La formula quadratica: come risolvere un'equazione quadratica?

L'equazione quadratica è una delle equazioni più popolari e diffuse in matematica. In termini di definizione, l'equazione quadratica è un'equazione della forma:

$$a x^2 + b x + c = 0$$

dove $a$, $b$ e $c$ sono costanti, con $a \ne 0$. Questo è il modo in cui un Equazione quadrata è definito, dove il suo termine principale $a$ deve essere diverso da zero.

La buona notizia è che l'equazione di cui sopra non è poi così difficile da risolvere, il che è fantastico se si considera che l'equazione quadratica compare letteralmente ovunque in Algebra, Calcolo e praticamente ovunque negli argomenti di Matematica e Scienze.

La soluzione dell'equazione quadratica

Ora, la domanda è come risolvere questa equazione quadratica formulata sopra. Fortunatamente, la risposta è semplice e ben nota: l'equazione quadratica ottiene le sue soluzioni utilizzando la seguente formula quadratica

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

I valori ottenuti con questa equazione sono noti come radici dell'equazione quadratica (noto anche come soluzioni dell'equazione). Per analizzare la natura della soluzione, il discriminante è definito come:

$$D = b^2 - 4ac$$

Tipi di soluzioni alla formula quadratica

In base al valore del discriminante si definisce la natura delle soluzioni. Infatti, quando $D \ge 0$, allora ci sono due diverse soluzioni reali, quando $D = 0$, c'è una soluzione reale ripetuta, e quando $D \le 0$, ci sono due diverse soluzioni immaginarie. Questo Risolutore di equazioni quadratiche ti aiuta a fare questi calcoli automaticamente.

Ciò può essere riassunto come segue:

• Per $b^2 - 4ac > 0$: L'equazione ha due radici reali
• Per $b^2 - 4ac = 0$: L'equazione ha una radice reale (ripetuta)
• Per $b^2 - 4ac < 0$: L'equazione ha due radici complesse

Una delle cose belle di questo risolutore di equazioni quadratiche è che mostrerà i passaggi per calcolare l'intercetta y, le coordinate del vertice e traccerà la funzione quadratica

.

Passaggi della formula quadratica

Ci sono diversi passaggi che devi seguire per risolvere con successo un'equazione di secondo grado:

Passaggio 1: identificare i coefficienti. Esaminare l'equazione data della forma $ax^2+bx+c$ e determinare i coefficienti $a$, $b$ e $c$. Il coefficiente $a$ è il coefficiente che appare moltiplicando il termine quadratico $x^2$.

Il coefficiente $b$ è il coefficiente che appare moltiplicando il termine lineare $x$, mentre il coefficiente $c$ è la costante.

Esempio: supponiamo di avere la seguente espressione: $x^2+3x+1$. Quali sono i coefficienti? In questo caso $a = 1$ (il coefficiente che moltiplica il termine quadratico $x^2$), $b = 3$ (il coefficiente che moltiplica il termine lineare $x$) e $c = 1$ (la costante).

Esempio: che ne dici Supponiamo di avere la seguente espressione: $\frac{5}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{1}{2} x^2$. Quali sono i coefficienti ora? In questo caso $a = \frac{1}{2}$ (il coefficiente che moltiplica il termine quadratico $x^2$), $b = \frac{3}{4}$ (il coefficiente che moltiplica il termine lineare $x$) e $c = \frac{5}{4}$ (la costante).

Esempio: Cosa succede con la seguente espressione: $-3 + \frac{1}{2} x$. In questo caso, abbiamo quel $a = 0$, perché l'espressione non contiene un termine quadratico $x^2$, quindi in questo caso, questa non è un'espressione quadratica.

Passaggio 2: collega i coefficienti che hai trovato nella formula. La formula è la formula quadratica

$$x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

quindi è necessario sostituire il valore dei coefficienti $a$, $b$ e $c$.

Esempio: Se hai l'equazione: $-3x^2 + 2x-1 = 0$, trovi che $a = -3$, $b = 2$ e $c = -1$. Quindi, inserendo questi valori nella formula otteniamo:

$$x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(-3)(-1)}}{2(-3)}$$

Passo 3: Semplifica i valori nell'equazione, dopo aver collegato i valori di $a$, $b$ e $c$ . Nell'esempio precedente, avremmo

$$x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{-6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{-6}$$

Passaggio 4: guarda all'interno della radice quadrata. Se il valore è positivo, allora il Equazione quadrata ha due vere radici. Se il valore è 0, allora c'è una radice reale, e se il valore all'interno della radice quadrata è negativo, allora ci sono due radici complesse. Nell'esempio precedente, abbiamo un -8 all'interno della radice quadrata, quindi abbiamo due soluzioni complesse, come mostrato di seguito:

$$x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{-6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{-6}= \frac{-2 \pm i \sqrt{8}}{-6}$$

A cosa serve la formula quadratica

Il formula quadratica è una delle formule più diffuse in matematica. Appare quando si risolvono tutti i tipi di problemi geometrici, ad esempio quando si massimizza un'area, dato un perimetro fisso o in numerosi problemi di parole.

Molte persone si chiedono se esiste una relazione tra questa formula di equazione quadratica e il metodo di Completare la Piazza . La risposta è semplice: si arriva alla formula quadratica con risolvere l'equazione quadratica tramite il completamento della piazza. È esattamente la stessa idea, che deriva dalla formula quadratica che tutti conosciamo.

Osserva che le soluzioni dell'equazione quadratica hanno una proprietà geometrica molto interessante: quando calcoli la media delle soluzioni trovate, ottieni la coordinata x del vertice della parabola, che ti aiuta a trovare la Forma del vertice di una parabola, detta anche forma standard, utilizzata in molte applicazioni, esempio di forma a sezioni coniche.

Esempi di formule quadratiche

Calcola le radici della seguente equazione quadratica: $3x^2 - 2x + 4 = 0$

Soluzione:

La seguente equazione deve essere risolta:

$$3 x^2 -2 x + 4 = 0$$

Ciò corrisponde a un'equazione quadratica. La seguente formula viene utilizzata per trovare le soluzioni:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Usando la formula sopra, otteniamo che:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{ (-2)^2 - 4(3)(4)}}{2(3)}$$$$= \frac{ 2 \pm \sqrt{ -44}}{ 6}$$

Quindi le soluzioni sono:

$$x_1 = 0.333 - 1.106 i$$ $$x_2 = 0.333 + 1.106 i$$

Esistono quindi due soluzioni immaginarie $x_1 = 0.333 - 1.106 i$ e $x_2 = 0.333 + 1.106 i$.

Inoltre, l'intercetta sull'y si verifica in $y = 4$, il che significa che le coordinate dell'intercetta sull'y sono $(0, 4)$.

Infine, le coordinate del vertice sono:

$$x_V = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2\cdot 3} = 0.3333$$ $$y_V = f(x_V) = 3 (0.3333)^2 -2 (0.3333) + 4 = 3.6667$$