equazione quadratica è un'equazione della forma:

\[a x^2 + b x + c = 0\]

con \( a \neq 0\). Questa è la formula principale che determina a Equazione quadrata .

La buona notizia è che l'equazione di cui sopra non è troppo difficile da risolvere, il che è un'ottima cosa considerando che l'equazione quadratica appare letteralmente ovunque in Algebra, Calcolo e praticamente ovunque.

La soluzione della formula quadratica

Ora, la domanda è come risolvere questa formula quadratica. Fortunatamente, la risposta è semplice e ben nota: ha soluzioni della forma

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Questi sono conosciuti come i radici dell'equazione quadratica (noto anche come soluzioni dell'equazione). Per analizzare la natura della soluzione, il discriminante è definito come:

\[D = b^2 - 4ac\]

Tipi di soluzioni alla formula quadratica

In base al valore del discriminante si definisce la natura delle soluzioni. Infatti, quando \(D > 0\), allora ci sono due diverse soluzioni reali, quando \(D = 0\), c&#39;è una soluzione reale ripetuta, e quando \(D < 0\), ci sono due diverse soluzioni immaginarie. Questo Risolutore di equazioni quadratiche ti aiuta a fare questi calcoli automaticamente.

Una delle cose belle di questo risolutore di equazioni quadratiche è che mostrerà i passaggi per calcolare l'intercetta y, le coordinate del vertice e traccerà la funzione quadratica

.

Passaggi della formula quadratica

Ci sono diversi passaggi che devi seguire per risolvere con successo un'equazione di secondo grado:

Passaggio 1: identificare i coefficienti. Esaminare l&#39;equazione data della forma \(ax^2+bx+c\) e determinare i coefficienti \(a\), \(b\) e \(c\). Il coefficiente \(a\) è il coefficiente che appare moltiplicando il termine quadratico \(x^2\). Il coefficiente \(b\) è il coefficiente che appare moltiplicando il termine lineare \(x\), e il coefficiente \(c\) è la costante.

Esempio: supponiamo di avere la seguente espressione: \(x^2+3x+1\). Quali sono i coefficienti? In questo caso \(a = 1\) (il coefficiente che moltiplica il termine quadratico \(x^2\)), \(b = 3\) (il coefficiente che moltiplica il termine lineare \(x\)) e \(c = 1\) (la costante).

Esempio: che ne dici Supponiamo di avere la seguente espressione: \(\frac{5}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{1}{2} x^2\). Quali sono i coefficienti ora? In questo caso \(a = \frac{1}{2}\) (il coefficiente che moltiplica il termine quadratico \(x^2\)), \(b = \frac{3}{4}\) (il coefficiente che moltiplica il termine lineare \(x\)) e \(c = \frac{5}{4}\) (la costante).

Esempio: Cosa succede con la seguente espressione: \(-3 + \frac{1}{2} x\). In questo caso, abbiamo quel \(a = 0\), perché l&#39;espressione non contiene un termine quadratico \(x^2\), quindi in questo caso, questa non è un&#39;espressione quadratica.

Passaggio 2: collega i coefficienti che hai trovato nella formula. La formula è la formula quadratica

\[x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

quindi è necessario sostituire il valore dei coefficienti \(a\), \(b\) e \(c\).

Esempio: Se hai l&#39;equazione: \(-3x^2 + 2x-1 = 0\), trovi che \(a = -3\), \(b = 2\) e \(c = -1\). Quindi, inserendo questi valori nella formula otteniamo:

\[x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(-3)(-1)}}{2(-3)}\]

Passo 3: Semplifica i valori nell&#39;equazione, dopo aver collegato i valori di \(a\), \(b\) e \(c\) . Nell'esempio precedente, avremmo

\[x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{-6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{-6}\]

Passaggio 4: guarda all'interno della radice quadrata. Se il valore è positivo, allora il Equazione quadrata ha due vere radici. Se il valore è 0, allora c'è una radice reale, e se il valore all'interno della radice quadrata è negativo, allora ci sono due radici complesse. Nell'esempio precedente, abbiamo un -8 all'interno della radice quadrata, quindi abbiamo due soluzioni complesse, come mostrato di seguito:

\[x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{-6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{-6}= \frac{-2 \pm i \sqrt{8}}{-6}\]

A cosa serve la formula quadratica

Il formula quadratica è una delle formule più diffuse in matematica. Appare quando si risolvono tutti i tipi di problemi geometrici, ad esempio quando si massimizza un'area, dato un perimetro fisso o in numerosi problemi di parole.

Molte persone si chiedono se esiste una relazione tra questa formula di equazione quadratica e il metodo di Completare la Piazza . La risposta è semplice: si arriva alla formula quadratica con risolvere l'equazione quadratica tramite il completamento della piazza. È esattamente la stessa idea, che deriva dalla formula quadratica che tutti conosciamo.

Osserva che le soluzioni dell&#39;equazione quadratica hanno una proprietà geometrica molto interessante: quando calcoli la media delle soluzioni trovate, ottieni la coordinata x del vertice della parabola, che ti aiuta a trovare la Forma del vertice di una parabola, detta anche forma standard, utilizzata in molte applicazioni, esempio di forma a sezioni coniche.

Esempi di formule quadratiche

Calcola le radici della seguente equazione quadratica: \(3x^2 - 2x + 4 = 0\)

Soluzione:

La seguente equazione deve essere risolta:

\[ 3 x^2 -2 x + 4 = 0\]

Ciò corrisponde a un'equazione quadratica. La seguente formula viene utilizzata per trovare le soluzioni:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Usando la formula sopra, otteniamo che:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{ (-2)^2 - 4(3)(4)}}{2(3)}\]\[= \frac{ 2 \pm \sqrt{ -44}}{ 6}\]

Quindi le soluzioni sono:

\[x_1 = 0.333 - 1.106 i \] \[x_2 = 0.333 + 1.106 i \]

Esistono quindi due soluzioni immaginarie \(x_1 = 0.333 - 1.106 i \) e \(x_2 = 0.333 + 1.106 i \).

Inoltre, l&#39;intercetta sull&#39;y si verifica in \(y = 4\), il che significa che le coordinate dell&#39;intercetta sull&#39;y sono \((0, 4)\).

Infine, le coordinate del vertice sono:

\[x_V = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2\cdot 3} = 0.3333\] \[y_V = f(x_V) = 3 (0.3333)^2 -2 (0.3333) + 4 = 3.6667\]